ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Глава 6 ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Основні поняття

Під час дослідження операцій часто доводиться мати справу з системами, призначеними для багаторазового використання при розв’язанні однотипних задач. Процеси, які при цьому виникають, одержали назву процесів обслуговування, а системи – систем масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем є телефонні системи (АТС), ремонтні майстерні, обчислювальні комплекси, білетні каси, магазини, перукарні і т.п.

Кожна СМО складається з визначеного числа одиниць, що обслуговуються (прибори, пристрої, пункти, станції), які будемо називати каналами обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв’язку, робочі точки, обчислювальні машини, продавці та ін. За числом каналів СМО розподіляють на одноканальні табагатоканальні.

Заявки поступають у СМО не регулярно, а випадково, утворюючи так звану випадкову течію заявок (викликів). Обслуговування заявок теж продовжується випадковий час. Випадковий характер течії заявок і часу їх обслуговування призводить до того, що СМО є завантаженою нерівномірно: в якісь періоди часу накопичується дуже велика кількість заявок ( вони або стають у чергу, або покидають СМО необслугованими), в інші ж періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, які пов’язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, характер течії заявок і т.п.) з показниками ефективності СМО, які описують її спроможність упоратися з течією заявок.

У якості показників ефективності СМО використовуються: середнє число заявок, які обслуговуються в одиницю часу; середнє число заявок у черзі; середній час очікування обслуговування; ймовірність того, що число заявок в черзі перевищить визначене значення і т.п.

СМО розподіляють на два основних типи (класи): СМО з відмовами і СМО з очікуванням (чергою). У СМО з відмовами заявка, що надходить в момент, коли всі канали зайняті, одержує відмову, залишає СМО і в подальшому процесі обслуговування не бере участі (наприклад, заявка на телефонну розмову в момент, коли всі канали зайняті, одержує відмову і залишає СМО не обслугованою). В СМО з очікуванням заявка, яка приходить в момент, коли всі канали зайняті, стає в чергу на обслуговування.

СМО з очікуванням поділяються на два види залежно від того, як організована черга: з обмеженою чи необмеженою довжиною черги, з обмеженим часом очікування і т.п.

Для класифікації СМО важливим є також дисципліна обслуговування, яка визначає порядок вибору заявок з числа, що надійшли і порядок розподілу їх між вільними каналами.

Вважаємо течію викликів (заявок), що поступають в СМО, найпростішою. Нагадаємо, що ця течія задовольняє три умови:

· вона є стаціонарною (її ймовірносні характеристики не залежать від часу і інтенсивність такої течії є сталою);

· не має післядії (тобто для будь-яких двох проміжків часу, що не перетинаються, число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на другий);

· є ординарною (тобто ймовірність влучення на малий проміжок часу двох і більше подій є нескінченно малою).

В цьому випадку закон, якому підпорядковується течія подій (викликів), що надійшли в СМО, є законом Пуассона з параметром λt, де λ – інтенсивність течії (тобто число викликів, які поступають в СМО в одиницю часу), t – час.

Тоді ймовірність того, що в систему надійшло k викликів за час t визначається за формулою

.

Час обслуговування у СМО – це теж випадкова величина. Позначаємо її τ. Вважається, що час обслуговування розподілен по показниковому закону. Нагадаємо, що диференціальна функція такого розподілу має вигляд

Нагадаємо також, що математичне сподівання такої випадкової величини дорівнює

Робота системи масового обслуговування являє собою випадковий процес. Ми розглядаємо його як процес з дискретними станами і неперервним часом; тобто його можливі стани S0, S1 ,S2,… можна перерахувати, і перехід системи зі стану у стан відбувається миттєво, а моменти можливих переходів системи зі стану у стан є випадковими.

Стани n – канальної системи S0, S1 ,S2,…,Sn опишемо наступним чином:

S0 – система вільна, тобто всі її канали вільні;

Sk – k каналів зайняті;

pk(t) – ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться у стані

Sk, k = 0,1,2,..., n.

Задачі, що тут розв’язуються є такими:

1) знаходження ймовірностей різноманітних станів СМО в момент часу t, а в подальшому дослідження режиму, що встановився, тобто

k =0,1,2,…,n;

2) встановлення залежності між параметрами системи для того, щоб охарактеризувати ефективність роботи СМО.

Перелічимо ті параметри системи, які характеризують її ефективність:

1) математичне сподівання( або середнє значення) числа заявок, які обслуговує СМО в одиницю часу. Ця величина позначається А і називається абсолютною пропускною спроможністю системи;

2) ймовірність того, що заявка, яка надходить в систему, буде обслужена. Ця величина називається відносною пропускною спроможністю системи і позначається Q. Числа А і Q зв’язані формулою А = Q*λ;

3) ймовірність відмови в обслуговані Рвідм = 1– Q;

4) математичне сподівання ( середнє число) числа заявок в СМО, які обслуговуються або чекають в черзі. Цю величину позначимо ;

5) середнє число заявок у черзі. Цю величину позначимо ;

6) середній час перебування заявок у СМО. Цю величину позначимо . Якщо система з відмовами – це час перебування заявки під обслуговуванням, тобто , якщо система з чергою – це час перебування заявки в черзі плюс час обслуговування, тобто ;

7) середній час перебування заявки в черзі. Цю величину позначимо ;

8) середнє число зайнятих каналів. Цю величину позначимо .

Взагалі кажучи, всі ці характеристики залежать від часу, але для багатьох систем встановлюється режим, близький до стаціонарного.

У будь-якій системі масового обслуговування, в якій інтенсивність вхідної течії викликів λ не залежить від стану системи, справедливі формули Літтла, а саме:

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти