|
Рецензенты: Касаткина Анна Сергеевна, преподаватель, Калининградский филиал ГОУ АНХ
В данном пособии приведены основные теоретические вопросы темы, даны практические примеры, иллюстрирующие теоретический материал, приведены задания для закрепления изученного материала, а также вопросы и примеры для контроля знаний обучаемых и задания для самостоятельной работы.Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Математика» в средних профессиональных учебных заведениях, обучающихся по очной форме обучения, экстерном или имеющих свободное посещение занятий.
КФ АНХ 15 экз, 2009 г. СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 4 Требования к знаниям и умениям. 5 Основные понятия. 5 Линейные операции над векторами. 6 Линейная зависимость векторов. 8 Понятие базиса. 9 Понятие ортонормированного базиса. 9 Понятие радиус-вектора. 10 Координаты вектора. 11 Длина вектора. 12 Действия над векторами в координатной форме. 13 Деление отрезка в данном отношении. 15 Скалярное произведение векторов. 16 Векторное произведение. 17 Вопросы для контроля знаний: 18 Упражнения для решения- 20 Контрольные задания. 22 Индивидуальные задания. 23 Ответы и решения. 29 Литература. 30
Величины, значения которых могут быть выражены только действительными числами, называются скалярами (например, рост, вес, количество и т.д.). Величины, значения которых определяются не только размером, но и направлением, называются векторами(например, сила, скорость и т.д.). Поэтому векторы часто называют направленными отрезками. Напомню, что отрезком называют множество точек прямой, состоящее из двух граничных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок с граничными точками считается направленным, если указано, какая из точек считается началом, а какая – концом отрезка. Т.о. вектор задается упорядоченной парой точек, обозначим их А и В. Точка А называется началом вектора, точка В – его концом. Начало систематическому изучению направленных отрезков положил французский математик и философ Рене Декарт (1596-1650), заложивший основы аналитической геометрии. Обозначение ввел Жан Робер Арган (1768-1822), обозначение - Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868). Впервые слово «вектор» от латинского слова vector – несущий, в 1845 году ввел ирландский математик Уильям Гамильтон. Введение понятия «вектор» не только помогло связать геометрию с алгеброй, но и описать математическим языком задачи классической механики. В настоящее время векторная алгебра используется для построения объектов векторной графики. На изучение темы «Основы векторной алгебры» в курсе математики отводится 8 часов аудиторных занятий и 2 часа самостоятельной работы. Содержание темы выражено в следующих понятиях: «Понятие вектора и линейные операции над векторами. Понятие нулевого вектора, единичного вектора, равных векторов, противоположных векторов коллинеарных векторов. Прямоугольная система координат. Векторный базис. Разложение вектора по ортам. Координаты точки, вектора. Понятие радиус-вектора точки. Условие коллинеарности векторов. Условие перпендикулярности векторов. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное и их свойства». В данном пособии приведены основные теоретические вопросы темы, даны практические примеры, иллюстрирующие теоретический материал, приведены задания для закрепления изученного материала, а также вопросы и примеры для контроля знаний обучаемых и задания для самостоятельной работы. Работу с данным пособием необходимо начать с изучения теоретического материала. Наиболее важные понятия выделены или обведены в рамку. Для осмысления основных вопросов приведены практические задания с подробными решениями. После изучения теоретического материала обучаемым необходимо ответить на вопросы для контроля знаний, стараясь дать обоснованные ответы со ссылкой на соответствующее определение или теорему. Для закрепления материала в пособии перечислены упражнения для решения, для самоконтроля практических навыков приведены ответы к упражнениям. Задания могут использоваться в аудиторной работе по теме, особенно при проведении практических работ. Для контроля знаний, умений и навыков студентов приведены 2 варианта заданий, которые преподаватель может использовать в аудиторной работе. Для организации самостоятельной работы студентов приведены индивидуальные задания на 30 вариантов. Вариант задания, выполняемый обучаемым, должен соответствовать номеру его фамилии в списке группы. Индивидуальные задания используются для организации внеаудиторной работы обучаемых по дисциплине «Математика». Требования к знаниям и умениям В результате изучения темы обучаемые должны знать: - понятие вектора и виды векторов; - понятие векторного базиса; - понятие линейных операций над векторами и правила действий над векторами в координатной форме. В результате изучения данной темы обучаемые должны уметь: - вычислять координаты вектора; - находить разложение данного вектора по векторам, в том числе базисным; - находить алгебраическую сумму, произведение вектора на число, скалярное произведение векторов; - вычислять длину вектора; - находить координаты точки, делящей отрезок в данном отношении; - вычислять угол между векторами.
Основные понятия
Определение 1 Отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, называется вектором. Иными словами, вектор – это направленный отрезок. Обозначение вектора: . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая – его конец. Определение 2 Расстояние между началом и концом вектора называется его длинойили модулем вектора и обозначается Иначе определение 2 можно сказать следующим образом: длина отрезка, определяющего вектор, называется модулем этого вектора. Определение 3 Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают, обозначается Определение 4 Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Определение 5: Векторы называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины: и . Т.о. два вектора и равны, если: 1) длины их равны; 2) векторы параллельны; 3) одинаково направлены. Определение 6: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых: . Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Задание: дан вектор и точка Р, не лежащая на данном векторе. Сколько векторов, равных данному и выходящих из точки Р можно построить?
Сформулируйте вывод. Р |
|
|