ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Линейные операции над векторами

 

Над векторами можно производить две линейные операции:

1. сложение;

2. умножение на число.

Определение 7: Суммой векторов называется вектор, выходящий из начала первого вектора в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор приложен к концу предыдущего.

 

Задание:Найти сумму двух векторов, используя:

a) правило треугольника;

b) правило параллелограмма.

 

 

Определение 8 Произведением вектора на число , называется вектор, коллинеарный исходному, длина которого изменилась в k раз.

Задание: Дан вектор . Найти: 1) ;

2) .

Правила действий с векторами:

1) 5)
2) 6)
3) , где 7)
4) 8)

 

Определение 9: Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору.

Теорема 1Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует такое действительное число λ (ламбда), что .

Примем эту теорему без доказательства и в дальнейшем будем использовать ее для вывода условия коллинеарности векторов.

Линейная зависимость векторов

Определение 10: Линейной комбинацией векторов называют сумму произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

, где

- векторы,

Определение 11: Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору (нулю). В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Определение 12: Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь при одновременном равенстве нулю всех действительных коэффициентов. Естественно, что рассматриваемые векторы не являются нулевыми.

Пусть даны векторы и действительные числа (α-альфа), тогда:

1) если линейная комбинация векторов равна нулю, то векторы линейно зависимы: векторы линейно зависимы;

2) если векторы линейно независимы.

Теорема 2 Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Понятие базиса

Определение 13: Пара линейно независимых векторов на плоскости называется базисом, а сами векторы называют базисными.

Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов,причем это разложение является единственным.

Такое разложение можно записать в виде:

.

Числа называются координатами вектора в базисе ( ):
.

Т.о. на плоскости любая пара неколлинеарных векторов образует базис, в пространстве – любая тройка компланарных векторов.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными операциями над числами – координатами этих векторов.

Например, два вектора заданы координатами: , тогда суммой этих векторов будет являться вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов:

Если необходимо найти произведение вектора на число, то достаточно умножить на это число каждую из координат данного вектора:

Понятие ортонормированного базиса

Определение 14: Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортонормированны) и длина каждого из них равна единице, то базис называют ортонормированным,а сами векторы называют ортами.

Например, в двумерном пространстве R2 (т.е. на плоскости) такие векторы обозначают : и

Пусть М – произвольная точка плоскости. В прямоугольной системе координат ее положение на плоскости задается парой чисел (хММ).   Задание. Перечертите рис.1 в тетрадь, укажите на рисунке абсциссу и ординату точки М. Как Вы их нашли?
Система координат, построенная на ортах, называется прямоугольной. Горизонтальная ось называется осью абсцисс, вертикальная – осью ординат.

 


Понятие радиус-вектора

Определение 15Вектор, соединяющий точку М с началом координат, называется радиус-вектором точки М и обозначается .

Используя рис.1, построим вектор . Основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Ох обозначим буквой Р, основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Оу, обозначим буквой D.

Найдем координаты вектора . Для этого представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Сложив векторы и по правилу параллелограмма, получим:

.

По опр.6 векторы, лежащие на одной прямой коллинеарны, следовательно, в соответствии с теоремой 1 можно записать:

и

Тогда .

Вывод: Координаты точки на плоскости совпадают с координатами ее радиус вектора, т.е. координаты вектора есть проекции этого вектора на оси координат.

Т.о. каждому вектору можно поставить в соответствие упорядоченную совокупность чисел, однозначно определяющих его положение и называемых координатами вектора.

Задание. Найдите координаты радиус-вектора точки В и постройте его, если В(-2;3).

Решение:

По определению радиус вектор точки В – это вектор, соединяющий точку В с началом координат, следовательно точка О(0;0) – начало вектора, точка В(-2;3) – конец вектора. Указываем направление вектора – от начала к концу.

Координаты радиус вектора совпадают с координатами его конца, следовательно, вектор имеет координаты (-2;3):

Координаты вектора

Из рисунка видно, что , тогда координаты вектора будут равны его проекциям на оси координат: Вывод: если вектор задан координатами начала и конца, то для нахождения координат вектора надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала.
Пусть вектор задан координатами начала и конца: (рис.2).

 

 

Замечание: Если векторы равны, то должны быть равны их соответствующие координаты.

Данное замечание доказывается следующим образом:

Пусть даны два равных вектора . Опустим из начала и конца каждого вектора перпендикуляры на оси координат, затем через начало каждого вектора проведем прямые, параллельные оси абсцисс. Получим два прямоугольных треугольника, которые равны по стороне и двум прилегающим к ней углам. Следовательно, все соответствующие стороны этих треугольников равны. Значит, и проекции этих сторон на оси координат также будут равны в силу равенства противолежащих сторон параллелограмма. Т.о. получаем, что равные векторы всегда имеют равные координаты.

Задание: Найдите координаты вектора , если А(2;-1), В(-3;-6).

Решение: Обозначим координаты вектора (x;y).Тогда:

. Значит, координаты (-5;-5).

Задание: Известно, что , причем и . Найдите координаты вектора .

Решение: Для нахождения координат вектора необходимо знать координаты его начала и конца. Обозначим координаты начала вектора – точки , координаты конца вектора известны из условия задачи - . Для вычисления координат вектора вычтем из конца вектора соответствующие координаты начала, получим:

.

По условию , запишем равенство в координатной форме:

.

Приравнивая соответствующие координаты этих векторов, получаем систему уравнений:

Отсюда находим:

Т.о. координаты вектора .

Длина вектора

Рассмотрим рис.2 и выполним дополнительные построения: через точку А проведем прямую, параллельную оси Ох. Точку пересечения построенной прямой с вертикалью, опущенной из точки В обозначим точкой С. Получим прямоугольный треугольник АВС.

По теореме Пифагора можем записать: или

, отсюда

По этой формуле можно вычислять расстояние между двумя точками, длину вектора, длину отрезка.

Вывод: длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Задание:

1. Найдите длину вектора , если С(2;1) и D(-4;-3).

Решение:

2. Вычислите длину вектора Постройте его.

Решение:

Для построения данного вектора используем две точки: О(0;0) – начало вектора, А(-4;2) – конец вектора. Построим данные точки в прямоугольной системе координат и зададим направление – от начала к концу.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти