ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Скалярное произведение векторов

 

Определение 16: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Теорема 5 Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Докажем данную теорему.

Пусть , тогда угол между ними . Вычислим и подставим его в формулу для вычисления скалярного произведения векторов, получим:

.

Таким образом мы доказали, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Докажем обратное утверждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны:

Дано: . Т.к. векторы отличны от нулевого вектора, то . По условию , что и требовалось доказать.

 

Свойства скалярного произведения:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон)

3. (распределительный закон)

4. (формула скалярного квадрата)

 

Теорема 6 Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

, где

 

Следствие:

Как получена данная формула?

Задание: 1)Докажите, что векторыперпендикулярны.

Решение: По условию известны координаты векторов: По теореме 6 найдем их скалярное произведение, получим: .

2) Найдите угол между векторами

Решение: Используем формулу из следствия теоремы 6:

 

Векторное произведение

 

Определение 17: Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:

2. и

3. векторы , и образуют правую тройку векторов.

 

Обозначение векторного произведения: или .

 

Из определения следует:

1. длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и :

2. если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. Верно и обратное.

Свойства векторного произведения:

Теорема 7 Если заданы координаты векторов, то

 

Существует также смешанное произведение векторов: смешанным произведением векторов называется число, определяемое по формуле:

 

Вопросы для контроля знаний:

 

1. Дайте определение вектора.

2. Какой вектор называют нулевым? единичным?

3. Дайте определение равных векторов.

4. Что называется длиной вектора?

5. Векторы и имеют одинаковую длину. Верно ли, что эти векторы равны?

6. Отрезки AB и CD принадлежат параллельным прямым. Равны ли векторы и ?

7. Какие физические величины являются векторными: а) температура; б) скорость; в) вес; г) плотность вещества; д) ускорение; е) площадь; ж) сила?

8. Какие векторы называют коллинеарными?

9. Верно ли, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору на плоскости?

10. Известно, что . Можно ли сказать, что векторы и коллинеарны?

11. Какие линейные операции можно производить над векторами?

12. Дайте определение суммы двух векторов.

13. Дайте определение разности двух векторов.

14. Сумма двух векторов равна нулевому вектору. Как называются эти векторы?

15. Сформулируйте понятие линейной комбинации векторов.

16. Каково условие линейной зависимости векторов?

17. Каково условие линейной независимости векторов?

18. Что называют базисом на плоскости?

19. Сформулируйте понятие координат вектора.

20. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения на число векторов в координатной форме.

21. Известно, что . Что Вы можете сказать о векторах и ?

22. Дайте понятие радиус-вектора.

23. Сформулируйте правило нахождения координат вектора.

24. Чему равна длина вектора?

25. Что называют скалярным произведением векторов?

26. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

27. Два вектора заданы своими координатами. Как найти угол между этими векторами?

28. Верно ли, что из следует: 1) и коллинеарны; 2) ; 3) и сонаправлены; 4) и противоположно направлены; 5) ; 6) и ; 7) и ?

29. Следует ли из равенства = равенство = ?

30. Каково взаимное расположение точек А, В и М, если векторы и и коллинеарны?

31. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор + делил пополам угол между векторами и ?

32. Как следует направить векторы и , длины которых известны, чтобы длина вектора была: 1) наибольшей; 2) наименьшей?

33. Верно ли, что для любых вектор и справедливы неравенства

34. Каким условиям должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место соотношения:


1)

2)

3)

4)


35. Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?

36. При каких значениях k длина вектора : 1) равна длине вектора ; 2) больше длины вектора ; 3) меньше длины вектора ; 4) равна нулю?

37. Как расположены точки М, А и В, если:

1) 2) 3) 4)

38. Может ли угол между векторами равняться: 270°; 180°; 0°; 45°?

39. В каком промежутке находится угол между векторами и , если: 1) ; 2) 1) ?

40. Какова длина отрезка АВ, если ?

41. Как расположены прямые АВ и АС, если ;

42. Следует ли из равенства , где - единичный вектор, равенство векторов и ?

43. Равны ли вектора и плоскости, если равенство выполняется: для любых векторов ; 2) для двух перпендикулярных векторов ?

44. Какой угол образует вектор с вектором 1) ; 2) ?

45. Может ли вектор пространства составлять с осью х угол в 30°, а с осью z угол в 45°?

46. Какая из точек А (2;-5), В (3;2), С (-4;1), D (-1;-2) расположена: 1) дальше всех от оси х; 2) ближе всех от оси у; 3) во второй четверти; 4) в четвертой четверти?

47. При каких значениях а точки А (3;2) и В (а; -1) расположены: 1) на одной прямой, параллельной оси у; 2) на одинаковом расстоянии от оси у?

48. При каких значениях m вектор (2;m) равен вектору (2; 1/m)?

49. При каком значении k вектор (k; 0) коллинеарен вектору (0;k)&

50. Перпендикулярны ли векторы и ?

51. Лежат ли на одной прямой точки (3;-7), (-5;4), (27;-40)?

52. Параллельны ли прямые, проходящие соответственно через точки (1;-1), (2;1) и (3;5), (-1;-3)?

Упражнения для решения-

 

1. Вершинами параллелограмма служат точки A, B, C, D. Требуется: 1) определить ненулевые векторы с концами в этих точках; 2) найти все пары коллинеарных векторов; 3) найти все пары неколлинеарных векторов.

2. Разложите вектор по ортам и найдите его длину, если A(1;3), B(4;2). Каковы координаты вектора ?

3. Даны векторы . Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. В прямоугольной системе координат изобразите векторы и найдите их длину. Вычислите угол между этими векторами.

5. Даны четыре точки: A(-3;-1), B(-1;3), C(5;0) и D(3;-4). Являются ли векторы и равными? Ответ объясните.

6. Постройте векторы и , если A(2;3), B(-4;-1). Докажите, что данные векторы не коллинеарны.

7. Найдите угол между векторами и , если единичные векторы и угол между ними равен 1200.

8. Построите в прямоугольной системе координат треугольник ABC с вершинами А (1;4), В (-5;0), С (2;-1) и вычислите длину медианы ВМ. Найдите разложение вектора по векторам и . Разложите вектор по базису .

9. Найдите точку на оси Oy, равноудаленную от точек А (6;12) и В (-8;10).

10. Точка С (3;5) делит отрезок АВ в отношении . Найдите начало отрезка, если В (-1;1).

11. Найдите точку М, равноудаленную от осей координат и от точки А (-4;2).

12. Найдите точку М, расстояние которой от оси абсцисс и от точки А (-2;4) равно 10.

13. Докажите, что точки А, В, С, D – вершины параллелограмма, если известно, что они не лежат на одной прямой и ненулевые векторы и равны.

14. Дан параллелограмм АВСD. Точки М лежат на стороне CD. Найдите сумму векторов6

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

15. Груз спускается на парашюте со скоростью . Ветром его относит в сторону со скоростью . Под каким углом к вертикали будет спускаться груз, если

16. Пусть О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите х, если:

1) 2) 3) 4) .

17. Докажите, что длины векторов и равны, если векторы и - перпендикулярны.

18. Дан правильный треугольник ABC со стороной 2. Точки M и N – середины сторон AB и BC. Найдите скалярные произведения векторов:

1) и ; 2) и .

19. Найдите координаты проекций точки А на координатные оси, если А(2; -1).

20. Дан вектор (-1;-2). Найдите координаты точки В, если известны координаты точки А:

1) (1;3); 2) (-1;2); 3) (-4;-1); 4) (0;1).

21. Коллинеарны ли векторы:

1) (1;2) и (-2; -4); 2) (1; -1; 2) и (2; 2; -4);

3) , если А (8; -2), В (3; 4), С (11; 7), D(-21; 19)?

22. Вычислите скалярное произведение векторов:

1) (-2;3) и (3; 4); 2) ( ; 1) и ( ; 2);

3) и , где A (-2;4); B(3; -6), C(5; -3);

4) =4 + и .

23. Перпендикулярны ли векторы:

1) (-2;3) и (-1;2); 2) (4; -1) и (3;12);

3) =3 - 2 и

24. Найдите длину вектора:

1) (3;4); 2)

3) , где A (1; 3), а B (-2; 0);

25. Найдите угол между векторами:

1) (1;1) и ; 2) (1;1) и ;

3) =6 - 2 и ;

4) =-2 +3 и

5) (-2;3) и (3;1).

26. Найдите периметр треугольника ABC и величины его углов, если: А (6;7), В (3;3), С (1;-5).

27. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: 1) А (-4;3), В (-2;5); 2) А(-4;3), В(-2;5).

28. Дан отрезка с концами А (1; -3) и В (31;17). Определите координаты точек отрезка, делящих его: 1) пополам; 2) на три равные части; 3) на шесть равных частей.

29. Найдите координаты концов отрезка, лежащих на осях координат, если его середина находится в точке:

1) (2; -1); 2) (3;4).


Контрольные задания

1 вариант

1) Даны два вектора: и . Требуется:

a) построить векторы;

b) вычислить площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;

c) найти сумму и разность данных векторов;

d) вычислить длину каждого вектора;

e) определить координаты вектора, коллинеарного вектору и имеющего длину, в три раза большую, чем длина вектора .

2) Дан треугольник АВС: А(-5;3), В(1;4), С(3;-1). В треугольнике построена медиана АК. Требуется:

a) найти разложение вектора по векторам и ;

b) разложить вектор по базису .

2 вариант

 

1) Даны два вектора : М(-2;3), N(2;1), К(-1;2), Р(4;-2). Требуется:

a) построить векторы;

b) найти сумму и разность данных векторов;

c) найти длину каждого вектора;

d) определить координаты вектора, перпендикулярного вектору и проходящего через точку (1;4);

e) найти скалярное произведение векторов.

2) Дан треугольник АВС: А(-5;3), В(1;4), С(3;-1). В треугольнике построена высота AD. Требуется:

a) найти разложение вектора по векторам и ;

b) разложить вектор по базису .

 

Индивидуальные задания

№ варианта № задания Задание
1 вариант «Основы векторной алгебры»   Построить вектор, равный данному вектору и выходящий из точки Р(-1;2).
Даны векторы и : A(7;-1),В(-2;2), С(1;-4). Найти: а) б)
Докажите, что точки А, В, С, D – вершины параллелограмма, если известно, что они не лежат на одной прямой и ненулевые векторы и равны.
2 вариант «Основы векторной алгебры»   Даны точки: К(0;2), N(1;-2) и M(3;2).Построить вектор
Даны и . Найти: а) б) угол между векторами и
Даны векторы и . При каких значениях k эти векторы: 1) равны; 2) противоположны; 3) коллинеарны?  
3 вариант «Основы векторной алгебры»   Построить вектор, соединяющий точку А(-2;1) с серединой отрезка ВD, если В(0;-2), D(1;3). Найти длину вектора.
Даны и . Найти: а) б)
Какому условию должны удовлетворять три вектора , чтобы из них можно было построить треугольник?
4 вариант «Основы векторной алгебры»   Найти координаты вектора , если A(3;-1), В(0;2).Постройте данный вектор и найдите его длину.
Дан вектор Найти: а) б) разложить вектор по ортам , .
Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы .
5 вариант «Основы векторной алгебры»   Дан вектор . Найдите координаты точки В, если известны координаты точки А(1;3). Постройте вектор.
Даны и . Найти: а) б) проверить, перпендикулярны ли данные векторы.
Выведите формулу для вычисления длины вектора.  
6 вариант «Основы векторной алгебры»   Даны точки А(-2;-3) и В(1;4). Постройте вектор и найдите его длину.
Даны векторы и : A(7;-1),В(-2;2), С(1;-4). Найти: а) б)
При каком значении параметра p угол между векторами и будет равен 450 ?  
7 вариант «Основы векторной алгебры»   Постройте вектор, коллинеарный данному вектору
Даны и . Найти: а) б) угол между векторами и
Выведите формулу для вычисления координат вектора, если известны координату его начала и конца.  
8 вариант «Основы векторной алгебры»   Постройте вектор , если А(0;3), В(-1;2). Найдите его длину.
Найдите скалярное произведение векторов, если и
Выведите формулу для вычисления угла между векторами.    
9 вариант «Основы векторной алгебры»   Вычислите угол между векторами и , если А(3;1), В(7;4), С(3;2) и D(6;6). Постройте векторы и .
Даны и . Найти: а) б) скалярное произведение векторов и
Сформулируйте понятие радиус-вектора. Выведите формулу для вычисления длины радиус-вектора.  
10 вариант «Основы векторной алгебры»   Дан вектор . Найдите координаты точки В, если известны координаты точки А(-1;2). Постройте вектор
Найдите угол между векторами и , если и .  
Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы .  
11 вариант «Основы векторной алгебры»   Постройте вектор и найдите его длину.
Даны точки: А(3;0), В(1;2), С(-1;2) и D(1;-2). Найдите: а) б) угол между векторами
Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?  
12 вариант «Основы векторной алгебры»   Постройте вектор , если А(-1;5) и В(2;6). Найдите разложение данного вектора по ортам
Даны и . Найти: а) б) угол между вектором и осью Ох
Докажите, что .  
13 вариант «Основы векторной алгебры»   Дан вектор . Постройте вектор .
Даны точки: А(3;1), В(0;2), С(-3;7). Найдите: а) б) угол между вектором и осью Оу.
Сформулируйте свойства суммы векторов. Докажите одно из них.  
14 вариант «Основы векторной алгебры»   Найдите длину вектора и постройте его, если А(-2;2), В(2;-2).
Даны векторы . Найдите: а) б) скалярное произведение векторов и .
Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен вектору ?
15 вариант «Основы векторной алгебры»   Дан вектор . Постройте данный вектор и найдите его длину.
Даны точки: А(-3;1), В(-2;6) и С(3;2). Найдите: а) б) косинус угла между векторами и .
Перечислите свойства произведения векторов. Докажите одно из них.
16 вариант «Основы векторной алгебры»   Найти координаты вектора , если A(1;-1), В(-2;2).Постройте данный вектор и найдите его длину.
Дан вектор Найти: а) б) угол между вектором и осью Ох.
Что называют ортами? Запишите формулу для разложения любого вектора по ортам. Прокомментируйте эту формулу.  
17 вариант «Основы векторной алгебры»   Постройте вектор , если А(2;-3), В(0;-2). Найдите его длину.  
Найдите скалярное произведение векторов, если и
Выведите формулу для вычисления тангенса угла между двумя векторами  
18 вариант «Основы векторной алгебры»   Построить вектор, противоположный данному вектору и выходящий из точки N(-2;2).
Даны векторы и : A(7;-1),В(-2;2), С(1;-4). Найти: а) б) косинус угла между векторами
Выведите формулу для вычисления угла между данным вектором и осью Ох.
19 вариант «Основы векторной алгебры»   Даны точки: P(-3;2), N(1;2) и M(-1;2).Построить вектор
Даны и . Найти: а) б) скалярное произведение векторов и .
Сформулируйте правила сложения векторов.  
20 вариант «Основы векторной алгебры»   Дан вектор . Найдите координаты точки А, если известны координаты точки В(2;7). Постройте вектор.
Даны и . Найти: а) б) проверить, перпендикулярны ли данные векторы.
Сформулируйте понятие прямоугольной системы координат. Какие существуют другие системы координат?  
21 вариант «Основы векторной алгебры»   Даны точки А(1;-3) и В(-1;5). Постройте вектор и найдите его длину.
Даны векторы и : A(5;3),В(4;-2), С(-1;5). Найти: а) б)
Сформулируйте правила действий над векторами, заданными координатами.  
22 вариант «Основы векторной алгебры»   Построить вектор, соединяющий точку А(-2;1) с серединой отрезка ВD, если В(0;-2), D(-2;0). Найти длину вектора.
Даны и . Найти: а) косинус угла между векторами б) разложение вектора по ортам.
Сформулируйте и докажите условие коллинеарности двух векторов.
23 вариант «Основы векторной алгебры»   Вычислите угол между векторами и , если А(-2;2), В(-1;3), С(4;2) и D(0;7). Постройте векторы и .
Даны и . Найти: а) б) скалярное произведение векторов и
Выведите формулу для вычисления угла между данным вектором и осью Оу.  
24 вариант «Основы векторной алгебры»   Постройте вектор

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти