ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Вінниця

ВНТУ

УДК 530(078)

ББК 22.3я77

А18

 

Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 5 від 24.12.09 р.)

 

Рецензенти:

І. О. Сівак , доктор технічних наук, професор

О. В. Осадчук, доктор технічних наук , професор

В. Г. Дзісь, кандидат фізико-математичних наук, доцент

 

Авдєєв, С. Г.

А18Збірник задач з фізики. Ч. 2 (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика) : навчальний посібник / С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк, О. С. Камінський. – Вінниця : ВНТУ, 2010. – 122 с.

Збірник задач складається з розділів “Механіка, електрика і електромагнетизм”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв’язування задач.

В першу чергу збірник задач призначений для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до збірника задач, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу студентів.

УДК 53(078)

ББК 22.3я77

©С. Авдєєв, Т. Бабюк, О. Камінський, 2010

ЗМІСТ

Частина 2

 

Гармонічні коливання і хвилі. Основні формули...................................... 3

Приклади розв’язування задач.................................................................. 8

Механічні хвилі. Основні формули.......................................................... 23

Приклади розв’язування задач................................................................. 27

Електромагнітні коливання і хвилі. Основні формули............................ 33

Приклади розв’язування задач................................................................. 36

Задачі.......................................................................................................... 39

Інтерференція світла. Основні формули................................................... 53

Приклади розв’язування задач................................................................. 61

Дифракція світла. Основні формули......................................................... 63

Поляризація світла. Основні формули..................................................... 67

Приклади розв’язування задач................................................................. 69

Дисперсія світла. Основні формули.......................................................... 73

Приклади розв’язування задач................................................................. 75

Теплове випромінювання. Основні формули........................................... 77

Приклади розв’язування задач................................................................. 78

Фотоефект. Основні формули................................................................... 82

Приклади розв’язування задач................................................................. 83

Тиск світла. Основні формули.................................................................. 85

Приклади розв’язування задач................................................................. 85

Ефект Компотна. Основні формули.......................................................... 86

Приклади розв’язування задач................................................................. 87

Задачі.......................................................................................................... 88

Література................................................................................................ 116

Додаток А................................................................................................. 117

Довідкові таблиці..................................................................................... 119

 

Частина 2

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

 

х = А cos (w t + j0),

υ = - A w sin (wt + j0),

a = - A w2cos (wt + j0) = - w2 x,

 

де А – амплітуда коливань;

w – циклічна частота;

j0 – початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

 

w = = 2 p n.

 

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

 

F = ma = - m w2 x = - k x,

 

де k = mw2 – коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

 

,

 

.

 

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

 

б) пружинний маятник

 

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

 

в) фізичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

 

де І – момент інерції маятника відносно осі коливань;

l – відстань від осі коливань до центра мас маятника;

зведена довжина .

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w0.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j0 визначаються рівняннями :

 

,

 

tq j0 = ,

 

де А1 і А2 – амплітуди коливань, що складаються;

j1 і j2 – початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w1 » w2) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

 

x = cos ,

 

 

де – амплітуда биття.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

 

Tб = , звідки Tб = .

 

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

 

cos(j2 - j1) = sin2 (j2 - j1),

 

де А1 і А2 – амплітуди коливань, що додаються;

j2 - j1 – різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань :

 

0

або

де b = – коефіцієнт згасання;

r – коефіцієнт опору середовища;

– власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A0e-bt cos (wt + a),

 

де А0е-bt – амплітуда згасаючих коливань;

w – циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання

 

δ= ln ,

 

де δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

Т – період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань

 

w = або w = .

13. Період згасаючих коливань:

 

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем

 

q = 2p або q = ,

 

де Wt – повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW(t=T) – втрати енергії коливальної системи за один період;

δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

w0 – власна циклічна частота коливань;

Т – період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т » Т0).

 

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

 

 

або

,

 

де F0 – вимушувальна сила;

w – циклічна частота вимушених коливань.

 

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

 

x = A cos (wt + a),

 

де А – амплітуда вимушених коливань;

a – зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань

 

A = ,

де f0 = ;

w0 – власна частота коливань системи;

w – циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

 

tga = - .

 

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

 

wрез = ;

Арез = .

 

 

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

 

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

,

 

де Ux,t – зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А – амплітудне зміщення цих точок;

– хвильове число;

l – довжина хвилі;

w – циклічна частота коливань.

 

Рівняння сферичної хвилі

,

 

де r – радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв’язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

 

де υ – швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т – період коливань;

n – частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

 

 

де Е – модуль Юнга;

r – густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

 

,

де G – модуль зсуву;

r – густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

 

,

 

де K – модуль об’ємної пружності рідини;

r – густина рідини.

 

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

,

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

,

де m = rSDx – маса виділеного елементу пружного середовища;

– швидкість хвильового руху точок середовища;

б) потенціальна енергія

в) повна енергія хвиль

 

 

г) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

 

де – середнє значення повної енергії хвиль.

 

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

 

,

де – середня густина енергії пружних хвиль;

– вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

 

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

 

n ,

 

де – частота звуку яка сприймається приймачем;

n – частота звуку джерела;

с – швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

υ – швидкість руху приймача звуку;

u – швидкість руху джерела звуку (нижній знак – джерело і приймач розходяться; верхній знак – джерело і приймач сходяться).

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

 

Dj = 2p ­± 2n p,

де х2 - х1 – різниця ходу двох хвиль;

Dj – різниця фаз хвиль;

l – довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3, ... – порядок max.

 

Або

Dx = (x2 - x1) = n × l;

 

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

 

Dj = 2p .

або

Dx = (x2 - x1) = (2n + 1) l/2.

 

10. Рівняння стоячої хвилі

 

ux,t =

де ux,t – зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А – амплітуда зміщення;

k = – хвильове число;

w – циклічна частота коливань;

– амплітуда стоячої хвилі.

 

а) координати вузлів стоячої хвилі

 

kx = (2n + 1)p/2 або x = (2n + 1)l/4 ,

 

де n = 0, 1, 2, 3, ...;

х – координати вузлів стоячої хвилі.

 

б) координати пучностей стоячої хвилі

 

kx = np або x = n l ,

 

де n = 0, 1, 2, 3, ... .

Основні формули

1. При вільних коливаннях в контурі, який складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С, котушки з індуктивністю L і резистора з омічним опором R, заряд на обкладках конденсатора змінюється за законом:

 

q = q0 e-bt × cos (wt + j0),

 

де q0 e-bt – амплітуда згасаючих коливань;

b – коефіцієнт згасання;

w – циклічна частота згасаючих коливань;

q0 i j0 – початкові значення амплітуди заряду і фази коливань.

 

2. Циклічна частота згасаючих коливань:

 

w =

 

3. Власна циклічна частота коливального контуру:

 

.

4. Добротність коливального контуру:

 

 

або для малих значень R (наближена формула)

 

.

 

5. Якщо в коливальному контурі, який складається з конденсатора ємністю С, котушки резистора з омічним опором R, з’єднаних послідовно, діє періодично діюча е.р.с ξ = ξ0 cos wt, то в такому колі виникнуть вимушені коливання струму з частотою w

 

I = I0 cos (wt + j).

 

При цьому величини І0 і j виражаються формулами:

 

I0 = ;

 

tg j = .

 

6. Амплітуда струму І0 досягне найбільшого значення (явище резонансу), якщо частота w вимушених коливань збіжиться з частотою w0 власних коливань:

wp = w0 = .

 

7. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в прозорих середовищах:

 

υ = ,

де e і m – діелектрична і магнітна проникності середовища; e0 і m0 – електрична і магнітна сталі вакууму.

8. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в вакуумі:

 

c = .

 

9. Показник заломлення середовища

 

.

 

10. Рівняння електромагнітних хвиль

 

Ez = E0 cos (wt - kx) ;

Hу = H0 cos (wt - kx) ,

 

де Е0 і Н0 – амплітуди значень векторів напруженості електричного і магнітного полів в електромагнітній хвилі;

k = 2p/l – хвильове число.

 

11. Густина енергії електромагнітних хвиль

 

w = we + wм = E H = E H ,

 

де wе і wм – густина енергії відповідно електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

 

12. Вектор густини потоку енергії електромагнітних хвиль, вектор Пойнтінга

 

 

де w – густина енергії поля;

– вектор швидкості електромагнітних хвиль;

і – вектори напруженості електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

Приклади роз’язування задач

 

Приклад 1. Коливальний контур має індуктивність 1,6 мГн, електричну ємність 0,04 мкФ і максимальну напругу Umax на клемах рівну 200 В. Визначити максимальну силу струму в контурі. Опором контуру знехтувати.

Дано:

L = 1,6 мГн

C = 0,04 мкФ

Umax = 200 В

____________

Іmax – ?

Розв’язування. Згідно з законом збереження енергії, максимальна енергія електричного поля конденсатора дорівнює максимальній енергії магнітного поля котушки індуктивності. Тому

 

.

Звідки

Imax = Umax .

 

Підставимо числові значення

 

Imax = 200 × = 1 A.

 

Відповідь: Іmax = 1 А.

 

Приклад 2. Індуктивність коливального контуру дорівнює 0,5 мГн. Контур резонує на довжину хвилі 300 м. Визначити електроємність такого контуру. Опором контуру знехтувати.

Дано:

L = 0,5 мГн

l = 300 м

__________

С – ?

Розв’язування. Виразимо довжину електромагнітної хвилі через швидкість поширення і період коливань контуру

 

l = с Т,

де с = 3 × 108 м/с – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.

Період коливань контуру дорівнює

 

Т = 2p .

 

Тому

 

l = 2p с .

Звідки знаходимо ємність конденсатора

 

С = .

 

Підставимо числові значення

 

С = = 5,1 × 10-11 Ф.

 

Відповідь: С = 51 пФ.

 

Приклад 3. В середовищі, для якого e = 4,00 і m = 1,00, поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда електричного вектора хвилі Еmax = 200 В/м. На шляху хвилі розміщена поглинаюча поверхня, яка має форму диска радіусом r = 300 мм. Яку енергію поглинає ця поверхня за t = 1,00 хв? Період хвилі Т << t.

 

Дано:

e = 4,00; m = 1,00

Еmax = 200 В/м

r = 300 мм

t = 1,00 хв

_______________

W – ?

Розв’язування. Енергія, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, визначається вектором Пойнтінга

 

, (1)

 

де – вектор густини потоку енергії.

В електромагнітній хвилі вектори і взаємно перпендикулярні, тому модуль вектора Пойнтінга дорівнює

 

. (2)

 

Оскільки обидві величини Е і Н, які характеризують електромагнітну хвилю, в кожній її точці змінюються в часі за законом синуса або косинуса і знаходяться в однакових фазах, співвідношення (2) можна записати так:

 

R = E0 sin wt H0 sin wt = E0 H0 sin2 wt. (3)

 

Таким чином, величина R є функцією часу, а формули (2) і (3) дають лише миттєві значення цієї величини.

Нехай через площадку S в напрямі перпендикулярному до напряму поширення хвилі переноситься за час t енергія W. Тоді густина потоку

 

R = (4)

 

Через площадку S буде перенесена за час t енергія W, яка міститься в об’ємі циліндра з основою S і висотою υt, тобто

 

W = R S t. (5)

 

З урахуванням (3) маємо

 

W = E0 H0 S t sin2 wt. (6)

 

Згідно з теорією електромагнітних хвиль, густини енергії електричного і магнітного полів хвилі в будь-який момент часу однакові як для Е і Н, так і для Е0 і Н0. Тому

 

. (7)

 

З формули (7) знаходимо Н0 і підставляємо в (6)

 

W = S t sin2 wt. (8)

 

Оскільки за умовою задачі Т << t, то величину sin2wt можна усереднити в часі, тобто

.

Остаточно одержуємо

W = .

Підставимо числові значення

W = × 4 × 104 × 9 × 10-2 × 3,14 × 60 = 1800 Дж.

 

Відповідь: 1800 Дж.

 

 

Задачі

 

303. Точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення хmax дорівнює 10 см, найбільша швидкість υмах = 20 см/с. Знайти циклічну частоту ω коливань і максимальне прискорення amax.

Відповідь: 2 с-1; 40 см/с2.

 

304. Точка виконує коливання за законом х = Asinωt. У деякий момент часу зміщення х1 точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х2 стало дорівнювати 8см. Знайти амплітуду А коливань.

Відповідь: .

 

305. Рівняння коливань точки має вигляд х = A cosω (t+ τ), де ω= πс -1; τ = 0,2 с. Визначити період Т і початкову фазу φ коливань.

Відповідь: 2 с; 36о.

 

306. Точка виконує коливання за законом х = А cos (ωt+ φ), де А = 4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: а) і б) см і в) х(0) = см і г) х(0)= см і . Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.

Відповідь:; ; ; .

 

307. Точка виконує коливання з амплітудою A = 4 см і періодом Т = 2 с. Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в момент часу t = 0 зміщення х(0) = 0 і υ(0)< 0. Визначити фазу (ωt + φ) для двох моментів часу: а) коли зміщення х = 1 см і υ > 0; б) коли швидкість υ = – 6 см/с і х < 0.

Відповідь: , де А = 4см, рад/с, ;

; .

 

308. Точка виконує коливання за законом х = A cosωt, де А = 5 см; = 2 с-1. Визначити прискорення а точки в момент часу, коли її швидкість υ = 8 см/с.

Відповідь: .

 

309. Максимальна швидкість υmах точки, що виконує гармонічні коливання, дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення amах = 100 см/с2. Знайти циклічну частоту ω коливань, їх період Т і амплітуду А. Написати рівняння коливань, прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.

Відповідь: ; 0,628 с; 1 см; .

 

310. Коливання точки відбуваються за законом х = A cos (ωt + φ). У деякий момент часу зміщення х точки дорівнює 5 см, її швидкість υ = 20 см/с і прискорення a = – 80 см/с2. Знайти амплітуду А, циклічну частоту ω, період T коливань і фазу (ωt + φ) у розглянутий момент часу.

Відповідь: ; ; ; рад.

 

311. Точка бере участь у двох однаково направлених коливаннях х1 = А1 sin ωt і х2 = А2 cos ωt, де А1 = 1 см; А2 = 2 см; ω =1с-1. Визначити амплітуду А результуючого коливання, його частоту v і початкову фазу φ. Знайти рівняння цього руху.

Відповідь: А = 2,24 см; ; рад; , де .

 

312. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання уздовж осі х за законом: , де t – час у секундах, х – у сантиметрах. Визначити амплітуду зміщення А и період коливань Т. Знайти зміщення х, швидкість і прискорення а матеріальна точки в момент часу t = 4,0 с.

Відповідь: А = 6,0 см; Т = 2 с; х = 4,85 см; υ = 11,07 см/с;

а = 47,6 см/с2.

 

313. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Амплітуда швидкості частинки = 22 см/с, амплітуда її прискорення = 77 см/c². Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту ω коливань частинки.

Відповідь: А = 6,28 см; ω = 3,5 с-1.

 

314. Матеріальна точка виконує коливання уздовж деякого напрямку за законом , де ω = 1,57 c-1. Амплітуда швидкості . Знайти для моментів часу , , значення координати х, швидкості і прискорення а точки.

Відповідь: х1 = 0; х2 = 0,042м; х3=0,06 м; υ1 = 0,094 м/с; υ2 = 0,066 м/с; υ3 = 0; а1 = 0; а2 = 0,1 м/с2; а3 = 0,15 м/с2.

 

315. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення точки дорівнює 0,1 м, найбільша швидкість 0,2 м/с. Знайти циклічну частоту коливань і максимальне прискорення точки.

Відповідь: ω = 2 с-1; амах. = 0,4м/с2.

 

316. Коливання матеріальної точки масою 0,1 г відбуваються за законом: (см). Визначити максимальні значення кінетичної енергії і сили, яка повертає матеріальну точку до положення рівноваги.

Відповідь: Kмах = 4,9.10-6 Дж; Fмах = 1,97.10-4 Н .

 

317. До спіральної пружини підвісили тягарець, у результаті чого пружина розтяглася на 9 см. Який буде період коливань тягарця, якщо його трохи відтягнути від положення рівноваги, а потім відпустити?

Відповідь: Т = 0,6 с.

 

318. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Період коливань Т = 2 с, а амплітуда А = 4 см. Знайти швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2 см.

Відповідь: υ = 0,108 м/с.

 

319. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Циклічна частота ω = 4 c-1, амплітуда прискорення = 72 см/c². Визначити швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2,2 см.

Відповідь: υ = 0,157 м/с.

 

320. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. При зміщенні частинки від положення рівноваги на x1 = 2,6 см її швидкість 1 = 2,9 см/с, а при зміщенні на x2 = 3,4 см швидкість частинки 2 = 1,9 см/с. Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту коливань частинки.

Відповідь: А = 0,0389 м; ω = 1 с-1.

 

321. Частинка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x1 = 4cos4πt (см) і x2 = 3cоs(4πt + π/2) (см). Визначити циклічну частоту ω, амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання частинки. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: ω = 4π с-1; А = 0,05 м; φ = 36,86о.

 

322. Написати рівняння руху x(t) частинки, яка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x1 = 30cosπt/3 і x2 = 30cos(πt/3 + π/6) мм.

323. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку: x1 = 20cosωt (мм) і x2 = 20cos(ωt + π/3) (мм). Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання, якщо ω = π с-1. Написати також рівняння результуючого коливання x(t).

Відповідь: А=34,6 мм: φ = π/6.

 

324. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = sin t (мм) і y = cos (t + 0,5) (мм). Знайти рівняння траєкторії точки y(x) та побудувати його графік.

 

325. Частинка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 0,50sinωt і y = 1,5cosωt. Знайти рівняння руху частинки y(x). Побудувати графік результуючого траєкторії коливань і вказати на ній напрямок руху частинки.

 

326. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання, утвореного при додаванні двох коливань однакового напрямку і періоду:

x1 = 10sin3πt (см) і x2 = 12sin(3πt + /2) (см). Написати рівняння результуючого коливання. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: А = 15,6 см; φ = 39,8о.

 

327. Зміщення освітленої точки на екрані осцилографа є результатом додавання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: x = 1,5sin2πt см і y = 3sin2πt см. Написати рівняння результуючого коливання y(x) і побудувати його траєкторію.

 

327. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку з однаковими періодами Т1 = Т2 = 1,5 с і амплітудами А1 = А2 = 2 см. Початкові фази коливань φ1 = π/2, φ2 = π/3. Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання. Знайти його рівняння і побудувати з дотриманням масштабу діаграму додавання амплітуд.

Відповідь: А= 3,86 см; φ = 75о.

 

329. Точка рухається в площині x y за законом x = Asinωt і y = Bcosωt, де А = В = 10 см, = 2,0 рад/с. Знайти рівняння траєкторії руху точки y(x) і її прискорення у момент часу 2 с.

Відповідь: а = 0,4 м/с2.

 

330. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 5cosπt см і y = 10cosπt см. Знайти рівняння траєкторії точки y(х) і швидкість точки в момент часу 1 с.

Відповідь: υ = 0.

331. Частинка виконує прямолінійні згасаючі коливання з періодом Т = 4,5 с. Початкова амплітуда коливань Ao = 0,16 м, а амплітуда після 20 – ти повних коливань А = 0,01 м. Визначити коефіцієнт згасання β і логарифмічний декремент згасання . Написати рівняння коливань частинки, прийнявши початкову фазу коливань = 0.

Відповідь: β = 0,03 с-1; δ = 0,135.

 

332. Математичний маятник довжиною l = 1 м виконує згасаючі коливання в середовищі, логарифмічний декремент згасання якого 1 = 1,26. Визначити логарифмічний декремент згасання 2 маятника, якщо опір середовища зросте в 2 рази.

Відповідь: δ2

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти