|
РОЗДІЛ 3. ОПИС І ПОБУДОВА ПОВЕРХОНЬ
Геометрія поверхонь Поняття поверхні, дотична площина до поверхні Завдяки введенню декартової системи координат у просторі можна виявити однозначну відповідність між деякими геометричними образами і рівняннями. Поверхнею будемо називати множину точок, координати яких задовольняють рівняння вигляду [26] Поверхні задають, як множину точок, що мають спільну для всіх них геометричну властивість. Щоб отримати рівняння поверхні, достатньо аналітично записати геометричні умови, що входять у її визначення. Нехай – елементарна поверхня; – елементарна область у площині, образом якої в разі топологічного відображення є поверхня – декартові координати довільної точки, яка належить області. - координати відповідної точки поверхні є функціями координат точки області : . (3.1) Систему рівнянь, яка задає відображення області в просторі, називають рівняннями поверхні в параметричній формі, – криволінійними координатами на поверхні. Рівняння (3.1) за фіксованих або задають криву, яка лежить на цій поверхні. Такі криві називають координатними лініями. Поверхню будемо називати регулярною (к разів диференційованою), якщо в кожній її точці є окіл, який допускає регулярну параметризацію. Тут – регулярні ( разів неперервно диференційовані) функції, задані в елементарній області площини . При поверхню називають гладкою. Згідно з означенням, регулярна поверхняв околі кожної своєї точки може бути задана рівняннями в параметричній формі , де - регулярні функції в деякій області поверхні площини Надалі ми будемо користуватися векторним записом рівняння поверхні . Нехай вектор є дотичним до параметричної кривої , де – константа. Так само дотичний вектор до кривої дорівнює вектору . Площина, дотична до цих кривих у точці їхнього перетину , містить два, згадані вище дотичні вектори. Побудуємо математичну модель дотичної площини за допомогою векторного добутку диференціалів радіуса-вектора. . (3.2) Вираз називають детермінантом першої квадратичної форми, значення цього виразу ми пояснимо далі. Якщо поверхні мають таку параметризацію , тоді, маємо . Нормаль до цієї площинидорівнює векторному добутку векторів. Одиничний вектор нормалі (рис. 3.1) визначений за формулою , де похідні обчислюють у точці . Орієнтацію вектора вибирають у відповідності до конкретного випадку. Точки, у яких, частинні похідні не існують або в яких , відповідають або особливим точкам параметризації, гребеням, або загостренням поверхні.
Рис.3.1. Нормаль до поверхні
Нехай – регулярна поверхня,а – її регулярна параметризація а - одиничний вектор нормалі до поверхні в точці . У теорії поверхонь важливу роль відіграють три квадратичні форми, пов’язані з поверхнею Приклад. Задано рівняння поверхні в параметричній формі (гелікоїд) Перепишемо рівняння у векторному вигляді Знайдемо векторний добуток Далі обчислимо , отримаємо . Перша квадратична форма З використанням параметричних рівнянь криву, що лежить на поверхні , можна записати у вигляді . В цьому випадку позначає довільну точку на заданій поверхні, а – точку на кривій. Пояснимо геометричний сенс першої форми. Вектор , дотичний до цієї кривої, має вигляд де – часткові похідні. Перша квадратична форма є додатньовизначеною, бо набуває лише невід’ємні значення і перетворюється на нуль тільки при . Справді, оскільки , то , а оскільки , то це є можливим лише за умови . Довжина дотичного вектора дасть нам вираз для першої квадратичної форми. В кожній точці поверхні можна ввести квадратичну форму де – похідні за параметром . Визначимо коефіцієнти першої квадратичної форми, загальноприйнятими є такі позначення: Якщо – кут між дотичними векторами, то . (3.3) Для ортогональних координат на поверхні Уведемо позначення для детермінанта першої квадратичної форми, враховуючи позначення з формули (3.2) . З урахуванням виразу для одиничного вектора нормалі можна записати . Перша квадратична форма описує поверхню в першому наближенні, коли малу ділянку поверхні замінюють на ділянку дотичної площини. З її допомогою визначають кути між лініями і довжини дуг на поверхні, а також площі будь-яких ділянок поверхні. Малий елемент площі поверхні, враховуючи (3.2), (3.3) запишемо у вигляді . Отже, для того, щоб знайти площу деякої обмеженої ділянки поверхні, яка відповідає області площини змінних , треба обчислити інтеграл , . Розглянемо деякі формули, пов’язані з першою квадратичною формою поверхні. Довжину дуги відрізкакривої з кінцями в точках , обчислюють за формулою . Одиничний вектор, дотичний до кривої , визначають співвідношенням Нехай дві криві , які лежать на одній поверхні, перетинаються під кутом , тоді Оскільки , а , то косинус кута перетину між цими двома кривими можна отримати з формули . Кут між координатними лініями на поверхні набуде вигляду . Звідси можна зробити висновок, що координатна сітка на поверхні є ортогональною (координатні лінії перетинаються під прямим кутом) тоді і тільки тоді, коли .
|
|
|