ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


РОЗДІЛ 3. ОПИС І ПОБУДОВА ПОВЕРХОНЬ

Геометрія поверхонь

Поняття поверхні, дотична площина до поверхні

Завдяки введенню декартової системи координат у просторі можна виявити однозначну відповідність між деякими геометричними образами і рівняннями. Поверхнею будемо називати множину точок, координати яких задовольняють рівняння вигляду [26]

Поверхні задають, як множину точок, що мають спільну для всіх них геометричну властивість. Щоб отримати рівняння поверхні, достатньо аналітично записати геометричні умови, що входять у її визначення.

Нехай – елементарна поверхня; – елементарна область у площині, образом якої в разі топологічного відображення є поверхня – декартові координати довільної точки, яка належить області. - координати відповідної точки поверхні є функціями координат точки області :

. (3.1)

Систему рівнянь, яка задає відображення області в просторі, називають рівняннями поверхні в параметричній формі, – криволінійними координатами на поверхні. Рівняння (3.1) за фіксованих або задають криву, яка лежить на цій поверхні. Такі криві називають координатними лініями.

Поверхню будемо називати регулярною (к разів диференційованою), якщо в кожній її точці є окіл, який допускає регулярну параметризацію. Тут – регулярні ( разів неперервно диференційовані) функції, задані в елементарній області площини . При поверхню називають гладкою.

Згідно з означенням, регулярна поверхняв околі кожної своєї точки може бути задана рівняннями в параметричній формі

,

де - регулярні функції в деякій області поверхні площини

Надалі ми будемо користуватися векторним записом рівняння поверхні

.

Нехай вектор є дотичним до параметричної кривої , де – константа. Так само дотичний вектор до кривої дорівнює вектору . Площина, дотична до цих кривих у точці їхнього перетину , містить два, згадані вище дотичні вектори.

Побудуємо математичну модель дотичної площини за допомогою векторного добутку диференціалів радіуса-вектора.

. (3.2)

Вираз називають детермінантом першої квадратичної форми, значення цього виразу ми пояснимо далі.

Якщо поверхні мають таку параметризацію

,

тоді, маємо

.

Нормаль до цієї площинидорівнює векторному добутку векторів. Одиничний вектор нормалі (рис. 3.1) визначений за формулою

,

де похідні обчислюють у точці . Орієнтацію вектора вибирають у відповідності до конкретного випадку. Точки, у яких, частинні похідні не існують або в яких , відповідають або особливим точкам параметризації, гребеням, або загостренням поверхні.

 

Рис.3.1. Нормаль до поверхні

 

Нехай – регулярна поверхня,а – її регулярна параметризація а - одиничний вектор нормалі до поверхні в точці . У теорії поверхонь важливу роль відіграють три квадратичні форми, пов’язані з поверхнею

Приклад. Задано рівняння поверхні в параметричній формі (гелікоїд)

Перепишемо рівняння у векторному вигляді

Знайдемо векторний добуток

Далі обчислимо

,

отримаємо

.

Перша квадратична форма

З використанням параметричних рівнянь криву, що лежить на поверхні , можна записати у вигляді . В цьому випадку позначає довільну точку на заданій поверхні, а – точку на кривій. Пояснимо геометричний сенс першої форми. Вектор , дотичний до цієї кривої, має вигляд

де – часткові похідні.

Перша квадратична форма є додатньовизначеною, бо набуває лише невід’ємні значення і перетворюється на нуль тільки при . Справді, оскільки , то , а оскільки , то це є можливим лише за умови .

Довжина дотичного вектора дасть нам вираз для першої квадратичної форми. В кожній точці поверхні можна ввести квадратичну форму

де – похідні за параметром .

Визначимо коефіцієнти першої квадратичної форми, загальноприйнятими є такі позначення:

Якщо – кут між дотичними векторами, то

. (3.3)

Для ортогональних координат на поверхні Уведемо позначення для детермінанта першої квадратичної форми, враховуючи позначення з формули (3.2)

.

З урахуванням виразу для одиничного вектора нормалі можна записати

.

Перша квадратична форма описує поверхню в першому наближенні, коли малу ділянку поверхні замінюють на ділянку дотичної площини. З її допомогою визначають кути між лініями і довжини дуг на поверхні, а також площі будь-яких ділянок поверхні.

Малий елемент площі поверхні, враховуючи (3.2), (3.3) запишемо у вигляді

.

Отже, для того, щоб знайти площу деякої обмеженої ділянки поверхні, яка відповідає області площини змінних , треба обчислити інтеграл

,

.

Розглянемо деякі формули, пов’язані з першою квадратичною формою поверхні. Довжину дуги відрізкакривої з кінцями в точках , обчислюють за формулою

.

Одиничний вектор, дотичний до кривої , визначають співвідношенням

Нехай дві криві , які лежать на одній поверхні, перетинаються під кутом , тоді

Оскільки , а , то косинус кута перетину між цими двома кривими можна отримати з формули

.

Кут між координатними лініями на поверхні набуде вигляду

.

Звідси можна зробити висновок, що координатна сітка на поверхні є ортогональною (координатні лінії перетинаються під прямим кутом) тоді і тільки тоді, коли .

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти