Вивчення обертального руху на маятнику Обербека.

Мета роботи.

Перевірити основний закон динаміки обертального руху та дослідити залежність моменту інерції тіла від розподілу його маси.

Теоретичні відомості.

Вектор лінійної швидкості спрямований по дотичній до траєкторії руху і по величині дорівнює першій похідній від шляху за часом:

(1)

Вектор прискорення дорівнює границі відношення приросту вектора швидкості до того проміжку часу, за яке воно відбулося, за умови, що цей проміжок часу прямує до нуля, тобто, першій похідній від вектора швидкості по часу:

(2)

У кожному випадку вектор можна розкласти на тангенціальну ( ) і нормальну ( ) складові

(3)

тому вектор можна представити сумою двох величин

(4)

У виразі (4) величину

(5)

називають тангенціальним прискоренням, а величину

(6)

нормальним прискоренням.

Прискорення , яке називається повним, є векторною сумою і , тобто

(7)

Можна довести, що по величині

(8)

, (9)

де R - радіус кривизни траєкторії в розглянутий момент часу.

Тангенціальне прискорення спрямоване по дотичній до траєкторії руху та характеризує зміну швидкості за числовим значенням. Якщо рух прискорений, то збігається по напрямку з (рис. 2а), а якщо сповільнений то направлене протилежно до (рис. 2б). Якщо швидкість по величині не змінюється, то .

Рис. 2.

Нормальне прискорення спрямоване по радіусу до центра кривизни траєкторії руху (воно називається також доцентровим) і характеризує зміну швидкості по напрямку. Оскільки та завжди взаємоперпендикулярні, то по величині:

(10)

При обертальному русі точки лінійна швидкість визначається співвідношенням:

, (11)

де l - довжина дуги траєкторії.

Оскільки , то

, (12)

де - кутова швидкість матеріальної точки, чисельно рівна куту повороту за одиницю часу та вимірюється в .

Кутовій швидкості надається зміст вектора, спрямованого по осі обертання (осьового вектора). Цей вектор спрямований так, щоб, дивлячись йому вслід, можна було б бачити обертання матеріальної точки за годинниковою стрілкою. Кутовим прискоренням називають величину, чисельно рівну першій похідній від кутової швидкості по часу:

(13)

Кутовому прискоренню теж надають зміст осьового вектора, напрямок якого збігається з напрямком вектора кутової швидкості при прискореному русі та протилежний йому – при сповільненому русі.

Між лінійними та кутовими характеристиками руху існує наступний взаємозв'язок:

(14)

(15)

(16)

(17)

Абсолютно твердим називається тіло, яке не деформується ні при яких впливах. В абсолютно твердому тілі відносне положення його частинок у процесі руху не змінюється.

Обертальним називається такий рух тіла, при якому всі його точки описують кола, центри яких лежать на осі обертання. Моментом сили М відносно деякої осі обертання z (обертальним моментом) називається величина, чисельно рівна добутку діючої на тіло сили F на плече h , тобто

M_z=Fh (18)

Плечем сили називається найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії (напрямку) цієї сили.

Інертність тіл, які обертаються, залежить від розподілу їхньої маси відносно осі обертання та характеризується величиною, що носить назву моменту інерції I.

Моментом інерції матеріальної точки відносно осі z називається величина, чисельно рівна добутку маси точки m на квадрат відстані до неї від центра обертання r:

(19)

Момент інерції абсолютно твердого тіла є сумою моментів інерції всіх точок, з яких це тіло складається:

(20)

Основний закон обертального руху для абсолютно твердого тіла полягає в тому, що обертаючий момент М і кутове прискорення , отримане тілом під дією цього моменту, прямопропорційні та записуються у вигляді:

(21)

Або у векторній формі:

(21а)

3. Контрольні запитання.

1 Що характеризує тангенціальне та нормальне прискорення?

2 Як зв'язані лінійні та кутові характеристики руху?

3 Що називається плечем сили?

4 Що називається моментом сили ?

5 Що таке момент інерції матеріальної точки?

6 Що являє собою момент інерції тіла?

7 Від чого залежить момент інерції тіла?

8 Яке тіло називається абсолютно твердим?

9 Який рух називається обертальним?

10. У чому полягає основний закон динаміки обертального руху?

Домашнє завдання.

Для виконання роботи треба вивчити наступні питання: лінійна та кутова швидкості. Тангенціальне, нормальне, повне і кутове прискорення. Момент сили. Момент інерції тіла. Основний закон динаміки обертального руху.

Лабораторне завдання.

Маятник Обербека (рис. 1) складається з насаджених на одну вісь двох шківів різних діаметрів d₁ і d₂ і хрестовини, на якій закріплені тягарці (1, 2, 3, 4), на один із шківів намотана нитка, до кінця якої прикріплений вантаж масою m.

Рис. 1.

Якщо вантаж відпустити, то він приведе в прискорений рух шків та хрестовину. При прискореному русі вантажу m вниз сила натягу нитки буде:

, (22)

де - прискорення вільного падіння ( ), а - лінійне прискорення вантажу, чисельно рівне тангенціальному прискоренню точок поверхні шківа, з якого змотується нитка.

Сила, що створює обертальний момент, чисельно дорівнює і протилежно спрямована силі натягу та прикладена до обода шківа. Плечем цієї сили є половина діаметра d шківа, тобто радіус шківа. Отже, обертальний момент

(23)

Якщо врахувати пройдений прискорено падаючим вантажем шлях

, то

а кутове прискорення частин, які обертаються, на підставі формули (15) буде

(24)

Обертальний момент із врахуванням співвідношення (24) буде мати вигляд:

(25)

У цьому виразі величина , тому можна вважати, що

(26)

З основного закону динаміки обертального руху

(27)

А якщо підставити вираз (24), то одержимо:

. (28)

Порядок виконання роботи.

1. Закріпити тягарці (1, 2, 3, 4) на хрестовині на будь-яких, але однакових відстанях від осі обертання.

2. Виміряти штангенциркулем діаметри шківів d₁ і d₂.

3. Намотати нитку з вантажем m на шків діаметром d₁ і, давши вантажу можливість вільно падати, привести маятник в обертання.

4. Визначити за допомогою лінійки шлях h, пройдений вантажем і час t проходження цього шляху за допомогою секундоміра.

5. Дослід проробити 3 рази для однакового шляху h, і знайти середнє арифметичне значення часу .

6. Такі ж вимірювання провести, намотуючи нитку на шків діаметром d₂.

7. Використовуючи формули (24) і (26) обчислити відношення кутових прискорень та обертальних моментів.

8. Результати вимірювань і обчислень записати в таблицю 1.

Таблиця 1.

d1(мм)	d2(мм)	ε1( )	ε2( )

9. Порівнюючи величини ε₁/ε₂ і M₁/M₂, зробити висновки про справедливість основного закону динаміки обертального руху.

10. Змінюючи положення тягарців 1, 2, 3, 4 на хрестовині (їх треба розташовувати симетрично щодо осі обертання), проробити 5 дослідів для одного з діаметрів шківа (d₁ або d₂).

11. У кожному досліді при тому самому h час вимірювати 3 рази та знайти середнє арифметичне значення часу . У кожному досліді виміряти відстань R від тягарців (1, 2, 3, 4) до осі обертання B.

12. За формулою (28) 5 разів обчислити момент інерції.

13. Результати вимірювань і обчислень помістити в таблицю 2.

Примітка: маса падаючого вантажу зазначена безпосередньо на ньому та визначена з похибкою m=±1г

Таблиця 2

14. Побудувати графік залежності I=f(R²) і зробити висновок про характер цієї залежності.

Прилади та обладнання.

Маятник Обербека, довга лінійка, секундомір, штангенциркуль.

Література.

1. Савельєв И. В. Курс общей физики, т.1 изд. “Наука” , 1987г 3.7-11, 34-38.

2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики т.1 изд. “Наука” , 1969р. 2, 10, 11

Лабораторне заняття №4