ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Точки та прямі на поверхні багатогранників

ЗМІСТ

ВСТУП................................................................................5

1 ГРАННІ ПОВЕРХНІ..............................................................6

1.1 Загальні відомості...................................................................6

1.2 Гранні поверхні та багатогранники......................................7

1.2.1 Утворення гранних поверхонь...........................................7

1.2.2 Зображення багатогранників..............................................8

1.2.3 Точки та прямі на поверхні багатогранників..................10

1.2.4 Перерізи багатогранників площинами особливого положення та побудова їх дійсної величини............................11

1.2.5 Перерізи багатогранників площинами загального положення. Побудова дійсної величини перерізу..................14

 

2 ПЕРЕТИН БАГАТОГРАННИКІВ ПРЯМИМИ ЛІНІЯМИ....................................................................................16

2.1 Перетин багатогранників прямими лініями........................16

2.2 Розгортки поверхонь багатогранників................................18

 

3. КРИВІ ЛІНІЇ ТА ПОВЕРХНІ..............................................24

3.1 Основні поняття та визначники кривих ліній.....................24

3.2 Плоскі криві лінії...................................................................25

3.3 Просторові криві лінії...........................................................27

3.3.1 Циліндрична та конічна гвинтові лінії.............................27

3.4 Криві поверхні. Способи утворення та задання кривих поверхонь.....................................................................................29

3.5 Розгортні та нерозгортні поверхні......................................30

3.5.1 Лінійчасті розгортні поверхні...........................................30

3.5.2 Лінійчасті нерозгортні поверхні.......................................31

3.6 Криві поверхні обертання....................................................33

3.7 Циклічні, гвинтові та деякі інші поверхні..........................36

3.8 Точки та лінії на кривих поверхнях....................................37

 

4 ПЕРЕТИН КРИВОЇ ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ ТА ПРЯМОЮ ЛІНІЄЮ................................................................39

4.1 Перетин кривих поверхонь проектуючими площинами.....39

4.2 Перетин циліндра проектуючими площинами..................41

4.3 Конічні перерізи....................................................................45

4.4 Перетин конуса площинами різних положень...................46

 

5 РОЗГОРТКИ ЦИЛІНДРИЧНИХ ТА КОНІЧНИХ ПОВЕРХОНЬ.............................................................................50

5.1 Побудова розгортки циліндра..............................................50

5.2 Побудова розгортки конуса..................................................52

5.3 Перетин прямої з кривими поверхнями..............................56

5.3.1 Перетин циліндра прямою лінією.....................................56

5.3.2 Перетин конуса з горизонтальною прямою....................56

5.3.3 Перетин прямої з поверхнею кулі.....................................58

 

6 ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН.......................................................61

6.1 Взаємний перетин гранних тіл.............................................61

6.2 Перетин гранних тіл з тілами обертання...........................62

6.3 Побудова лінії взаємного перетину тіл обертання методом сфер...............................................................................................67

6.4 Особливі випадки перетину тіл обертання.........................71

 

7 АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ......................................75

7.1 Загальні відомості..................................................................75

7.2 Прямокутна ізометрична проекція.......................................76

7.3 Прямокутна диметрична проекція.......................................80

7.4 Косокутна фронтально-диметрична проекція....................82

7.5 Приклади побудова аксонометрії геометричних фігур.....84

Додаток А СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ......87

А.1 Спосіб обертання навколо проекційної прямої та лінії рівня..............................................................................................87

А.1.1 Обертання точки навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій.......................................................................87

А.1.2 Обертання навколо лінії рівня.........................................90

А.2 Суміщення сліду площини з площиною проекцій............91

Список рекомендованих джерел .............................................95

 

ВСТУП

У зв’язку з подальшим розвитком концепції національної вищої освіти перед вищою школою України постали нові завдання із вдосконалення навчально-методичного забезпечення у вищих технічних навчальних закладах. В умовах недостатньої кількості навчально-методичної літератури, (виданих переважно російською мовою), а також із запровадженням у навчальний процес нових методів навчання виникла потреба написання конспекту лекцій з нарисної геометрії рідною мовою.

Нарисна геометрія, як окрема навчальна дисципліна, вивчається у вищих технічних навчальних закладах у першому семестрі і знайомить студентів з теоретичними основами геометричного моделювання тривимірних об’єктів методом проекційних зображень і є першоосновою для подальшого вивчення інших дисциплін та успішного виконання курсових і дипломних проектів.

Друга частина конспекту є продовженням першої і стосується вивчення основ утворення поверхонь та побудови зображень гранних поверхонь та поверхонь обертання. Вона знайомить студентів зі способами побудови лінії перерізу гранних, циліндричних та конічних поверхонь площинами, розгорток поверхонь та лінії взаємного перетину двох поверхонь.

У цьому конспекті лекцій автори прагнули у стислій і доступній формі викласти найбільш важливі розділи курсу „Нарисна геометрія”, не порушуючи його цілісності і послідовності у відповідності до робочої програми дисципліни для гірничих спеціальностей. Окремі розділи, які не увійшли до цього конспекту, можна знайти в одному із запропонованих авторами додатковому списку літературних джерел.

Використані у конспекті символи і позначення геометричних об’єктів відповідають загальноприйнятим на кафедрі інженерної та комп’ютерної графіки і є універсальними для будь-якої спеціальності.


 

ГРАННІ ПОВЕРХНІ

 

Загальні відомості

Поверхня – одне з основних геометричних понять. Кожна з поверхонь визначається, переважно, як геометричне місце точок або ліній. Наприклад, поверхня кулі є геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від центра. У математиці поверхня розглядається як геометричне місце точок, які задовольняють певне алгебраїчне рівняння. Процес задання поверхонь найбільш загально розглядається як результат руху у просторі однієї лінії по іншій. Для розуміння процесу утворення поверхонь доцільно знати визначникиповерхонь, якими є твірна та напрямна. Лінія, яка під час руху утворює дану поверхню, називається твірною, а лінія, по якій рухається твірна, - напрямною. Твірні та напрямні можуть бути прямими та кривими, можуть змінювати як положення, так і форму. Таке уявлення про поверхні є основою для розуміння при здійсненні графічних побудов.

Найпростішою (ідеальною) поверхнею є площина (рис.1.1), яка утворюється при русі однієї прямої лінії (твірної k) по іншій прямій лінії (напрямній l) за умови паралельності твірної у кожному наступному положенні до попереднього. Таку умову вважають законом руху твірної по напрямній.

 

Рисунок 1.1

 

 

При вивченні поверхонь розглядають найбільш простий спосіб її утворення. Поверхні, твірною яких є пряма лінія, називають лінійчастими; якщо твірною є крива лінія, то такі поверхні називають нелінійчастими або кривими. Всі поверхні також можна розділити на розгортні, які можна розгорнути (сумістити з площиною) та нерозгортні, які неможливо сумістити з площиною.

Поверхні також поділяються на закономірні, які описуються певними законами, і незакономірні (наприклад, земна поверхня). Найбільш загальне уявлення про поверхні дає наука топологія.

 

1.2 Гранні поверхні та багатогранники

Утворення гранних поверхонь

Багатогранною називається поверхня, утворена частинами перетинних площин (граней). Гранна, як будь-яка закономірна поверхня, утворюється в результаті руху твірної по напрямній. Серед гранних розрізняють пірамідальні та призматичні поверхні. Пірамідальна (рис.1.2,а) поверхня утворюється при русі твірної l по відкритій нерухомій ламаній напрямній АВС, коли один кінець твірної закріплений у вершині S.

a б

Рисунок 1.2

Інакше кажучи, декілька площин, (але не менше трьох), які перетинаються у точці S, утворюють пірамідальну поверхню. Призматична (рис 1.2,б), як частковий випадок пірамідальної поверхні, утворюється так само як пірамідальна, лише за умови, що вершина S знаходиться у “невласній” точці (у безмежності). Тут твірна l рухається по відкритій напрямній АВС, зберігаючи у кожному наступному положенні l1, l2, ... ln паралельність до заданого напрямку n.

 

Зображення багатогранників

 

Багатогранником називається об’ємне тіло, обмежене з усіх боків площинами, які називаються гранями. При зображенні багатогранника треба мати зображення його ребер (ліній перетину граней) та вершин (точок перетину ребер). Сукупність усіх ребер і вершин багатогранника називають його сіткою. Якщо багатогранник розташований по один бік від площини будь-якої грані, то його називають опуклим. Призматичні та пірамідальні поверхні належать до групи розгортних поверхонь, тобто таких, всі грані яких можна сумістити в одну площину. Якщо пірамідальну чи призматичну поверхні перетнути площиною Q, то отримаємо їх основи АВС (рис. 1.3).

 

Рисунок 1.3

 

У підсумку зазначимо, що при перетині бічних ребер призматичної поверхні двома паралельними площинами, отримаємо два рівні між собою многокутники з відповідно паралельними сторонами, які називають основами, а бічні грані у вигляді паралелограмів – гранями призми. Піраміди та призми можуть бути прямими (рис.1.4,а,в) та похилими (рис.1.4,б,г), правильними (рис.1.4,в) та неправильними (рис.1.4, а,б,г).

a б в г

Рисунок 1.4

 

Окрему групу правильних опуклих багатогранників складають тіла Платона, в яких усі ребра, грані, плоскі двогранні та просторові кути рівні між собою (рис. 1.5). Таких тіл є пять: а) тетраедр (чотиригранник), гранями якого є чотири рівносторонні трикутники; б) гексаедр (шестигранник або куб), гранями якого є шість квадратів; в) октаедр (восьмигранник), гранями якого є вісім рівносторонніх трикутників; г) додекаедр (дванадцятигранник), утворений з дванадцятьох рівносторонніх п’ятикутників; д) ікосаедр (двадцятигранник), утворений двадцятьма рівносторонніми трикутниками.

 

 

Рисунок 1.5 Рисунок 1.6

 

Комплексне креслення (епюр Монжа) найпростішого з них тетраедра представлено на рис.1.6.

КРИВІ ЛІНІЇ ТА ПОВЕРХНІ

 

13.1 Основні поняття та визначення кривих ліній

Крива лінія – множина точок простору. Усі криві лінії – суцільні. У нарисній геометрії криву лінію можна розглядати як: траекторію руху точки на площині або в просторі; лінію перетину двох поверхонь або поверхні з площиною. Крива лінія називається плоскою, якщо всі її точки лежать в одній площині; в протилежному випадку – просторовою. Криві лінії в нарисній геометрії задаються своїми проекціями. У загальному випадку за двома проекціями кривої можна встановити плоска вона чи просторова. На рис.3.1 показана просторова крива l, так як має конкуруючі точки К та М. Плоскі та просторові криві лінії можуть бути закономірними, які описуються певним алгебраїчним рівнянням, та випадковими, які для опису рівнянь не мають. На кожній кривій лінії можна відзначити особливі точки, в яких крива змінює свою форму, а саме а) точку перелому А (рис.3.2,а); б) точку повороту або загострення В і С (рис.3.2.,б); в) подвійна або вузлова точка D (рис.3.2,в); г) точка самодотику Е (рис.3.2,г); д) точка перегину F (рис.3.2, д), в якій крива змінює напрям кривизни і перетинає дотичну.

а б в г д е

 

Рисунок 3.2

Плоскі криві лінії

 

Для дослідження локальної плоскої кривої лінії у довільно вибраній її точці розглядають дотичну та нормаль. Дотичною лінією t в точці М кривої l називають граничне положення січної КМ, коли точка К вздовж лінії l наближається до точки М (рис 3.3).

Нормаллю n в точці М до кривої l називається пряма, перпендикулярна до дотичної t в цій точці. До локальних властивос-тей кривої відноситься також поняття кривини.

 

Центр кривини О для точки М знаходиться на нормалі n до кривої в напрямі її вгнутості. Радіус кола кривини R в точці М називається радіусом кривини. Величина К = 1/R, обернена до радіуса кривини, називається кривиною кривої в досліджуваній точці. Однією з основних характеристик алгебраїчних плоских кривих ліній є порядок кривої. Він визначається графічно кількістю точок перетину даної кривої прямою лінією. Представлена на рис.3.4 крива – другого порядку, так як пряма l перетинає її у двох різних точках В та С, а в точці А дотична t дотикається до кривої. До плоских кривих замкнутих ліній відносяться лекальна крива еліпс та циркульна крива – овал, до розімкнутих плоских кривих ліній – евольвента, парабола, гіпербола, спіраль Архімеда, синусоїда та інші.

До закономірних плоских кривих ліній відносяться конічні перерізи (еліпс, гіпербола, парабола), а також евольвента та спіраль Архімеда. Евольвентою називається плоска крива лінія, яку описує точка на прямій лінії, яка без ковзання котиться по нерухомому колу. Нехай задано коло радіуса R (рис.3.5).

 

 

Рисунок 3.4 Рисунок 3.5

 

Поділимо його на рівну кількість частин ( нехай на 8); із точок поділу 1, 2, 3 проведемо послідовно ряд дотичних ліній, на яких відкладемо відповідно одну, дві, три і т.д. частин кола і отримаємо, відповідно, точки К1, К2, ….К8. При послідовному з’єднанні точок К1, К2, К3 і т. д. отримаємо евольвенту. Саме форму евольвенти мають бічні поверхні евольвентних зубчастих передач в деталях машин.

Другою важли-вою плоскою кривою лінією є спіраль Архімеда, форма якої широко застосовується в техніці при профілю-ванні пазів самоцентру-вальних кулачкових патронів, кулачкових механізмів тощо.

Спіраль Архі-меда – це плоска крива, утворена траекторією точки, яка рівномірно рухається по радіусу-вектору і одночасово рівномірно обертається навколо нерухомого центра. Для заданого кроку спіраль Архімеда будують так (рис.3.6). Радіусом, рівним кроку спіралі, проводять коло і ділять його на рівну кількість частин (наприклад, на 8). Перетин концентричних кіл, проведених радіусами 0-1, 0-2, 0-3 і т. д. з променями 0-І, 0-ІІ, 0-ІІІ ... визначає точки спіралі Архімеда К1, К2, К3 і т.д.

3.3 Просторові криві лінії

Як відомо, до точки плоскої кривої можна провести тільки одну нормаль, до точки просторової – безліч нормалей.

 

Криві поверхні обертання

Поверхня, утворена обертанням будь-якої твірної лінії навколо нерухомої прямої (осі), називається поверхнею обертання. При утворенні таких поверхонь твірною може бути пряма, крива, ламана або комбінована лінія. Пряма твірна лінія утворює конічну і циліндричну поверхні. Поверхнею обертання загального виду називають поверхню, утворену довільною кривою m, кожна точка 1, 2, 3 та 4 якої описує коло навколо осі l (рис.3.14 ліворуч). Ці кола називають паралелями. Найбільшу і найменшу паралель називають, відповідно, екватором і горлом (шийкою). Площини, які проходять через осі обертання, називають меридіональними, а лінії , по яких вони перетинають поверхні обертання – меридіанами.

 

 

 

Рисунок 3.14

 

Площину Ф, паралельну до фронтальної площини проекцій, називають головною меридіональною, а лінію перетину з поверхнею – головним меридіаном(рис.3.14, праворуч). Ці твердження справедливі за умови, коли вісь обертання l – горизонтально-проектуюча пряма.

При обертанні прямої навколо осі (рис.3.15а) утво-рюються поверхні обертання другого порядку (циліндрична (а) – коли твірна t у всіх своїх положеннях при обертанні паралельна до осі l; конічна(б) – коли твірна t одним кінцем ковзає по колу, а другий кінець закріплений у вершині S); при обертанні твірної t, мимобіжної до осі l, утворюється поверхня однопорожнинного гіперболоїда (рис.3.15,в).

 

а б в

Рисунок 3.15

 

При обертанні кривої другого порядку, яка лежить у площині симетрії кривої, утворюється поверхня обертання другого порядку. Якщо обертати навколо осі і еліпс, параболу чи гіперболу, то в результаті утворяться, відповідно: еліпсоїдобертання (рис. 3.16,а), параболоїд обертання (рис. 3.16,б), гіперболоїд обертання однопорожнинний (рис. 3.16,в) та двопорожнинний (рис. 3.16г).

а б в г

Рисунок 3.16

 

При обертанні кола діаметра d навколо осі, яка не проходить через його центр, утворюється торова поверхня; якщо коло не перетинає вісь обертання і (рис. 3.17а), то утворюється відкритий тор; якщо коло перетинає вісь обертання і (рис. 3.17б), то утворюється закритий тор; якщо центр кола (рис. 3.17в) збігається з віссю обертання, то утворюється куля (тобто кульова поверхня, яку можна розглядати як частковий випадок торової); якщо навколо осі і обертається менша частина від півкола d (рис. 3.17г), то утворюється самопересічний тор.

 

Рисунок 3.17

Конічні перерізи

При вивченні цієї теми будемо розглядати тільки перерізи прямого кругового конуса. Конічними називають перерізи, утворені при перерізі прямого кругового конуса січними площинами. В результаті перерізу конуса січними площинами різного положення отримаємо такі фігури (рис.4.4):

1) коло – коли січна площина паралельна до основи конуса або перпендикулярна до його осі (рис.4.4,а).

2) трикутник – коли січна площина проходить через дві точки основи конуса та його вершину (рис.4.4,а);

3) еліпс, або його частина – якщо січна площина перетинає відповідно усі твірні під гострим кутом до його осі або перетинає частину основи і частину твірних (рис.4.4,б);

4) гіпербола – якщо січна площина проходить паралельно до осі конуса або під кутом γ , меншим від кута α нахилу твірної до осі γ < α (рис.4.4,б);

5) парабола – коли січна площина проходить паралельно до однієї твірної конуса γ = α (рис.4.4,б).

 

 

a б

Рисунок 4.4

Усі ці криві лінії, як результат перетину конуса площиною, є плоскими і в декартовій системі координат кожна з них, окрім трикутника, описується алгебраїчним рівнянням другого порядку, тобто квадратним рівнянням, тому вони є кривими другого порядку

 

4.4 Перетин конуса площинами різних положень

 

На рис.4.5 побудовано проекції та дійсну величину фігури перерізу прямого кругового конуса фронтально-проектуючою площиною Σ , яка перетинає усі його твірні.

 

Рисунок 4.5

 

Так як площина Σ2 перетинає всі твірні конуса, то в результаті перерізу отримаємо еліпс. Велика його вісь лежить між точками А та В і проекція А2 В2 збігається зі слідом Σ2. Горизонтальні проекції цих точок А1 та В1 лежать на горизонтальному діаметрі кола (на відповідних твірних конуса). Так як еліпс – симетрична замкнута фігура, то, поділивши відстань між точками А2 та В2 навпіл, отримаємо точки С2 ººD2 малої осі еліпса, горизонтальну проекцію яких отримаємо проведенням через них горизонтальної площини Г зі слідом Г2. З точки S1 проводимо коло радіусом r1, який відтинає площина Г на конусі, і отримуємо проекції точок С1 та D1, відстань між якими є малою віссю еліпса. Дійсна величина еліпса побудована суміщенням площини Σ з горизонтальною площиною проекцій. Подальша побудова зрозуміла без пояснень, так як описана у попередніх лекціях.

На рис. 4.6 представлено побудову проекцій та дійсної величини фігури перерізу поверхні конуса горизонтально-проектуючою площиною Ф. В результаті перерізу утвориться плоска фігура, обмежена частиною гіперболи та відрізком (хордою) основи конуса. Спочатку знайдені проекції крайніх точок гіперболи 11 та 21 на колі основи конуса та їх фронтальні проекції 12 та 22.

Рисунок 4.6

 

Найвища точка гіперболи 32 (вершина) побудована з використанням горизонтально-проектуючої площини T(Т1), яка проходить через точку S1 перпендикулярно до сліду Ф1. Провівши лінію зв’язку до побудованої допоміжної твірної S2A2, знайдемо цю найвищу точку 32. Для побудови фронтальної проекції гіперболи проведемо, як мінімум, ще дві допоміжні горизонтальні площини P та R, відповідно зі слідами P2 та R2, поділивши ними відстань від точки S2 до основи конуса приблизно на три частини. На перетині кіл відповідних радіусів зі слідом Ф1 отримаємо, відповідно, проекції точок 41 та 51, а також 61 та 71, фронтальні проекції яких будуть, відповідно, на слідах площин P2 та R2. Точка зміни видимості фронтальної проекції гіперболи 82 побудована від проекції 81 перетину сліду Ф1 з правою окреслюючою твірною конуса. Дійсна величина фігури перерізу побудована суміщенням площини Ф з площиною π1, де його суміщене положення Ф2С проходить до Ф1 під кутом 90°. Для побудови точок (наприклад, точки 3с) гіперболи з точки 32 проведена горизонталь і отримана точка 32¢, з якої проведена дуга радіусом Фх32¢ на суміщений слід Ф2С. З цієї точки проведена горизонталь, паралельна до сліду Ф1 і на перетині з перпендикуляром, проведеним з проекції 31, отримаємо суміщене положення точки 3с. Побудова суміщених положень інших точок аналогічна. Варто зазначити, шо суміщених положень точок 1с та 2с будувати не потрібно, так як вони збігаються зі своїми горизонтальними проекціями 1сºº11, 2сºº21.

На рис. 4.7 представлено ще один приклад побудови фронтальної проекції гіперболи. Особливістю цієї задачі є те, що фігура перерізу проектується на фронтальну площину проекції в натуральну величину, так як конус перетинається площиною Δ, яка паралельна до фронтальної площини проекцій. Тут найвища точка 32 вершини гіперболи знаходиться на твірній SA, яка перпендикулярна до сліду площини, а точки 12 та 22 – на колі основи. Для побудови точки 32 твірна SA разом з точкою 3 повернута до положення правої окреслюючої твірної. За знайденою точкою 311 побудована фронтальна проекція 321, а потім точка 32. Інші точки на фронтальній проекції гіперболи побудовані також з використанням допоміжної горизонтальної січної площини Г.

На рис. 4.8 побудовано проекції та дійсну величину перерізу конуса фронтально-проектуючою площиною Г, слід якої Г2 проходить паралельно до однієї твірної. Як відомо з попереднього тлумачення, при такому положенні січної площини в перерізі утвориться парабола. Нижні точки 1 та

 

 

 

Рисунок 4.7 Рисунок 4.8

 

2 на фронтальній проекції збігаються з точкою сходу слідів (Гхº12º22), а найвища 3 – на окреслюючій правій твірній конуса.

Проміжні точки 4, 5, 6 та 7 побудовані з використанням допоміжних горизонтальних площин зі слідами Р2 та Т2, які довільно вибрані.

Дійсна величина фігури перерізу побудована суміщенням площини Г з площиною π12Сºх12). Побудова суміщених положень усіх точок (крім 1с та 2с) зрозуміла з рисунка .

Запитання для самоперевірки

1 У чому полягає загальний спосіб побудови перерізу кривої поверхні площиною?

2 У чому суть побудови перетину кривих поверхонь проектуючими площинами?

3 Що таке конічні перерізи?

4 Які фігури утворюються при перетині конуса площинами різних положень?

Побудова розгортки циліндра

Нехай задано дві проекції циліндра, зрізаного фронтально-проектуючою площиною Ф, і дійсна величина фігури перерізу (рис.5.1), а потрібно побудувати розгортку його нижньої частини.

Розгортка бічної поверхні циліндра має вигляд прямокутника, висота якого Н дорівнює висоті циліндра, а довжина – довжині кола, тобто πd. Для наближеної побудови скористаємося способом апроксимації, тобто заміни циліндричної поверхні 12-гранною призмою (чим більше граней, тим точніша побудова). Для цього коло основи ділимо на 12 частин від точки 11 до 121. Піднімаємо їх по лініях зв’язку на слід Ф2 і отримаємо їх фронтальні проекції 12, 22,.....122.. Дійсна величина фігури перерізу еліпс, велика вісь якого – відрізок 1272, а мала вісь – відрізок 41101 (діаметр кола). За величинами цих осей та проміжних точок аркуша побудована дійсна величина еліпса 10407010010.


а б

 

Рисунок 5.1


Розріжемо циліндр по твірній 7А (72А2) і побудуємо розгортку його нижньої (зрізаної) частини. Для цього праворуч вздовж осі ОХ відкладаємо 12 рівних частин, які дорівнюють величині відстані між двома сусідніми точками по основі циліндра (величину хорди). Від кожної точки треба відкласти величину частини відповідної твірної і сполучити отримані точки плавною лінією. На рисунку побудова твірних здійснена з використанням фронтальної проекції і показана стрілками.. Приєднавши до точки 10 розгортки вертикально розміщений еліпс та у будь-якому місці основу, отримаємо повну розгортку зрізаної (нижньої) частини циліндра з нанесенням на її поверхні лінії зрізу та фігури перерізу.

 

 

Побудова розгортки конуса

Конус, як і циліндр, відноситься до розгортних поверхонь, тому його розгортка будується аналогічно розгортці циліндра. Для цього бічна поверхня також апроксимується (замінюється) вписаною в нього поверхнею піраміди. На рис.5.2,а показано побудову повної та зрізаної частини прямого кругового конуса, зрізаного площиною Г. Кут розгортки бічної поверхні конуса точно визначається за формулою α = r ·360º /L, де r – радіус основи конуса, а L – довжина твірної.

Аналогічно як і в п. 5.1 побудовані проекції фігури перерізу, а дійсна величина її побудована заміною площин проекцій. Побудова розгортки бічної поверхні конуса способом апроксимації здійснена так. Коло основи конуса поділене на 12 рівних частин; через точки поділу проведені додаткові твірні (І1S1 та S1VII1, II1S 1 та S1VIII1 і т. д.) При перетині фронтальних проекцій цих твірних з фронтальним слідом січної площини отримано послідовно точки 32, 42, 52, 62, 72, горизонтальні проекції яких знаходимо по лініях зв’язку.


 

 

а б

Рисунок 15.2


На вільному полі аркуша з довільно взятої точки S проведемо дугу радіусом, рівним довжині твірної, де на ній відкладемо дванадцять хорд і отримаємо послідовний ряд точок І, ІІ,....ХІІ. Утворений сектор представляє розгортку бічної поверхні конуса. Розріжемо бічну поверхню по твірній VIIS і відкладемо на ній довжину правої окреслюючої твірної VII2S2 по обидва боки краю сектора, а на середині відстань І2S2. Решту точок 3, 4, 5, 6, 7 на розгортці – відкладаючи дійсні величини відрізків твірних, взятих з окреслюючої твірної І2S2. Сполучаємо отримані точки плавною лінією. Приєднавши до точки 1 в сторону S еліпс великою віссю, а до точки I - основу, отримаємо розгортку нижньої (зрізаної) частини поверхні конуса за умови, що верхня ліва його частина умовно відкинута.

На рис. 5.3 наведено ще один приклад побудови розгортки конуса, зрізаного фронтальною площиною Ф. Ця площина відтинає від поверхні конуса гіперболу, тому дійсна величина фігури перерізу спроектується на фронтальній проекції конуса в дійсну величину. Побудова фронтальної проекції фігури перерізу на рис.5.3,а здійснена аналогічно до попередньої лекції. (рис 4.7). Для наближеної розгортки бічної поверхні конуса (рис.5.3,б) коло його основи також поділене на 12 рівних частин. Таким чином, ми замінюємо конічну поверхню 12-гранною пірамідою. Розріжемо конус по найближчому до спостерігача ребру SA і побудуємо розгортку за аналогічним з рис. 5.2 способом. Найвищу точку 3 відкладаємо на крайній твірній SA по обидва боки розгортки, замірявши відстані S2¢32¢ на фронтальній проекції. Для побудови на розгортці точки 4 та симетричної їй 5 через S1 та 41 горизонтальної проекції проведені допоміжні твірні, які побудовані також на розгортці: на них відкладена відстань від S2 до 52¢. Побудова точок 6, 7 та 1, 2 здійснена також з використанням допоміжних твірних і зрозуміла без пояснень. До точки 3 на розгортці приєднана вершиною (точкою 3) фігура перерізу, яка взята з фронтальної проекції конуса. До точки Х приєднана частина основи, яка залишилася після перетину конуса площиною Ф.


а б

Рисунок 5.3


ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

Узагальнено зазначимо, що перетин поверхонь приводить до утворення прямих та кривих ліній, які являють собою сукупність точок, спільних для обох поверхонь, що перетинаються. Ці лінії мають назву ліній взаємного перетину. Для їх побудови потрібно вміти відшукати ряд точок, які одночасно належать обом поверхням. У залежності від форми тіл, які перетинаються, отримуємо плоскі або просторові лінії.

 

АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ

 

Загальні відомості

У багатьох випадках для повного уявлення форми та розмірів деталі буває недостатньо трьох її проекцій.

Тоді виконують зображення деталі в одній із аксонометричних проекцій, яке вигідно відрізняється від комплексного креслення достатньою виразністю та наочністю.

Отже, аксонометрією називається зображення предмета, спроектованого разом із прямокутними координатними осями на одну площину аксонометричних проекцій. Слово „аксонометрія” у перекладі з давньогрецької означає „міряти по осях”.

На рис. 7.1 зображена схема проектування куба з ребром l, розміщеного у прямокутній системі осей, на довільно вибрану площину Р за напрямком S. Прямокутні осі ОХ, ОУ та ОZ проектуються на площину Р в аксонометричні осі ОХр ОУр та ОZр, а відрізки l проектуються на них відповідно у відрізки lх≠ lу≠ lz ≠1. Відношення lх/l=kx, ly/l=ky , lz/l=kz називаються коефіцієнтами (показниками) спотворення по аксонометричних осях.

Якщо проектуючі промені, що проходять паралельно до напрямку S, утворюють з аксонометричною площиною Р прямий кут, то отримаємо прямокутну аксонометрію, якщо гострий – то косокутну.

Якщо коефіцієнти по всіх трьох осях однакові, аксонометрія називається ізометрією, якщо коефіцієнти однакові лише по двох – диметрією, різні по всіх осях – триметрією.

Серед шести аксонометричних проекцій, передбачених ГОСТ 2.317-69, у конструкторській практиці та навчальному процесі головним чином використовують три, а саме:

а) прямокутну ізометричну;

 

 

 

 

Рисунок 7.1

 

б) прямокутну диметричну;

в) косокутну фронтально-диметричну.

ДОДАТОК А

 

СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ*

 

ЗМІСТ

ВСТУП................................................................................5

1 ГРАННІ ПОВЕРХНІ..............................................................6

1.1 Загальні відомості...................................................................6

1.2 Гранні поверхні та багатогранники......................................7

1.2.1 Утворення гранних поверхонь...........................................7

1.2.2 Зображення багатогранників..............................................8

1.2.3 Точки та прямі на поверхні багатогранників..................10

1.2.4 Перерізи багатогранників площинами особливого положення та побудова їх дійсної величини............................11

1.2.5 Перерізи багатогранників площинами загального положення. Побудова дійсної величини перерізу..................14

 

2 ПЕРЕТИН БАГАТОГРАННИКІВ ПРЯМИМИ ЛІНІЯМИ....................................................................................16

2.1 Перетин багатогранників прямими лініями........................16

2.2 Розгортки поверхонь багатогранників................................18

 

3. КРИВІ ЛІНІЇ ТА ПОВЕРХНІ..............................................24

3.1 Основні поняття та визначники кривих ліній.....................24

3.2 Плоскі криві лінії...................................................................25

3.3 Просторові криві лінії...........................................................27

3.3.1 Циліндрична та конічна гвинтові лінії.............................27

3.4 Криві поверхні. Способи утворення та задання кривих поверхонь.....................................................................................29

3.5 Розгортні та нерозгортні поверхні......................................30

3.5.1 Лінійчасті розгортні поверхні...........................................30

3.5.2 Лінійчасті нерозгортні поверхні.......................................31

3.6 Криві поверхні обертання....................................................33

3.7 Циклічні, гвинтові та деякі інші поверхні..........................36

3.8 Точки та лінії на кривих поверхнях....................................37

 

4 ПЕРЕТИН КРИВОЇ ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ ТА ПРЯМОЮ ЛІНІЄЮ................................................................39

4.1 Перетин кривих поверхонь проектуючими площинами.....39

4.2 Перетин циліндра проектуючими площинами..................41

4.3 Конічні перерізи....................................................................45

4.4 Перетин конуса площинами різних положень...................46

 

5 РОЗГОРТКИ ЦИЛІНДРИЧНИХ ТА КОНІЧНИХ ПОВЕРХОНЬ.............................................................................50

5.1 Побудова розгортки циліндра..............................................50

5.2 Побудова розгортки конуса..................................................52

5.3 Перетин прямої з кривими поверхнями..............................56

5.3.1 Перетин циліндра прямою лінією.....................................56

5.3.2 Перетин конуса з горизонтальною прямою....................56

5.3.3 Перетин прямої з поверхнею кулі.....................................58

 

6 ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН.......................................................61

6.1 Взаємний перетин гранних тіл.............................................61

6.2 Перетин гранних тіл з тілами обертання...........................62

6.3 Побудова лінії взаємного перетину тіл обертання методом сфер...............................................................................................67

6.4 Особливі випадки перетину тіл обертання.........................71

 

7 АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ......................................75

7.1 Загальні відомості.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти