ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ПЕРЕТИН БАГАТОГРАННИКІВ ПРЯМИМИ ЛІНІЯМИ

 

2.1 Перетин багатогранників прямими лініями

 

В результаті перетину багатогранника прямою лінією отримують дві точки (входу і виходу). Для побудови цих точок через задану пряму проводять допоміжну площину (рис.2.1) і знаходять фігуру перерізу допоміжної площини з гранями багатогранника за способом, описаним у попередній лекції. Точки перетину сторін фігури перерізу з заданою прямою дають згадані точки входу і виходу М та N відповідно.

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

 

В окремих випадках, коли грані багатогранника є площинами проектуючого положення ( рис. 2.2), точки входу і виходу ( М, К) визначаються безпосередньо без додаткової побудови при перетині цих граней з прямою. Тут проекції точок М1 та К1 знаходяться відповідно у горизонтально-проектуючих площинах, які збігаються з гранями А1D1 та В1С1. Проекція t1 між точками К1 та М1 на π1 невидима, так як проходить у середині призми, а проекція t 2 наведена з урахуванням видимості на π2.

На рис.2.3 показано побудову точок перетину тригранної призми прямою l, яка перетинає одну бічну грань в точці К і верхню основу в точці М. Побудова точок М2 та К2 зрозуміла без додаткових пояснень.

Для побудови точок перетину прямої АВ з поверхнею трикутної піраміди SАВС (рис. 2.4) на епюрі через пряму l проведена проектуюча площина Г ( зі слідом Г2ºl2), яка перетинає бічну поверхню піраміди по трикутнику112131, подібному до основи А1В1С1. Спершу знайдені точки К1 та М1 на перетині трикутника 112131 з проекцією l1 а потім К2 та М2.

Рисунок 2.3
Побудова здійснена з урахуванням взаємної видимості прямої та призми на обох проекціях.

.

 

Рисунок 2.4 Рисунок 2.5

 

На рис.2.5 показано побудову точок перетину прямої АВ з поверхнею похилої призми. Через пряму проведено фронтально-проектуючу площину Ф зі слідом Ф2, яка перетинає призму по трикутнику 123. Спочатку визначені точки К1 та М1 перетину прямої l1 з проекцією трикутника 112131, а по лініях зв’язку на l2 фронтальні проекції точок К2 та М2 з урахуванням видимості відносно поверхні прямої призми на обидвох проекціях.

На рис 2.6 побудовано проекції точок К та М перетину горизонтально-проектуючої прямої t (t1,t2) з поверхнею трикутної піраміди SABC. Для цього через t та S проведена горизонтально- проектуюча площина Q зі слідом Q1(Q1ºl1S1), яка перетинає піраміду по трикутнику 1S2 (з проекціями 11S121 та 12S222). На побудованій проекції 12S2 знаходиться точка К2, а на основі А2В2S2 – точка М2 прямої t2.

 

Рисунок 2.6

2.2 Розгортки поверхонь багатогранників

Розгорткою многогранної поверхні називають суміщену з площиною аркуша плоску фігуру, складену у певному порядку з граней багатогранника. При побудові розгорток багатогранників на площині показують тільки дійсні величини всіх його граней. Розгортка призми повернута зовнішньою поверхнею до спостерігача. На рис. 2.7 показано побудову трьох проекцій та дійсної величини фігури перерізу прямої трикутної призми фронтально-проектуючою площиною Г, а на рис. 2.8 – побудову розгортки нижньої (зрізаної) частини цієї призми з нанесенням лінії зрізу та фігури перерізу.

На рис. 2.7 профільна проекція призми побудована з використанням постійної прямої К0. Нижня зрізана частина призми на π2 та π3 наведена суцільною лінією, а верхня – тонкою, так як вважається умовно відкинутою. Дійсна (натуральна) величина фігури перерізу 1С2С3С побудована суміщенням площини Г з горизонтальною площиною проекцій π1, де Г2 ººх12.

На рис 2.8 побудована повна розгортка призми з нанесенням лінії зрізу та фігури перерізу на ній. Тут бічна поверхня являє собою прямокутник, висота якого дорівнює висоті призми, а довжина дорівнює периметру трикутника основи (АВ+ВС+АС) з приєднаними до нього двома основами. Лінія згину на розгортці показана штрих-путктирною з двома крапками лінією згідно з ГОСТ 2.303-68. Нижня (зрізана) частина розгорнутої призми виділена товстими лініями, а верхня – тонкими.

На рис. 2.9 представлено дві проекції перерізу правиль-ної трикутної піраміди SABC фронтально-проектуючою площиною Г. Слід Г2 площини перетинає тільки бічні ребра (грані) піраміди, тому у перерізі буде трикутник 123, дійсна величина якого побудована заміною горизонтальної площини проекцій (вісь х25 поставлена паралельно до сліду Г2).

На рис 2.10 побудована розгортка піраміди аналогічно з описаною в попередньому пункті (при перетині призми). Бічна поверхня правильної трикутної піраміди являє собою три рівнобедрені трикутники, приєднані один до одного зі спільною вершиною S. Так як у даній (правильній) піраміді всі бічні ребра однакові, то радіус дуги SA дорівнює фронтальній проекції ребра SC (S2C2). При приєднанні до розгортки бічної поверхні трикутника основи АВС отримаємо повну розгортку поверхні. Дійсні величини S1 та S2 рівні між собою та дорівнюють S212¢ та S222¢. Розгортка показана зовнішньою поверхнею до спостерігача.


 

 

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

 

 


Рисунок 2.9 Рисунок 2.10


 

Принагідно зазначимо, що лінії згину на розгортці (рис.2.10) показано штрих-пунктирними з двома крапками тонкими лініями.

На рис. 2.11 побудовано дві проекції та дійсну величину фігури перерізу трикутної піраміди SABC фронтально-проектуючою площиною Ф, фронтальний слід Ф2 якої проходить через два бічні ребра, а горизонтальний через два ребра основи. Тут фронтальні проекції точок 12 , 22 та 32 , 42 збігаються з фронтальним слідом Ф2, а горизонтальні їх проекції 11, 21, 31 та 41 лежать, відповідно, на ребрах основи А1В1 та А1С1 та бічних ребрах S1C1, S1В1.

Дійсна величина фігури перерізу 11¢21¢31¢41¢ побудована способом плоско-паралельного переміщення фігури перерізу в горизонтальне положення. Проекція 11¢21¢31¢41¢ – дійсна величина фігури перерізу.

Рисунок 2.11

Для побудови розгортки попередньо праворуч на рис.2.11 знайдені дійсні величини ребер SB та SC загального положення шляхом плоско-паралельного їх переміщення у фронтальне положення S1¢B1¢ та S1¢C1¢ (паралельно до осі ОХ). Із зрозумілої побудови на фронтальній проекції отримані


дійсні величини цих ребер (S2¢C2¢ та S2¢B2¢). На проекціях цих ребер побудовані також точки 32¢ та 42¢, необхідні для побудови їх на розгортці піраміди. При заданому положенні піраміди ребра SA, AB, ВC та AC на рис. 12.11 є в дійсну величину АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС= А1С1 , АS=A2S2 (ребро АS фронтальне).

Розгортка на рис 2.12 побудована послідовним приєднанням дійсних величин бічних граней SAB, SВC, SAC зі спільною вершиною S та основи АВС.

Аналогічно до попередньої здійснена побудова лінії зрізу та фігури перерізу на розгортці.

Розгортка повернута до спостерігача зовнішньою поверхнею; бічна поверхня та основа показані розрізаними по ребрах AS, AB та AC, а основа АВС приєднана до сторони ВС. Верхня (відкинута частина) розгортки показана тонкою лінією, нижня – суцільною основною, а лінії згину на ній показані штрих-пунктирними тонкими з двома крапками лініями згідно з ГОСТ 2.303-68. Чотирикутник 1234 фігури перерізу на розгортці (рис 2.11) побудований розбивкою чотирикутника 11¢21¢31¢41¢, зображеного на комплексному кресленні на два трикутники 11¢31¢41¢ та 11¢21¢31¢. Свідченням правильності побудови є рівність фігури перерізу на комплексному кресленні чотирикутника 1234 на рис.2.11 та чотирикутника 1234 на розгортці (на рис. 2.12).

 

Запитання для самоперевірки

1 Як побудувати точки перетину багатогранників прямими лініями?

 

 

2 Що називається розгорткою поверхні багатогранника?

3 Як побудувати розгортку поверхні призми?

4 Як побудувати розгортку поверхні піраміди?

 

КРИВІ ЛІНІЇ ТА ПОВЕРХНІ

 

13.1 Основні поняття та визначення кривих ліній

Крива лінія – множина точок простору. Усі криві лінії – суцільні. У нарисній геометрії криву лінію можна розглядати як: траекторію руху точки на площині або в просторі; лінію перетину двох поверхонь або поверхні з площиною. Крива лінія називається плоскою, якщо всі її точки лежать в одній площині; в протилежному випадку – просторовою. Криві лінії в нарисній геометрії задаються своїми проекціями. У загальному випадку за двома проекціями кривої можна встановити плоска вона чи просторова. На рис.3.1 показана просторова крива l, так як має конкуруючі точки К та М. Плоскі та просторові криві лінії можуть бути закономірними, які описуються певним алгебраїчним рівнянням, та випадковими, які для опису рівнянь не мають. На кожній кривій лінії можна відзначити особливі точки, в яких крива змінює свою форму, а саме а) точку перелому А (рис.3.2,а); б) точку повороту або загострення В і С (рис.3.2.,б); в) подвійна або вузлова точка D (рис.3.2,в); г) точка самодотику Е (рис.3.2,г); д) точка перегину F (рис.3.2, д), в якій крива змінює напрям кривизни і перетинає дотичну.

а б в г д е

 

Рисунок 3.2

Плоскі криві лінії

 

Для дослідження локальної плоскої кривої лінії у довільно вибраній її точці розглядають дотичну та нормаль. Дотичною лінією t в точці М кривої l називають граничне положення січної КМ, коли точка К вздовж лінії l наближається до точки М (рис 3.3).

Нормаллю n в точці М до кривої l називається пряма, перпендикулярна до дотичної t в цій точці. До локальних властивос-тей кривої відноситься також поняття кривини.

 

Центр кривини О для точки М знаходиться на нормалі n до кривої в напрямі її вгнутості. Радіус кола кривини R в точці М називається радіусом кривини. Величина К = 1/R, обернена до радіуса кривини, називається кривиною кривої в досліджуваній точці. Однією з основних характеристик алгебраїчних плоских кривих ліній є порядок кривої. Він визначається графічно кількістю точок перетину даної кривої прямою лінією. Представлена на рис.3.4 крива – другого порядку, так як пряма l перетинає її у двох різних точках В та С, а в точці А дотична t дотикається до кривої. До плоских кривих замкнутих ліній відносяться лекальна крива еліпс та циркульна крива – овал, до розімкнутих плоских кривих ліній – евольвента, парабола, гіпербола, спіраль Архімеда, синусоїда та інші.

До закономірних плоских кривих ліній відносяться конічні перерізи (еліпс, гіпербола, парабола), а також евольвента та спіраль Архімеда. Евольвентою називається плоска крива лінія, яку описує точка на прямій лінії, яка без ковзання котиться по нерухомому колу. Нехай задано коло радіуса R (рис.3.5).

 

 

Рисунок 3.4 Рисунок 3.5

 

Поділимо його на рівну кількість частин ( нехай на 8); із точок поділу 1, 2, 3 проведемо послідовно ряд дотичних ліній, на яких відкладемо відповідно одну, дві, три і т.д. частин кола і отримаємо, відповідно, точки К1, К2, ….К8. При послідовному з’єднанні точок К1, К2, К3 і т. д. отримаємо евольвенту. Саме форму евольвенти мають бічні поверхні евольвентних зубчастих передач в деталях машин.

Другою важли-вою плоскою кривою лінією є спіраль Архімеда, форма якої широко застосовується в техніці при профілю-ванні пазів самоцентру-вальних кулачкових патронів, кулачкових механізмів тощо.

Спіраль Архі-меда – це плоска крива, утворена траекторією точки, яка рівномірно рухається по радіусу-вектору і одночасово рівномірно обертається навколо нерухомого центра. Для заданого кроку спіраль Архімеда будують так (рис.3.6). Радіусом, рівним кроку спіралі, проводять коло і ділять його на рівну кількість частин (наприклад, на 8). Перетин концентричних кіл, проведених радіусами 0-1, 0-2, 0-3 і т. д. з променями 0-І, 0-ІІ, 0-ІІІ ... визначає точки спіралі Архімеда К1, К2, К3 і т.д.

3.3 Просторові криві лінії

Як відомо, до точки плоскої кривої можна провести тільки одну нормаль, до точки просторової – безліч нормалей.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти