ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Перетин гранних тіл з тілами обертання

Метод допоміжних січних площин.

Узагальнений алгоритм розв’язування задач цього типу такий:

а) проведення допоміжних січних площин так, щоб вони перетинали обидва тіла по найпростіших для побудови лініях;

б) визначення ліній взаємного перетину допоміжних січних площин з заданими поверхнями;

в) знаходження спільних точок для ліній перетину двох поверхонь.

У загальному випадку при перетині гранної поверхні з поверхнею обертання утворюється просторова ламана лінія, яка складається зі з’єднаних між собою окремих ланок плоских кривих ліній; в інших випадках, коли гранне тіло повністю „пронизує” поверхню обертання, утворюються дві просторові замкнуті ламані лінії другого порядку, не з’єднані між собою.

Розглянемо приклад, якщо одне з гранних тіл, яке перетинається з тілом обертання, займає проектуюче положення, то саме на цій проекції точки лінії перетину лежать на проектуючих гранях. На рис. 6.2 представлено приклад побудови лінії перетину тригранної фронтально-проектуючої призми з прямим круговим конусом. Так як призма займає проектуюче положення, то на фронтальній проекції знаходимо проекції точкок перетину без додаткових побудов (по границях перетину двох тіл).

Для розуміння побудови на перший раз позначимо передню грань призми АВС і вершину конуса S. Спочатку, як завжди, знаходимо проекції характерних (без побудови на обидвох проекціях) точкок: 12 та 11 – перетину верхньої (горизонтальної) грані з лівою твірною; 22 та 21 – перетину фронтально-проектуючої грані з цією ж твірною; 32,42, 31 та 41 – перетину нижнього ребра з основою конуса (при цьому 32º42, а 31 – передня точка на колі основи, а 41 – задня).

Вибираємо раціонально допоміжні січні площини, перетин яких одночасово обидвох тіл дає прості за побудовою лінії. Саме такими є ряд горизонтальних площин зі слідами Г2, Р2, Т2 та Q2. Площина зі слідом Г2 – горизонтальна і збігається з верхньою гранню; тому у результаті перетину з конусом дає частину кола, яке проходить на горизонтальній проекції через точки 51,11 та 61, радіус якого рівний відстані від осі конуса до твірної на сліді Г2.

 

 

 

Рисунок 6.2

 

На лівій та правій гранях призми у межах перетину тіл взяті на січних площинах точки 72º82, 92 º102, 112 º122 та 132º142. Побудова горизонтальних проекцій цих точок аналогічна до побудови проекцій точок 41 та 51. Так як на фронтальній проекції конус перетинає права частина верхньої грані, повна права грань та права частина лівої грані, то в результаті перетину цих поверхонь утвориться просторова замкнута ламана лінія, складена з ділянок плоских кривих ліній другого порядку. На фронтальній проекції лінія перетину збігається з гранями призми, а на горизонтальній – складається з частини кола і двох частин еліпсів. Частина лівої твірної між точками 12, 22 показана невидимою (тонкою лінією), а горизонтальна проекція лінії взаємного перетину та обидвох тіл наведена з урахуванням їх взаємної видимості.

На рис.6.3 у скороченому викладі пояснено побудову лінії взаємного перетину горизонтально-проектуючої трикутної призми з півкулею. При такому розміщенні призми лініями перетину у просторі будуть з’єднані між собою частини кіл. На фронтальну площину лінії перетину, розташовані на бічних гранях, спроектуються у частини еліпсів, а розташовані на задній грані – в частину кола

 

 

 

Рисунок 6.3

 

Особливістю такої задачі є неможливість знайти готовими характерні точки 1,8 та 9 – перетину ребер призми з поверхнею півкулі. Для розуміння побудови верхня основа призми позначена точками А,В,С. Раціональними є ряд фронтальних площин, які у перетині з призмою дають прямокутники, ширина яких рівна відстані між гранями по горизонтальному сліду січної площини. В перетині сфери – кола, радіуси яких рівні відстані від вертикальної осі кола основи до окреслюючого кола півсфери на горизонтальній проекції по горизонтальному сліду січної площини. Наприклад, щоб визначити першу точку кривої, через переднє ребро призми проведена фронтальна площина зі слідом Σ1, яка відтинає на півсфері частину кола радіуса r. Провівши з центра О2 коло цим радіусом, отримаємо на ребрі А2 проекцію точки 12. Подальша побудова пояснена детально в попередній задачі. Варто лише зазначити, що в результаті перетину задньої (фронтальної) грані з поверхнею півсфери утворюється частина невидимого кола між точками 82 та 92 радіуса r1.

На рис.6.4 показано побудову перетину сфери з конусом з використанням допоміжних січних площин. Так як і в попередній задачі, тут проекції характерних точок 12 і 22 знайдені без додаткової побудови. Горизонтальні проекції характерних точок 11 та 21 знаходяться на горизонтальному діаметрі (лівій твірній) конуса Решта проміжні точки побудовані проведенням ряду горизонтальних площин зі слідами Q2, P2, T2. Побудова точок 3 та 4 здійснена так. Площина Q зі слідом Q2 відтинає від сфери коло радіуса r1, а від конуса – радіуса r2. Перетин цих кіл, проведених відповідно з центра О1 та вершини S1, дає, відповідно, точки 31 та 41, а по лінії зв’язку 32 º42. Решта точки побудовані аналогічно. На епюрі встановлена видимість лінії перетину обох тіл, що перетинаються. Точки зміни видимості відносно горизонтальної площини проекції розташовані на екваторі сфери (точки 5,6). Точки 1 та 2 – точки зміни видимості відносно фронтальної площини проекцій.

 

 

Рисунок 6.4

 

6.3 Побудова лінії взаємного перетину тіл обертанняметодом сфер

Для побудови лінії взаємного перетину двох тіл обертання (конуса, циліндра, сфери, тора) застосовують метод допоміжних концентричних сфер. Цей метод застосовують в особливих випадках, а саме:

а) обидва тіла, що перетинаються, мають бути тілами обертання;

б) їхні осі повинні перетинатися, лежати в одній площині, яка паралельна до будь-якої площини проекцій.

В основі цього методу є властивість сфери перетинатися з тілами обертання по колу. Це коло проектується на площину, перпендикулярну до осі обертання без спотворення (у натуральну величину), а на інші площини проекцій – у відрізок прямої лінії, який рівний діаметру цього кола. У багатьох випадках при перетині проектуючих тіл обертання будують тільки одну проекцію перетину двох тіл; друга при цьому збігається з проектуючими твірними одного з них.

На рис. 6.5 побудовано проекції лінії взаємного перетину вертикального циліндра з горизонтально розміщеним півциліндром методом концентричних сфер.

 

 

 

Рисунок 6.5

На горизонтальній проекції лінія перетину поверхонь збігається з контуром основи вертикального циліндра, так як усі твірні є горизонтально-проектуючі прямі. Спочатку визначаємо характерні точки: А – крайню ліву та В – крайню праву. Так як циліндри різних діаметрів, то спочатку варто визначити точку найнижчого прогину просторової кривої на фронтальній проекції. Для цього з центра О2 проводимо дотичну сферу до твірної горизонтального півциліндра радіусом, рівним радіусу цього циліндра. З горизонтальним півциліндром сфера перетинається по півколу О212, а з вертикальним – по колу, яке проектується у відрізок 2232, які на фронтальній проекції „вироджуються” саме в ці лінії. Перетин цих ліній дає проекції передньої точки С2 та задньої D2, найбільшого прогину кривої, які на фронтальній проекції збігаються (С2 ºD2). Для побудови ще декількох проміжних точок з центра О2 проводимо сферу радіусом, дещо більшим від попереднього, будуємо аналогічно проекції 42, 52 та 62 і 72, перетин яких дає дві пари точок Е2 ºF2 та M2 ºN2. Принагідно варто зауважити, що точність побудов залежить від точності викреслювання графічної умови цієї та наступних задач.

Візьмемо складніший випадок (рис. 6.6) побудови лінії взаємного перетину конуса та циліндра за цим способом, де побудову цієї лінії необхідно здійснювати на обидвох проекціях.

Спочатку знаходимо фронтальні проекції характерних точок А2, В2, С2, D2, у яких крайні (окреслюючі) твірні конуса перетинаються з твірними циліндра. Для визначення характеру лінії перетину поверхонь проведемо сферу радіусом Rmin, дотичну до твірних конуса, що дає в перетині з конусом коло, яке проектується на фронтальну площину в лінію 1222, а при перетині з циліндром у дві вертикальні лінії 3242 та 5262. Перетин цих ліній дає ліву точку Е2 найбільшого прогину лівої кривої та праву – F2 найбільшого прогину правої кривої.

Далі за аналогією проводимо сферу, діаметром, трохи більшим від попереднього.

 

 

 

Рисунок 6.6

 

Знаходимо ще декілька точок кривої (G, H, K, L) на перетині відповідних вертикальних та горизонтальних ліній. З метою виразності креслення краї цих ліній не позначені. Сполучивши лівий і правий ряди цих точок плавними кривими лініями, отримаємо фронтальні проекції ліній перетину заданих поверхонь. Треба зауважити, що при побудові ліній перетину поверхонь за цим способом, до уваги слід брати точки перетину твірних з допоміжною сферою. Горизонтальні проекції проміжних точок лінії перетину поверхонь визначають за умови належності кожної з точок одній із поверхонь (в прикладі на рис. 6.6 поверхні конуса). Важливим є також встановлення проекцій точок зміни видимості кривої на горизонтальній проекції. Вони знаходяться на перетині передньої та задньої твірних циліндра, (які співпадають на фронтальній проекції з його віссю) з кривою перетину поверхонь на фронтальній проекції. На горизонтальній проекції ці точки знаходяться на контурних твірних циліндра. Для кращої наочності проекції циліндра вздовж твірних заштриховані. У загальному випадку поверхні другого порядку перетинаються між собою по кривих четвертого порядку.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти