Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої. У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Приклад 1. В урні міститься 10 однакових кульок, із них 6 чорних і 4 білих. З урни навмання беруть дві кульки по одній без повернення. З'ясувати, чи будуть залежними такі події: перша кулька виявиться чорною і друга також.

Розв'язання. Позначимо через А появу чорної кульки при першому вийманні, а через В — при другому. Випадкові події А і В будуть залежними, оскільки поява чорної кульки при першому її вийманні з урни (випадкова подія А) впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (випадкова подія В) при другому вийманні.

Приклад 2. З урни, де шість білих і чотири чорні кульки, вийняли дві кульки по одній, при цьому перша кулька в урну повертається.

З'ясувати, чи будуть залежними такі події: перша виявиться чорною, друга також.

Розв'язання. Нехай А — поява чорної кульки при першому вийманні, а В — при другому. Поява чорної кульки при першому вийманні (здійснилась подія А) не впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (подія В) при другому вийманні, оскільки співвідношення між чорними та білими кульками в цьому разі не змінюється.

Обчислення умовної ймовірності

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

. (2.7)

Формули ймовірностей добутку та суми випадкових подій

Згідно із (2.7) маємо:

. (2.8)

Формула (2.8) має місце в загальному випадку. Якщо події А і В є незалежними то, за означенням, . Для незалежних подій з (2.8) випливає:

. (2.9)

Імовірність суми двох несумісних поді А і В є:

. (2.10)

Імовірність суми двох сумісних поді А і В є:

. (2.11)

Імовірність появи хоча б однієї випадкової події

Нехай є n сумісних випадкових подій , ,..., . Позначимо через подію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія це подія за якої жодна з подій не відбудеться. Подія визначається як . Події та утворюють повну групу подій, тому

Звідси одержуємо

(2.12)

За цією формулою треба обчислювати імовірність появи хоча б однієї випадкової події з n сумісних подій.

1320 11

Формула повної ймовірності

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій , , ... , які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними, імовірність події А обчислюється за формулою:

. (2.13)

Яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події , , ... називають гіпотезами.

Формула Байєса

Нехай в умовах задачі, що відноситься до формули повної ймовірності, провели одну спробу експерименту, в результаті якої відбулася подія А. Запитується: як змінилися (у зв'язку з тим, що подія А уже відбулася) імовірності гіпотез, тобто величини , k = 1,....,n ?

Знайдемо умовну імовірність . За теоремою добутку ймовірностей маємо:

, (2.14)

де обчислюється за формулою (2.13).

Формула (2.14) називається формулою Байєса (Томас Байєс, чи Бейєс (1702 – 1761), - англійський математик).

Питання для самоконтролю

1. В якому разі P(A/B) = 1?

2. Формула добутку ймовірностей для двох залежних випадкових подій А і В.

3. Чому дорівнює P , якщо випадкові події А_i є залежними?

4. Чому дорівнює Р (A∩B) , якщо А і В є незалежними?

5. В якому разі P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B)?

6. Формула для обчислення появи випадкової події хоча б один раз при n незалежних експериментах має вигляд...

7. Гіпотези у формулі повної ймовірності та їх властивості.

8. Формула повної ймовірності випадкової події А за наявності n гіпотез B_i.

9. В якому разі використовується формула Байєса?

10. В якому разі обирається гіпотеза B_i для прийняття рішення при проведенні експерименту?

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Тема 3. Схема незалежних випробувань

Мета роботи:набути теоретичні знання і практичні навички використання формул для розрахунку ймовірностей у повторних незалежних випробуваннях в ході розв’язання практичних задач.

План вивчення теми

1. Формула Бернуллі.

2. Найімовірніше числопояви випадкової події (мода).

3. Локальна теорема.

4. Інтегральна теорема.

5. Використання інтегральної теореми.

6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій.

7. Проста течія подій.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями р і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю р відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто р+ q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для п експериментів за схемою Бернуллі — елементарних подій.

Формула Бернуллі

Імовірність того, що в результаті п незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з'явиться т раз, подається у вигляді

(3.1)

Зауваження. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість n випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою:

2. Найімовірніше числопояви випадкової події (мода)

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті п незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке число т₀, для якого ймовірність перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Якщо ймовірності обчислюються за формулою Бернуллі (3.1), мають місце нерівності:

. (3.2)

Число т₀ називають також модою.

Отже, найімовірніше число виробів першого сорту серед 200 дорівнює 180.

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях і m пов'язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної та інтегральної теорем Муавра — Лапласа.

Локальна теорема

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з п незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р , то для великих значень п і т імовірність того, що випадкова подія А настане т раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (3.3)

де називається функцією Гаусса, де

Властивості функції Гаусса:

1) визначена на всій осі абсцис; >0;

2) є функцією парною: = ;

3) .

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності такої випадкової події: виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.

Розв'язання. За умовою задачі маємо:

п = 400; р = 0,75; = 0,25; т = 290.

= 8,7; = ; .

Інтегральна теорема

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з п незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то для великих значень п імовірність появи випадкової події від до раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

, (3.4)

де , .

Інтегральна теорема має ще одну форму запису:

, (3.5)

Властивості функції Лапласа:

1. Ф(х) визначена на всій осі абсцис.

2. Ф(-х) = - Ф(х), отже, Ф(х)є непарною функцією.

3. Ф(0) = 0.

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая