ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мо) дискретної випадкової величини X називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини X називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл ймовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини X називають те її значення, для якого виконується рівність:

 

Дисперсія та середнє квадратичне відхилення

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М(Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини X від свого математичного сподівання .

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

(5.3)

Для дискретної випадкової величини X дисперсія:

(5.4)


для неперервної:

(5.5)

Властивості дисперсії:

1. Якщо С – стала величина, то

.

2. D(СХ) = .

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називають корінь квадратний із дисперсії:

(5.6)

Початкові та центральні моменти

Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.

Початковим моментом -го порядку випадкової величини X називають математичне сподівання величини :

.

Для ДВВ: ,

для НВВ: .


Центральним моментом -го порядку випадкової величини X називають математичне сподівання від :

.

Асиметрія і ексцес

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо , то випадкова величина X симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії:

.

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гост ровершинність щільності ймовірності . Ексцес обчислюється за формулою

.

Біноміальний закон розподілу

Цей закон має вигляд

, (5.7)

і використовується у схемі Бернуллі, тобто у випадку незалежних повторних випробувань, в кожному з яких деяка подія з'являється з ймовірністю р.

Для біноміального розподілу: , .

Закон розподілу Пуассона

ДВВ X приймає злічену множину значень ( .) з ймовірностями

. (5.8)

Цей розподіл використовують в задачах статистичного контролю якості, в теорії надійності, теорії масового обслуговування, для обчислення: кількості вимог на виплату страхових сум за рік, кількості дефектів однакових виробів.

Для розподілу Пуассона: , .

Рівномірний розподіл

Означення 1. НВВ X розподілена рівномірно на проміжку , якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її ймовірностей на цьому проміжку стала, тобто

(5.9)

Величина сталої С визначається умовою нормування

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків.

Числовими характеристиками НВВ X, що розподілена за рівномірним законом, будуть

, .

Експоненціальний розподіл

Означення 2. Випадкову величину X називають розподіленою за експоненціальним законом, якщо щільність її ймовірностей має вигляд

(5.10)

де > 0 - параметр.

Експоненціальному розподілу задовольняють: час телефонної розмови, час ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп'ютера. Числовими характеристиками експоненціального розподілу будуть

, .

Нормальний розподіл

Означення 3. Випадкову величину X називають розподіленою нормально, якщо щільність її ймовірностей має вигляд

. (5.11)

 

Графік цієї функції називають нормальною кривою або кривою Гауса.

Для цього розподілу:

, .

Отже, математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру а цього розподілу, а середнє квадратичне відхилення дорівнює параметру .

Зауваження. Якщо випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами а та , то випадкова величина буде розподілена за нормованим нормальним законом і , .

7. Розподіл («хі-квадрат»)

Нехай ( - нормальні, нормовані незалежні величини, тобто їх математичне сподівання дорівнює нулю, середнє квадратичне відхилення дорівнює одиниці і кожна з них розподілена за нормальним законом. Тоді сума квадратів цих величин

розподілена за законом з степенями вільності.

Якщо величини зв'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад, , то число ступенів свободи буде .

Зауважимо, що розподіл визначається параметром – числом ступенів свободи . Коли зростає, розподіл прямує до нормального розподілу дуже повільно.

Розподіл Стьюдента

Нехай X - нормальна нормована випадкова величина, а - незалежна від X величина, яка розподілена за законом хі-квадрат з степенями свободи. Тоді величина

має розподіл, який називають розподілом або розподілом Стьюдента (це є псевдонім англійського статистика Вільяма Госсета) з степенями вільності.

При зростанні розподіл Стьюдента швидко наближується до нормального розподілу.

Питання для самоконтролю

1. Визначення нормального закону розподілу.

2. Як впливають параметри a, s на графіки функцій f(x), F(x) загального нормального закону.

3. Що називають нормованим нормальним законом?

4. Чому дорівнює Мо і Ме для нормального закону розподілу?

5. Навести визначення для нормального розподілу.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти