ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Рівняння лінійної парної регресії

Нехай між змінними Х та теоретично існує певна лінійна залежність. Це твердження може ґрунтуватися на тій підставі, наприклад, що кореляційне поле для пар ( ; ) має такий вигляд як на рисунку.

Як бачимо, насправді між ознаками X і спостерігається не такий тісний в'язок, як це передбачає функціональна залежність. Окремі спостережувані значення у, як правило, відхилятимуться від передбаченої лінійної залежності під впливом випадкових збудників, які здебільшого є невідомими. Відхилення від передбаченої лінійної форми зв'язку можуть статися внаслідок неправильної специфікації рівняння, тобто ще з самого початку неправильно вибране рівняння, що описує залежність між X і .

Будемо вважати, що специфікація рівняння вибрана правильно. Ураховуючи вплив на значення збурювальних випадкових факторів, лінійне рівняння і зв'язку X і можна подати в такому вигляді:

, (14.1)

де , є невідомі параметри регресії, є випадковою змінною, що характеризує відхилення у від гіпотетичної теоретичної регресії.

Отже, в рівнянні (14.1) значення « » подається у вигляді суми двох частин: систематичної і випадкової . Параметри , , є невідомими величинами, а , є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками: М( ) =0, D( ) = =соnst. При цьому є некорельованими.

У результаті статистичних спостережень дослідник дістає характеристики для незалежної змінної х і відповідні значення залежної змінної у.

Отже, необхідно визначити параметри , . Але істинні значення цих параметрів дістати неможливо, оскільки ми користуємося інформацією, здобутою від вибірки обмеженого обсягу. Тому знайдені значення параметрів будуть лише статистичними оцінками істинних (невідомих нам) параметрів , . Ці оцінки позначимо , . Тоді моделі (14.1) відповідатиме статистична оцінка

. (14.2)

2. Визначення параметрів ,

Якщо ми прийняли гіпотезу про лінійну форму зв'язку між ознаками X і , то однозначно вибрати параметри , , які є точковими статистичними оцінками відповідно для параметрів , , практично неможливо. І справді, через кореляційне поле (рис. 11) можна провести безліч прямих. Тому необхідно вибрати такий критерій, за яким можна здійснити вибір параметрів , .

На практиці найчастіше параметри , визначаються за методом найменших квадратів, розробка якого належить К.Гауссу і П.Лапласу. Цей метод почали широко застосовувати в економіко-статистичних обчисленнях, відколи була створена теорія регресії.

Відповідно до цього методу рівняння лінійної парної регресії , необхідно вибрати так, щоб сума квадратів відхилень спостережуваних значень від лінії регресії була б мінімальною. З (14.2) знаходимо:

. (14.3)

Як бачимо, величина є функцією від параметрів , . Ці параметри необхідно добирати так, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною: .

Позначивши , розглянемо необхідну умову існування мінімуму функції :

(14.4)

З (14.4) знаходимо ;

.

Парний коефіцієнт кореляції визначається як

.

Основна властивість парного коефіцієнта кореляції: .

3. Властивості ,

Статистичні оцінки параметрів парної функції регресії , є незміщеними оцінками параметрів , , дійсно:

, .

Множинна регресія

Визначення та кількісна оцінка взаємозв'язку між двома статистичними ознаками за допомогою парної кореляції є дійовим засобом статистичного аналізу. Проте соціально-економічні процеси та явища формуються під впливом не одного, а багатьох факторів. Наприклад, на урожайність сільськогосподарських культур впливають метеорологічні умови, кількість унесених добрив, сорт, строки сівби тощо. Продуктивність тварин залежить від рівня та якості годівлі, породи, способів утримання тварин, процесів відтворення стада тощо.

Кореляцію, за допомогою якої вивчається вплив на результативну ознаку двох та більше взаємозв'язаних факторних ознак, називають множинною. При вивченні множинної кореляції можна застосовувати як прямолінійні, так і криволінійні рівняння регресії.

Багатофакторні регресійні моделі дають змогу оцінювати вплив на досліджувану результативну ознаку кожного окремого із включених у рівняння факторів при фіксованому значенні (на середньому рівні) інших факторів. При цьому важливою умовою множинної кореляції є відсутність функціонального зв'язку між факторами.

Важливе значення при множинній кореляції має вибір форми зв'язку та відповідного математичного рівняння множинної регресії. Вибір типу функції має ґрунтуватися на теоретичному аналізі досліджуваного явища або на досвіді попередніх аналогічних досліджень. Ураховуючи, що будь-яку функцію багатьох змінних можна звести до лінійного типу логарифмуванням, рівняння множинної регресії частіше будують у лінійній формі.

Формула лінійного рівняння множинної регресії має такий вигляд:

.

Окремі коефіцієнти регресії цього рівняння характеризують вплив відповідного фактора на результативний показник при фіксованому (елімінованому) значенні інших факторів. Вони показують, наскільки змінюється результативний показник при зміні відповідного фактора на одиницю. Вільний член рівняння ( ) не має економічного змісту та не інтерпретується.

Параметри рівняння множинної регресії обчислюють за методом найменших квадратів.

Питання для самоконтролю

1. Дати визначення статистичної залежності між ознаками X та Y .

2. Що означає кореляційна залежність між ознаками X та Y ?

3. Записати модель парної лінійної регресії ?

4. Чому дорівнює , ?

5. Які числові характеристики для , ?

6. Який закон розподілу ймовірностей мають випадкові величини , для парної лінійної регресії ?

7. Який закон розподілу ймовірностей мають випадкові величини ?

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти