ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Тема 15. Елементи теорії кореляції

Загрузка...

Мета роботи:вивчити поняття функціональної, статистичної, кореляційно залежності між змінними.

План вивчення теми

1. Функціональна залежність.

2. Статистична залежність.

3. Кореляційна залежність.

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Функціональна, статистична і кореляційна залежності

Кожній величині, яку дістають у результаті проведення експерименту, притаманний елемент випадковості, що виявляється більшою чи меншою мірою залежно від її природи.

При сумісній появі двох і більше величин у результаті проведення експерименту дослідник має підстави для встановлення певної залежності між ними, зв'язку.

Ідея зв'язку між змінними величинами має особливе, принципове значення в економетричних дослідженнях, де здійснюється перевірка на адекватність створених математичних моделей реальним економічним процесам, в яких співвідношення між змінними пов'язані функціональною залежністю.

Строгої функціональної залежності між змінними, у буквальному розумінні цього слова, у реальному світі не існує, бо вони перебувають під впливом випадкових факторів, наслідки якого передбачити практично неможливо. Тому між змінними існує особлива форма зв'язку, яку називають стохастичною (про що йшлося в попередніх темах) і яка в математичній статистиці трансформується, не змінюючи своєї сутності, у статистичну залежність.

Наприклад, при дослідженні двох змінних X та зміна значень Х-Хі призводить до такої зміни значень , яку можна розбити на два компоненти: систематичну, що пов'язана із залежністю, котра існує між X та , і випадкову, яка зазнає впливу випадкових факторів.

Показником, що вимірює стохастичний зв'язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв'язок між змінними близький до строгої лінійної залежності.

Значно збільшується цінність коефіцієнта кореляції для випадкових змінних, що мають закон розподілу ймовірностей, близький до нормального. Для таких величин відсутність кореляції одночасно означає і відсутність будь-якої залежності між ними.

Крім цього, як і в дисперсійному аналізі, кореляційний аналіз оцінює, наскільки значні невипадкові змінні у випадкових величинах у процесі проведення експерименту.

За наявності кореляційного зв'язку між змінними необхідно виявити його форму функціональної залежності (лінійна чи нелінійна), а саме:

, (15.1)

, (15.2)

. (15.3)

Наведені можливі залежності між змінними X і (15.1), (15.2), (15.3) називають функціями регресії. Форму зв'язку між змінними X і можна встановити, застосовуючи кореляційні поля. На основі розміщення точок кореляційного поля дослідник має підстави для гіпотетичного припущення про лінійні чи нелінійні залежності між ознаками X і .

Для двовимірного статистичного розподілу вибірки ознак (X, ) поняття статистичної залежності між ознаками Х та має таке визначення:

статистичною залежністю X від У називають таку, за якої при зміні значень ознаки = уі змінюється умовний статистичний розподіл ознаки X, статистичною залежністю ознаки від X називають таку, за якої зі зміною значень ознаки Х= змінюється умовний статистичний розподіл ознаки .

У разі зміни умовних статистичних розподілів змінюватимуться і умовні числові характеристики.

Звідси випливає визначення кореляційної залежності між ознаками X і . Кореляційною залежністю ознаки X від називається функціональна залежність умовного середнього від аргументу х, що можна записати так:

Аналогічно кореляційною залежністю ознаки від X називається функціональна залежність умовного середнього від аргументу у, що можна записати, так:

Між ознаками X та може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та , то обов'язково між ними існуватиме і статистична залежність.

Питання для самоконтролю

1. Що означає функціональна залежність між ознаками X та Y ?

2. Дати означення статистичної залежності між ознаками X та Y.

3. Що означає кореляційна залежність між ознаками X та Y ?

4. Що таке коефіцієнт кореляції?

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

4. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Модуль 2. Теорія ймовірностей і математична статистика

Змістовий модуль1.Теорія ймовірностей

Практичне заняття №1

Тема 1.Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей.

Мета заняття:Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання основних понять теорії ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Ймовірністю випадкової події А називається невід'ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій , які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору :

.

Для неможливої події Æ . Для вірогідної події .

Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість усіх елементарних подій (елементів множини ) і число елементарних подій, які сприяють появі випадкової події. Для цього використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації.

Переставленням із елементів називають такі впорядковані множини з елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

,

де набуває лише цілих невід'ємних значень. За означенням 1! =1 і 0!=1.

Розміщенням із n елементів по m (0<m<n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

.

Комбінаціями з n елементів по m (0<m<n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Число комбінацій з n елементів по m позначається . І знаходиться за формулою

.


Задачі для розв’язання

1. Дві особи стріляють у мішень по одному разу. Подія А – у мішень влучив перший стрілець. Подія В - у мішень влучив другий стрілець. Виразити через А та В такі події

С - два влучення у мішень;

D - хоч би одне влучення у мішень;

Е - лише одне влучення у мішень.

2. Скільки п'ятизначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб жодна з них не повторювалась?

3. Скількома способами з 10 осіб можна вибрати комісію у складі чотирьох осіб?

4. Скільки парних чотиризначних чисел, що складаються з цифр 2, 3, 5, 7 можна одержати, якщо повторення цифр у числах заборонені?

5. У філії банку працюють 15 співробітників, троє з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків а) по 8 співробітників; б) по 6 кваліфікованих співробітників; в) по 9 співробітників, два з яких не мають потрібної кваліфікації?

6. Правління підприємства складається з 9 осіб. Скільки можна скласти варіантів обрання з їх числа трьох керівників – президента, директора та комерційного дирек­тора?

7. У малому підприємстві працюють 4 жінки та 5 чоловіків. Випадковим способом дві особи запізнились. Знайти імовірність того, що одна з цих осіб – жінка, а друга – чоловік.

8. На кожній із п'яти однакових карток написана одна із цифр 1, 2, 3, 4, 5. Навмання картки розкладають в один рядок. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

1) А - цифри на картках утворюють зростаючу послідовність;

2) В - спадну послідовність;

3) C - цифри 1, 2 стоятимуть разом на початку рядка;

4) D - цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому.

9. Маємо тринадцять однакових карток з літерами: Е Е А А Е І П Л Л Д Р П П, які навмання розкладають у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо слово «паралелепіпед».

10. Задана множина цілих чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Яка ймовірність того, що навмання взяті чотири числа, розміщені в ря­док, утворять число 2137?

11. З урни, що містить три білих і чотири чорних кулі, навмання взяли одну. Яка імовірність того, що ця куля: а) біла; б) чорна?

12. Дев'ять пасажирів навмання розміщуються у трьох вагонах. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А — у кожному вагоні виявиться по три пасажири; 2) В — у першому вагоні вияви­ться 4 пасажири, у другому — 3 і в третьому — 2 пасажири.

13. Що імовірніше: виграти в рівносильного супротивника (нічийний результат партії виключений) три партії з чотирьох чи п'ять з восьми?

14. Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайдіть імовірність того, що серед п'яти узятих навмання виробів: немає жодного зіпсованого; два зіпсованих.

15. Підкидають гральний кубик. Яка імовірність випадання номера 4 на верхній грані кубика? Яка імовірність випадання номера, більшого 4?


Т е с т и

Варіант №1

1. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, щоб жодна з них не повторювалась?

а) 120; б) 300; в) 470; г) 720.

2. Подія А – влучення в мішень першим пострілом. Подія В – влучення в мішень другим пострілом. У чому полягає подія А+В?

3. До профкому вибрано 7 осіб. З них потрібно вибрати голову профкому та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

а) 42; б) 7!; в) 38; г) 20.

4. Гральний кубик підкинули двічі. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випали на гранях, дорівнює 5.

а) 1/2; б) 1/6; в) 2/3; г) 1/9.

5. Студент забув останні три цифри потрібного теле­фону, але він пам'ятає, що всі три цифри різні, тому набирає їх навмання. Знайти імовірність того, що набрані цифри вірні.

а) 1/120; б) 1/720; в) 3/10; г) 1/3.

Варіант №2

1. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватись?

а) 2120; б) 30; в) 2058; г) 4032.

2. Подія А – поява непарного числа очок при підкиданні грального кубика. Подія В – не поява трьох очок при підкиданні грального кубика. У чому полягає подія АВ?

3. Яка з подій є частиною іншої події:
а) влучення у мішень при першому пострілі;
б) влучення у мішень, що найменше, одним з чотирьох пострілів;
в) влучення у мішень не більше ніж 5 пострілами.

4. У ящику 3 білих і 5 чорних куль. Навмання беруть одразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

а) 3/28; б) 11/16; в) 2/3; г) 1/7.

5. Підкидають два гральних кубика. Знайти ймовірність того, що добуток очок, що випали на гранях кубика, дорівнює 6.

а) 1/9; б) 1/4; в) 1/36; г) 1/16.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

Практичні заняття №2, 3

Тема 2. Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

Мета заняття:Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання основних формул теорії ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.


Методичні рекомендації

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них впливає на ймовірність появи іншої. У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Ймовірність випадкової події А обчислена за умови, що подія В відбулася, називається умовною. Ця ймовірність знаходиться за формулою

Формули ймовірностей добутку випадкових подій.Імовірність добутку двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірності однієї з цих подій на умовну імовірність другої події при умові, що перша подія з’явилась:

.

Якщо події А і В є незалежними то, за означенням, . Для незалежних подій маємо:

.

Формули ймовірностей суми випадкових подій.Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:

.

Імовірність суми двох несумісних поді А і В є:

.

Події та утворюють повну групу подій, тому .

Імовірність появи хоча б однієї випадкової події.Нехай є n сумісних випадкових подій , ,..., . Позначимо через подію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія це подія за якої жодна з подій не відбудеться.

.

1320 11

Формула повної ймовірності. У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій , , ... , які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними, імовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності:

.

Формула Байєса. Умовна ймовірність події Bk у припущенні, що подія А вже відбулася, визначається за формулою Байєса:

.

Задачі для розв’язання

1. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 черво­них куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде

а) синя або червона; б) біла, чорна або синя.

2. Стрілок влучить у "десятку" з імовірністю 0,05, в "дев'ятку" – з імовірністю 0,20, у "вісімку" – з імовірністю 0,6. Зроблено один постріл. Яка імовірність того, що а) вибито не менше 8 очок; б) вибито більше 8 очок?

3. У ящику 13 однотипних деталей, серед них 5 бракованих, інші стандартні. Навмання з ящика беруть 4 деталі. Яка ймовірність того, що всі деталі є бракованими або стандартними.

4. В умовах попередньої задачі знайти ймовірність того, що хоча б одна із взятих деталей буде стандартною.

5. В урні міститься 15 однакових куль пронумерованих від 1 до 15. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що номер кулі виявиться кратним 3 або 5.

6. Транспортування вантажу для замовника виконують два автопідприємства, кожне з яких повинно виділити для цього по одній вантажівці. Імовірність виходу на лінію ван­тажівки з першого автопарку дорівнює 0,7, а з другого – 0,6. Знайти імовірність того, що замовник одержить потрібні вантажівки.

7. Із колоди карт (32 карти) навмання взято одну. Яка імовірність того, що це дама, якщо відомо, що взято карту червоної масті?

8. У ящику лежить 12 білих, 8 чорних і 10 червоних куль. Навмання беруть 2 кулі. Яка ймовірність того, що ці кулі різного кольору, якщо відомо, що червона куля не витягнута.

9. З колоди 36 карт навмання витягують 2 карти без повернення. Знайти ймовірність того, що це будуть туз і король.

10. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Знайти ймовірність того, що на грані кубика випаде число кратне 3, а на монеті герб.

11. Прилад, що складається з n блоків виходить з ладу, якщо відмовляє один блок. Блоки працюють незалежно один від одного. Надійність кожного блоку p. Обчислити надійність приладу.

12. В урні 4 червоних, 5 синіх, 6 зелених куль. Навмання беруть 3 кулі. Яка ймовірність того, що вони будуть однакового кольору або мати різні кольори.

13. Система має два незалежно працюючих елемента. Імовірність їх відмови дорівнює 0,05 та 0,08 відповідно. Знайти імовірність відмови системи, якщо для цього до­статньо відмови хоча б одного з елементів.

14. У майстерні на верстатах А, В, С виробляють 25%, 35% та 40% усіх деталей, причому вони мають 15%, 12% та 6% браку відповідно. Знайти імовірність того, що навмання взята деталь – бракована.

15. У першій урні 2 білих та 4 чорних кулі, а у другій урні – 3 білих та 1 чорна кулі. Із першої урни переклали у другу одну кулю. Знайти імовірність того, що куля, вийнята із другої урни після перекладання, буде білою.

16. У першому ящику 12 червоних та 6 білих куль. У другому – 15 червоних та 10 білих куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок кратна 3, то навмання беруть кулю з першого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то беруть кулю з другого ящика. Якою буде імовірність узяти червону кулю?

17. Серед N екзаменаційних білетів є n “щасливих”. Студенти підходять за білетом один за одним. У кого більша ймовірність витягнути “щасливий” білет – у того, хто тягне першим, чи у того, хто тягне білет другим?

18. У трьох ящиках маємо однакові деталі з різних заводів: у першому – 20 стандартних та 5 нестандартних деталей; у другому – 15 стандартних та 3 нестандартних; у третьому – 14 стандартних та 2 нестандартних. Із навмання взятого ящика навмання взята деталь, яка виявилася стандартною. Знайти імовірність того, що цю деталь взято з першого ящика.

19. У першій урні 10 куль, з них 8 білих. У другій урні 20 куль, з них 4 білих. Із кожної урни навмання взято по одній кулі, а потім із двох обраних навмання взято одну. Знайти імовірність того, що остання куля буде білою.

20. У першому ящику 8 білих та 6 чорних куль. У другому – 10 білих і 4 чорних. Навмання вибирають ящик і кулю. Відомо, що витягнута куля чорна. Знайти ймовірність того, що було обрано другий ящик.

 

Т е с т и

Варіант №1

1. У коробці a білих, b чорних, c червоних куль. Ймовірність того, що з ящика витягли білу або червону кулю дорвінює:

а) (a+c)·(a+b); б) (a+b+c)/(b+c); в) (a+c)/(a+b+c); г) (ab)/(a+b+c).

2. Якій умові повинні задовольняти події В и С, щоб була справедлива формула Р(А) = Р(A/B)×P(B) + P(A/C)×P(C).

а) необхідні всі умови; б) Р(A/B) + P(A/C) = 1;

в) P(C) + P(B) = 1; г) Р(CB) = 0.

3. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде синя або червона.

а) 5/14; б) 9/14; в) 2/7; г) 3/4.

4. З колоди 36 карт навмання вибирають 4 карти. Визначити ймовірність того, що серед них буде 2 “короля”.

а) ; б) ; в) ; г) немає вірної відповіді.

5. На заводі виробляються болти. Перша машина виробляє 25%, друга – 40%, третя – 35% усієї продукції. У їхній продукції брак становить відповідно 5%, 4%, 2%. Навмання взятий болт виявився бракованим. Яка ймовірність того, що він зроблений першою машиною?

а) 0,5; б) 0,47; в) 0,0355; г) 0,35.

 

Варіант №2

1. У коробці a білих, b чорних куль. Навмання беруть дві кулі. Ймовірність того, що обидві кулі білі дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Сума двох подій – це

а) подія, яка полягає в одночасній появі цих подій;

б) сума ймовірностей цих подій;

в) число появ цих подій;

г) подія, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

3. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде біла, або чорна, або синя.

а) 5/14; б) 9/14; в) 2/7; г) 3/4.

4. У партії з 45 виробів 4 бракованих. З партії вибирають навмання 8 виробів. Визначити ймовірність того, що з 8 виробів 3 виявляться бракованими.

а) ; б) ; в) ; г) немає вірної відповіді.

5. Є два однакових ящика з кулями. У першому ящику дві білі і одна чорна куля, в другому — одна біла і чотири чорні кулі. Навмання вибирають один ящик і з нього вибирають одну кулю. Яка ймовірність того, що куля виявиться білою?

а)13/15; б) 9/4; в) 2/3; г) 13/30.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

Практичне заняття №4

Тема 3.Схема незалежних випробувань

Мета заняття:Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання формул для розрахунку ймовірностей у повторних незалежних випробуваннях в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття

Методичні рекомендації

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки зі сталими ймовірностями р і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю р відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто р+ q = 1.

Імовірність того, що в результаті п незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з'явиться т раз, подається у вигляді:

.

Найімовірнішим числом (модою) появи випадкової події А в результаті п незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке число т0, для якого ймовірність перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Якщо р≠0 і р≠1, то число т0 можна знайти з нерівності:

.

Локальна теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з п незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р , то для великих значень п і т імовірність того, що випадкова подія А настане т раз, подається такою асимптотичною формулою:

,

де функція Гауса, .

Інтегральна теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з п незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то для великих значень п імовірність появи випадкової події від до раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

,

де , .

Точність асимптотичної формули Лапласа для великих значень знижується з наближенням р до нуля. Тому при , за умови nр=а=сonst імовірність появи випадкової події m раз обчислюється за асимптотичною формулою Пуассона:

.

Задачі для розв’язання

1. Імовірність влучення стрілком у десятку дорівнює 0,6. Чому дорівнює імовірність того, що при 8 пострілах буде 6 влучень у десятку?

2. Гральний кубик підкидають 7 разів. Знайти імовірність того, що три рази з'явиться число очок, кратне 3.

3. У кожному із семи ящиків міститься по 6 стандартних і 4 браковані однотипні деталі. Навмання з кожного ящика беруть по одній деталі. Обчислити ймовірність того, що серед семи взятих деталей стандартних буде: 1) 3; 2) не менш як 3; 3) не більш як 3.

4. На автобазі є 12 пасажирських автобусів імовірність того, що на маршрутну лінію вийде автобус, у середньому дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що автобаза працюватиме в нормальному режимі, якщо для цього потрібно, аби на маршрутну лінію виїхало не менш як 9 автобусів.

5. У разі ввімкнення запалювання мотор автомобіля почне працювати з імовірністю 0,99. Яка ймовірність того, що: 1) мотор почне працювати при двох увімкненнях запалювання; 2) не більш як двох.

6. Імовірність появи успіху в кожному іспиті дорівнює 0,25. Знайти імовірність того, що при 300 іспитах успіх наступить рівно 75 разів.

7. У партії однотипних деталей стандартні становить 82%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Яка ймовірність того, що серед них стандартних буде: 1) 355; 2) від 355 до 300 Знайти найімовірніше число появи стандартних деталей то і обчислити відповідну ймовірність.

8. В урні 100 білих і 80 чорних куль. З урни витягують n куль (з поверненням). Найімовірніше число появи білої кулі дорівнює 11. Знайти n.

9. Відомо, що серед виробів заводу стандартні деталі становлять у середньому 85%. Скільки необхідно взяти цих деталей, щоб mo =65?

10. Телефонна станція обслуговує 1000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,002. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону: 1) 5 абонентів; 2) не більш як 5?

 

Т е с т и

Варіант №1

1. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане не менше m1 і не більше m2 раз, можна обчислити за

а) формулою повної ймовірності;

б) теоремою добутку ймовірностей;

в) формулою Пуассона;

г) інтегральною теоремою Муавра-Лапласа.

2. Імовірність влучення стрілком у мішень при одному пострілі дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах буде 8 влучень?

а) 0,209; б) 0,282; в) 0,35; г) 0,273.

3. У партії однотипних деталей стандартні становлять 82%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Знайти найімовірніше число появи стандартних деталей.

а) 320; б) 328; в) 57; г) 206.

4. Гральний кубик підкидають 800 разів. Яка ймовірність того, що кількість очок, кратна трьом, з’явиться не менше 260 та не більше 274 разів?

а) 0,4211; б) 0,1914; в) 0,4003; г) 0,2088.

5. Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з яких 0,8.

Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти ймовірність того, що відмовлять 2 блоки.

а) 0,302; б) 0,892; в) 0,0000737; г) 0,006.

 

Варіант №2

1. Число m0 появи події в серії з n випробувань називається найімовірнішим числом, якщо

а) це число є найбільшим серед всіх інших;

б) воно співпадає з числом випробувань n;

в) воно відповідає найбільшій ймовірності в даній серії випробувань;

г) подія, яка відповідає цьому числу є вірогідною.

2. Імовірність влучення стрілком у десятку дорівнює 0,6. Чому дорівнює імовірність того, що при 8 пострілах буде 6 влучень у десятку?

а) 0,209; б) 0,418; в) 0,2; г) 0,041.

3. Засівний фонд має 92% насіння першого сорту. Навмання взято 150 насінин. Знайти імовірність того, що серед цих насінин 140 є першого сорту.

а) 0,123; б) 0,3; в) 0,8; г) 0,1004.

4. Скільки разів треба кинути гральний кубик, щоб найімовірніше число появи трійки дорівнювало 55? а) 40; б) 100; в) 330; г) 410.

5. Імовірність виготовлення виробу відмінної якості дорівнює 0,9. Виготовлено 50 виробів. Чому дорівнює найімовірніше число виробів відмінної якості?

а) 45; б) 47; в) 50; г) 10.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

Практичне заняття №5

Тема 4.Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

Мета заняття:Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання функції розподілу ймовірностей і щільності ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття

Методичні рекомендації

Випадкові величини бувають дискретними та неперервними. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може набувати відокремлені, ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати). Кількість можливих значень ДВВ може бути скінченою або нескінченою. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може набувати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а, ). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.

Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) називають ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, меншого за х:

.

Властивості функції розподілу:

1) ;

2) є неспадною функцією аргументу , тобто , якщо .

Диференціальною функцією розподілу (щільністю) ймовірностей НВВ називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і позначають:


Щільність має наступні властивості:

3) ;

2) = 1 – умова нормування НВВ.

Функція розподілу є первісною для диференціальної функції розподілу . Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X набуде значення з інтервалу (а, b), визначається рівністю

.

Функція розподілу існує для ДВВ –

і для НВВ – , де щільність.

Повними, вичерпними характеристиками для дискретних випадкових величин є 1) функція розподілу;

2) ряд розподілу.

Для неперервних: 1) функція розподілу;

2) щільність розподілу.

Задачі для розв’язання

-4 0 2
Хі -2
Рі 0,1 0,3 0,1

 

1. За заданим законом розподілу ймовірностей

 

 

обчислити: параметр a, ймовірності таких випадкових подій Х≤3, Х=2, Х>4, -2< Х<8.


2. За заданим законом розподілу ймовірностей

Хі -4 -1
Рі 0,4 0,2 0,4

Побудувати функція розподілу ймовірностей і накреслити її графік.

3. Задано функцію розподілу ймовірностей

Знайти закон розподілу Х.

4. Маємо 2 ящика. У першому містяться 6 стандартних і 4 бракованих однотипних деталей. У другому – 5 стандартних і 5 бракованих деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Побудувати закон розподілу випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед двох навмання взятих.

5. Задано функцію розподілу ймовірностей

Знайти f(х). Побудувати графік F(х), f(х) і обчислити .

6. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

Знайти: а) щільність імовірності f(х); б) імовірність улучення величини Х в інтервал (1; 2,5); в) імовірність влучення величини Х в інтервал (2,5; 3,5).

7. Троє складають іспит із теорії ймовірності. Імовірність того, що перший студент складе екзамен, становить 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85; 0,8. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – числа студентів, які складуть іспит з теорії ймовірності.

8. Дано функцію розподілу ймовірностей

 

F(x)=

Знайти . Побудувати графіки , F(х).

9. Задано щільність ймовірності

Знайти коефіцієнт А; функцію розподілу F(х).

10. Дано щільність імовірності

Знайти а і F(х). Побудувати графіки f(x), F{х).


11. Графік заданої щільності ймовірностей зображено на рис.1

ри

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти