ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Методичні вказівки до виконання завдань

Вибір відповідного варіанту здійснюється студентом послідовно за номером журналу. Номеру варіанта відповідають номери задач по темам. Наприклад: варіант № 1, задачі 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1.... Перед виконанням завдань необхідно переглянути типові приклади розв’язку поданих задач.


Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи

 

Завдання № 1

Випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і утворюють повну групу. Знайти Р(А1), Р(А2), Р(А3), Р(А4), коли відомо, що Р(А1)=0,2Р(А2), Р(А2)=0,8Р(А3), Р(А3)=0,5Р(А4).

Розв’язання. Оскільки випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і утворюють повну групу, то згідно з дістанемо:

=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+Р(А4)=1

За умовою задачі знаходимо:

Р(А2)=0,8Р(А3)=0,8·0,5Р(А4)=0,4Р(А4);

Р(А1)=0,2Р(А2)=0,2·0,4Р(А4)=0,08Р(А4);

Отже, 0,08Р(А4)+0,4Р(А4)+0,5Р(А4)+Р(А4)=1;

Р(А4)=1/(0,08+0,4+0,5+1)=1/1,98=100/198;

Р(А3)=0,5Р(А4)=(0,5·100)/198=50/198;

Р(А2)=0,4Р(А4)=(0,4·100)/198=40/198;

Р(А1)=0,08Р(А4)=(0,08·100)/198=8/198.

 

Завдання № 2

З урни, яка містить три білих та сім чорних куль беруть навмання послідовно дві кулі. Відомо, що перша куля біла (подія В). Яка ймовірність того, що друга куля також виявиться білою?

Розв’язання. Після здійснення першого випробування в урні залишилося дві білі та сім чорних куль. Шукана ймовірність, на підставі класичного означення ймовірності, дорівнює: P(A/B)= .

Для знаходження P(A/B) скористаємося означенням умовної ймовірності. Ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні P(B)=

Знайдемо ймовірність того, що при першому й другому випробуванні з’явилися білі кулі.

Знайдемо загальну кількість елементарних подій:

Знайдемо кількість елементарних подій у яких складається подія

Тому =

Отже P(A/B) =

Завдання № 3

Перша фабрика виробила 3000 приладів, друга - 10000, третя - 1000 приладів. Перша фабрика випускає в середньому 1% бракованих приладів, друга - 05%, третя - 1,5%. Прилад вибраний навмання, виявився бракованим. Яка ймовірність того, що цей прилад виробила друга фабрика?

Розв’язання. Нехай подія В полягає у тому, що вибраний прилад бракований, подія Ні - у тому, що прилад вироблено на іншій фабриці, і=1, 2, 3. За умовою задачі потрібно знайти P(H2/B). Події Ні (і=1, 2, 3) попарно незалежні. Вони утворюють повну групу подій.

За формулою Байєса:

 

Завдання №4

Поданий закон розподілу випадкової величини.

Знайти її:

1) математичне сподівання;

2) дисперсію;

3) середнє квадратичне відхилення;

 

X
P 0,1 0,3 0,4 0,2

Розв’язання.M(Х) = 2∙0,1+4∙0,3+7∙0,4+9∙0,2=0,2+1,2+2,8+1,8=6;

D(X2) = M(X2) - [M(X)]2;

M(X2) = 4∙0,1 + 16∙0,3 + 49∙0,4+81∙0,2 = 0,4 + 4,8 + 19,6 + 16,2 = 41;

D(X)= s =

 

Завдання №5

Неперервна випадкова величина X подана інтегральною функцією розподілу

а=1; b =8; c=3; d=7.

.

 

Знайти:

1. Диференціальну функцію f(x);

2. Побудувати графіки функцій F(x) і f(x);

3. Математичне сподівання Х;

4. Ймовірність того, що Х прийме значення, належне до інтервалу (с, d).

Розв’язання.Знайдемо:

1. Диференціальну функцію f(x):

   

2. Побудуємо графіки функцій F(x) і f(x):

 

 

3. Математичне сподівання Х;

4. Ймовірність того, що Х набуде значення з інтервалу (с, d).

Завдання №6

Задано щільність ймовірностей:

Обчислити А, , . Знайти Мо.

Розв’язання. ;

.

.

.

.

Функція набуває максимального значення для . Отже, Мо= .

 

Завдання №7

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами а=10, . Знайти симетричний відносно М(Х) інтервал, що містить виміряне значення з ймовірністю р=0,5.

Розв’язання. .

Отже, , Тоді .

За таблицею для функції дістанемо: , тоді .

Відповідь: (10- ; 10+ )=(6,6; 13,4).

Завдання №8

Ймовірність появи випадкової події в кожній із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події |Х – М(Х)| <ε, якщо ε=10.

Розв’язання. За умовою задачі маємо: n=400, p=0,9; q=0,1; ε=10.

М(Х)=n·p=400·0,9=360; D(X)=n·p·q=360·0,1=36.

P(|x –360|<10)≥1 –36/100=0,64.

 

Завдання №9

За поданими даними: 21, 20, 18, 14, 20, 16, 22, 22, 21, 20, 18, 14, 26, 18, 20, 16, 22, 28, 18, 24, 22, 18, 22, 20:

1. Скласти варіаційний ряд розподілу.

2. Побудувати:

* полігон частот;

* гістограму частот;

* емпіричну функцію розподілу.

Розв’язання.

І. Варіаційний ряд розподілу.

xi
ni

 


II а. Полігон частот.

 
 

 


II б. Гістограма частот.

h = 3,5 ni Щільність частот
14 - 17,5 4 / 3,5 / 25 = 0,046
17,5 - 21 13 / 3,5 / 25 = 0,149
21 - 24,5 6 / 3,5 / 25 = 0,069
24,5 - 28 2 / 3,5 / 25 = 0,023

 

Гістограма

 

 


ІІ в. Емпірична функція розподілу.


 

Емпірична   функція

 

Завдання №10

Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю γ=0,99 побудувати довічний інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює 0,09 см2.

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: , σг,

З умови задачі маємо: хв=15 см, σг= = см2 =0,3, n=40→ = =6,32. Величина х обчислюється з рівняння

Ф(х)=0,5γ=0,5·0,99=0,495.

Ф(х)=0,495→х= 2,58 [за таблицею значень функції Лапласа].

Знайдемо числові значення довірчого інтервалу:

–(σг ·х)/ = 15–(0,3∙2,58)/6,32=15–0,12=14,88 см.

+(σг·х)/ =15+(0,3∙2,58)/6,32=15+0,12=15,12 см.

Таким чином, маємо: 14,88 < <15,12.

 

Завдання №11

Оцінки в балах , одержані абітурієнтами на вступних іспитах з математики, наведені у вигляді дискретного розподілу:

 

 

Обчислити .

Розв’язання. , ,

, .

, .

 


Завдання №12

Залежність кількості масла , що його споживає певна особа за місяць, від її прибутку в гривнях , наведена в таблиці:

i
, грн. 10,5 15,8 17,8 19,5 20,4 21,5 22,2 24,3 25,3 26,5
, грн.  

 

i
, грн. 28,1 30,1 35,2 36,4 38,5 39,5 40,5 42,5
, грн.

 

Потрібно обчислити , .

Розв’язання. Оскільки обсяг вибірки , то маємо:

 

,

, ,

, ,

, ,

, .

Оскільки значення близьке до одиниці, то звідси випливає, що залежність між кількістю масла, споживаного певною особою, та її місячним прибутком майже функціональна.

 

Завдання №13

Розбіжність вимірів діаметрів кульок є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу . При рівні значущості перевірити правильність

мм, якщо альтернативна гіпотеза

мм,

коли відомо що мм і вибіркове середнє значення виміряних у 100 однотипних кульок мм.

Розв’язання. Оскільки мм, будується правобічна критична область. Для знаходження критичної точки застосуємо вираз:

.

Скористувавшись таблицею для функції Лапласа знаходимо . Обчислимо спостережуване значення критерію за формулою

.

Висновок. Оскільки , то немає підстав для відхилення нульової гіпотези мм. Отже, нульова гіпотеза приймається.

 


ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ

 

Завдання №1

1. Відомо, що (i= 1. .... п). Чому дорівнює Р ?

2. Відомо, що (і = 1, n). Чому дорівнює Р ?

3. Відомі значення Р =0,3; Р =0,4; Р =0,8. Знайти Р .

4. Відомо, що є між собою несумісними і утворюють повну групу. Знайти значення Р , Р , Р , якщо:

Р =0,5Р +0,8Р ;

Р =0,8Р +0,2Р ;

Р =0,8Р .

5. Монета підкидається 20 раз. Яка ймовірність того, що при цьому герб з'явиться 7 або 17 раз?

6. На кожній із п'яти однакових карток написана одна із цифр 1. 2, 3. 4,

7. Навмання картки розкладають в один рядок. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

а) А - цифри на картках утворюють зростаючу послідовність;

б) В – -спадну послідовність;

3) C – цифри 1, 2 розміщуватимуться в такій послідовності на початку рядка;

в) D – цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому.

 

7. Виконується переставлення чисел 1. 2. З ... 10. Знайти ймовірність того, що числа 1) 1, 2; 2) 1, 2, 3, 4 будуть розміщені в наведеному порядку.

8. Задано множину цілих чисел ={1,2,3,4,5}. Числа навмання розміщують у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне п'ятицифрове число?

9. Маємо тринадцять однакових карток, на яких написані літери: {Е, Е, А, А, Е, І, П, Д, Л, Л, Р, П, П}. Картки навмання розкладають у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо слово «паралелепіпед».

10. Задана множина цілих чисел ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Яка ймовірність того, що навмання взяті чотири числа, розміщені в рядок, утворять число 1936?

11. Числа 1,2,3,4,5 написані на п'яти однакових картках. Навмання послідовно по одній вибирають три картки й розкладають їх у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне трицифрове число?

12. Дев'ять пасажирів навмання розміщуються у трьох вагонах. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А — у кожному вагоні виявиться по три пасажири; 2) В — у першому вагоні виявиться 4 пасажири, у другому — 3 і в третьому — 2 пасажири.

13. В урні міститься 4 червоних, 5 синіх і 6 зелених кульок. Навмання із урни беруть три кульки. Яка ймовірність того, що вони виявляться одного кольору або всі три будуть мати різні кольори?

14. В урні міститься 20 кульок, пронумерованих відповідно від 1 до 20. Кульки із урни виймають по одній із поверненням. Таким способом кульки виймалися 10 раз. Яка ймовірність того, що номери кульок утворять зростаючу послідовність?

15. Підкидається n штук гральних кубиків. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А — сума випадкових цифр дорівнюватиме n ; 2) В— сума цифр, що випали, дорівнюватиме n + 1.

16. 20 студентів, серед яких 10 чоловічої статі, а решта — жіночої, навмання групуються в пари. Яка ймовірність того, що кожна пара складається зі студентів різної статі?

17. У бригаді робітників 5 чоловіків і 10 жінок. Яка ймовірність того, що навмання розбиваючи їх на 5 груп по три чоловіки, у кожній із них виявиться один чоловік.

 

Завдання №2

1. Тричі підкидають монету. Яка ймовірність того, що при третьому підкиданні випаде герб, якщо відомо, що при першому та другому підкиданні випав герб?

2. Для контролю якості продукції одного заводу з кожної партії готових деталей беруть 100. Перевірку не витримують в середньому вісім деталей. Яка ймовірність того, що навмання взята деталь цього заводу буде не бракована? Скільки приблизно буде бракованих деталей в партії із 10000 штук?

3. Обчислити ймовірність того, що дні народження 12 осіб припадають на різні місяці року.

4. З урни, що містить три білих і чотири чорних кулі, навмання взято одну. Яка ймовірність того, що ця куля: а) біла; б) чорна?

5. Радгосп одержує 40% тракторів із м. Харкова. Яка ймовірність того, що навмання вибраний трактор виготовлено не в м. Харкові?

6. Є два однакових ящика з кулями. У першому ящику дві білі і одна чорна куля, в другому — одна біла і чотири чорні кулі. Навмання вибирають один ящик і з нього вибирають одну кулю. Яка ймовірність того, що куля виявиться білою?

7. У цеху працює 15 верстатів. З них п’ять марки А, шість марки В, чотири марки С. Ймовірність того, що вироблена деталь відповідає стандарту, для цих верстатів відповідно дорівнює 0,9; 0,8; 0,7. Який відсоток стандартних деталей випускає цех у цілому?

8. На фабриці виробляються болти. Перша машина виробляє 20%, друга — 40%, третя — 35% усієї продукції. У їхній продукції брак становить відповідно 5%, 4% і 2%. Навмання взятий болт виявився бракованим. Яка ймовірність того, що він зроблений першою машиною?

9. Для участі у студентських відбіркових змаганнях виділено з першої групи п’ять, з другої — шість, з третьої — сім студентів. Ймовірність того, що студент першої, другої та третьої груп увійде в збірну курсу, дорівнює відповідно 0,9, 0,8, 0,7. Навмання вибраний студент за результатами змагання увійшов у збірну курсу. До якої групи найбільш ймовірно належить студент?

10. Перша фабрика виробила 1000 приладів, друга — 2000, третя — 3000 приладів. Перша фабрика випускає в середньому 1% бракованих приладів, друга — 0,5%, третя — 1%. Прилад, вибраний навмання, виявився бракованим. Яка ймовірність того, що цей прилад виробила друга фабрика?

11. Три незалежно працюючих ехолоти повідомляють про появу косяка риби. Ймовірність того, що при появі косяка риб спрацює перший, другий, третій ехолот, дорівнюють 0,8, 0,7, 0,9 відповідно. Відомо, що два ехолоти не спрацювали. Знайти ймовірність того, що при появі косяка риби не спрацювали другий і третій ехолоти.

12. Для перевірки на схожість льону було посіяно 200 насінин, з яких 180 проросло. Яку величину можна взяти за ймовірність схожості льону? Яка в середньому кількість насінин зійде з кожних 1000 посіяних?

13. У групі спортсменів 25 лижників, 10 велосипедистів, 4 бігуни. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму така: для лижника — 0,9; для велосипедиста — 0,75; для бігуна — 0,8. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен виконає норму.

14. Деталі виробляються на двох заводах, об’єм продукції другого заводу в п раз перевищує об’єм продукції першого. Доля браку на першому заводі р1, на другому р2. Навмання взята деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що вона випущена на другому заводі?

15. З 60 питань екзаменаційних білетів студент підготував 50. Яка ймовірність того, що витягнутий студентом білет, який має два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?

16. Монета підкидається 7 разів. Знайти ймовірність можливих появ “герба”.

17. Гральний кубик підкидають 7 разів. Знайти ймовірність того, що три рази з’явиться число очок, кратне 3.

 

Завдання №3

1. Спостереженнями встановлено, що в деякій місцевості у вересні буває 12 дощових днів. Яка імовірність того, що з випадково узятих у цьому місяці восьми днів три дні виявляться дощовими?

2. Що ймовірніше виграти в рівносильного супротивника (нічийний результат партії виключений): три партії з чотирьох чи п'ять з восьми?

3. Виріб деякого виробництва містять 5% браку. Знайдіть ймовірність того, що серед п'яти узятих навмання виробів: а) немає жодного зіпсованого; б) два зіпсованих.

4. Ймовірність одержання гарного результату при проведенні маркетингових досліджень дорівнює . Знайти найвірогіднішу кількість вдалих досліджень, якщо загальна їхня кількість дорівнює 7.

5. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515, а дівчинки — 0,485.У деякій родині шестеро дітей. Знайти ймовірність того, що серед них не більше двох дівчинок.

6. Ймовірність того, що будь-який абонент подзвонить на комутатор у плині години, дорівнює 0,01. Телефонна станція обслуговує 800 абонентів. Яка ймовірність того, що в плині години подзвонять п'ять абонентів?

7. Існує група, що складається з 500 чоловік. Знайти ймовірність того, що в двох чоловік день народження у фіксований день дорівнює 1/365.

8. Ймовірність появи успіху в кожнім іспиті дорівнює 0,25. Знайти ймовірність того, що при 300 іспитах успіх наступить: а) рівно 75 разів; б) рівно 85 разів.

9. Яка ймовірність того, що в стовпчику зі ста навмання відібраних монет, розташованих “гербом” нагору, буде від 45 до 55?

10. Виробництво дає 1% браку. Яка ймовірність того, що з узятих на дослідження 1100 виробів бракованих буде не більш 17?

11. Ймовірність появи успіху в кожнім з 625 незалежних іспитів дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що частота появи успіху відхилиться по абсолютній величині від його ймовірності не більше ніж на 0,04.

12. У перші класи повинно бути прийнято 200 дітей. Визначити ймовірність того, що серед них виявиться 100 дівчинок, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515.

13. Кинуто два гральні кубики . Яка ймовірність випадання на двох кубиках у сумі не менш 9 окулярів? Яка імовірність випадання одиниці принаймні на одному кубику?

14. З п'яти карток з буквами А, Б, B, Г, Д навмання одну за іншою вибирають три і розташовують у ряд у порядку появи. Яка імовірність того, що вийде слово "ДВА"?

15. Дитина грає з чотирма буквами розрізної абетки: А, А, М, М. Яка імовірність того, що при випадковому розташуванні букв у ряд він одержить слово "МАМА"?

16. При наборі телефонного номера абонент забув дві останні цифри і набрав їх навмання, пам'ятаючи тільки, що ці цифри непарні і різні. Знайти імовірність того, що номер був набраний правильно.

17. У партії з 50 виробів 5 бракованих. З партії вибирають навмання 6 виробів. Визначити імовірність того, що з 6 виробів 2 виявляться бракованими.

 

Завдання №4

Поданий закон розподілу випадкової величини Х.

Знайти її:

1) математичне сподівання;

2) дисперсію;

3) середнє квадратичне відхилення;

 

1. x     10. x
p 0.1 0.3 0.4 0.2     p 0.2 0.1 0.5 0.2
2. x     11. x
p 0.1 0.3 0.35 0.25     p 0.5 0.2 0.1 0.2
3. x 1.5 2.5     12. x
p 0.1 0.6 0.2 0.1     p 0.1 0.3 0.4 0.2
4. x     13. x
p 0.2 0.1 0.5 0.2     p 0.5 0.2 0.1 0.2
5. x     14. x
p 0.2 0.1 0.5 0.2     p 0.1 0.6 0.2 0.1
6. x     15. x 1.5 2.5
p 0.5 0.2 0.1 0.2     p 0.1 0.6 0.2 0.1
7. x     16. x
p 0.6 0.1 0.2 0.1     p 0.3 0.4 0.2 0.1
8. x     17. x
p 0.1 0.6 0.2 0.1     p 0.2 0.1 0.5 0.2
9. x                
p 0.2 0.1 0.5 0.2                

 

Завдання №5

Неперервна випадкова величина х подана інтегральною функцією розподілу

.

Знайти:

1) диференціальну функцію f(x);

2) побудувати графіки F(x) і f(x);

3) математичне сподівання Х;

4) ймовірність того, що Х прийме значення, належне до інтервалу (с, d).

 

№ задачі  
a
b
c
d

 

Завдання №6

Задано щільність ймовірностей:

Обчислити А, , . Знайти Мо.

 

№ задачі  
a  
b  

 

Завдання №7

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами а=10, . Знайти симетричний відносно М(Х) інтервал, що містить виміряне значення з ймовірністю р.


 

№ задачі
р 0,9974 0,9956 0,9948 0,9988 0,9872 0,9852
№ задачі
р 0,9774 0,9756 0,9748 0,9788 0,9772 0,9752
№ задачі
р 0,9574 0,9556 0,9548 0,9588 0,9572

 

 

Завдання №8

Ймовірність появи випадкової події в кожній із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події |Х – М(Х)| <ε, якщо ε=10.

 

№ задачі
р 0,9974 0,9956 0,9948 0,9988 0,9872 0,9852
№ задачі
р 0,9774 0,9756 0,9748 0,9788 0,9772 0,9752
№ задачі
р 0,9574 0,9556 0,9548 0,9588 0,9572
                   

 


Завдання №9

За поданими даними:

1. Скласти варіаційний ряд розподілу.

2. Побудувати:

* полігон частот;

* гістограму частот;

* емпіричну функцію розподілу.

 

I варіант II варіант III варіант IV варіант V варіант
VI варіант VII варіант VIII варіант IX варіант X варіант
XI варіант XII варіант XII варіант XIV варіант XV варіант

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти