ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Основні формули комбінаторики.

¨ Означення.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з nелементів, називається перестановкою з п елементів. Позначимо - Рn . Рn = 1*2*3*...*n = n!

Приклад:Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Рішення: Рn = Р6 =6!=1*2*3*4*5*6 = 720.

¨ Означення.

Будь-яка впорядкована підмножина з m елементів даної множини, яка містить nелементів називається розміщенням зnелементів поmелементів ( зважаючи, щоm < n ). Позначимо . = n*(n + 1)*(n + 2)*…*( n – m + 1).

Приклад:Учневі треба скласти 4 екзамени на протязі 8 днів. Скількома способами це можна зробити ?

Рішення: = = 8 ·7 · 6 ·5 =1680.

¨ Означення.

Будь-яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m елементів – .

= = або = .

Приклад: Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці „Спортлото” ?

Рішення: = = =13983816.

Одне з завдань теорії ймовірностей полягає в тому, щоб за заданими елементарними подіями оцінити можливість відбування складної події.

Правило суми ( або α, або b )

Якщо елемент α можна вибрати mспособами, а елемент bспособамип, то вибіра або bможна здійснити( m + п)способами.

Правило добутку ( і α , i b )

Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент bспособами п, то вибір пара і b можна здійснити ( m*п) способами.

Приклад 1: У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами можна виділити наряд, який складається із 3 солдат і одного офіцера ?

Рішення: Число способів вибору солдат - ічисло способів вибору офіцера - ; кількість способів вибрати наряд - .

 

Приклад 2 : Із 7 бігунів і 3 стрибунів треба скласти команду із 5 чоловік, в яку входив хоч би один стрибун. Скількома способами це можна зробити ?

Рішення: Число способів вибору 1 стрибуна - ічисло способів вибору 4 бігунів - ; кількість способів вибрати команду - . Або число способів вибору 2 стрибунів - ічисло способів вибору 3 бігунів - ; кількість способів вибрати команду - .

Або число способів вибору 3 стрибунів - ічисло способів вибору 2 бігунів - ; кількість способів вибрати команду - . Загальна кількість способів скласти команду:

+ + = 231.

Приклади розв’язання задач з теорії ймовірностей

до теми № 1.

  • Задача № 1.1.

Яка ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок кратне 3 ?

Рішення: Нехай подія А – „випало число очок кратне 3”. Може бути шість випадків загального числа подій ( випаде 1,2,3,4,5,6 ). Та з них тільки два сприяють події А, коли випаде 3 або 6 очок. n= 6; m= 2. Р(А) = ; Р(А) = .

  • Задача № 1.2.

Для контролю якості продукції заводу з кожної партїї готових деталей беруть 100. Перевірку не витримують у середньому 10 деталей. Яка ймовірність того, що навмання взята деталь не буде бракованою?

Рішення: Нехай А – подія , яка полягає в тому, що взята деталь не буде бракованою. За умовою задачі ця подія відбувається в середньому 90 разів у кожній партії зі 100 деталей. Тому її відносна частота дорівнює 0,9. Отже за статистичним означенням імовірності

Р(А)= = = 0,9.

  • Задача № 1.3.

В урну поклали 3 червоних, 8 чорних і 9 синіх куль. Яка ймовірність вийняти червону, чорну, синю кулю?

Рішення: п =3+8+ 9 =20. Тут маємо 3 події: А– вийняли червону кулю, В–чорну кулю, С – вийняли синю кулю. Р(А)= ; Р(В)= ; Р(С) = .

  • Задача № 1.4.

З урни, в якій мітиться 5 куль, серед яких 2 чорні й 3 білі, навмання взято 2 кулі. Визначити ймовірність того, що обидві взяті кулі чорні.

Рішення: Число можливих елементарних подій n–це число =10 (вибір без упорядкування 2 куль із 5). Оскільки в урні всього 2 чорні кулі, то число mелементарних подій, які сприяють події А, m = =1. Тому Р(А)= .

  • Задача № 1.5.

Електронний пристрій складається з 5 елементів і функціонує нормально, якщо справні всі елементи. При складанні елементи пристрою вибираються з партії 1000 елементів. У партії 50 несправних елементів. Знайти ймовірність того, що пристрій працює справно.

Рішення: Нехай подія А – це подія, ознакою якої є – пристрій працює справно. - загальне число елементарних подій (способи вибору 5 елементів з 1000). Число сприятливих для події А елементарних подій - . Отже, Р(А) = .

  • Задача № 1.6.

В урні лежать 20 кульок, з яких 12 білих , решта – чорні. З урни навмання виймають 3 кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних кульок 2 кульки були білі ?

Рішення: Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято 3 кульки ) дорівнює

n = . Дві білі кульки із 12 білих кульок можна вибрати способами, а одну чорну кульку можна вибрати 8 способами: = 8. Подія А – „серед 3 вибраних кульок 2 білі”, то

Р(А) = .

  • Задача № 1.7.

9 пасажирів сідають у 3 вагони. Знайдіть ймовірність того, що:

а) у кожний вагон сяде по три пасажири; б) в один з вагонів сядуть 4, у другий – 3 і в третій – 2 пасажири.

Рішення: а) Загальна кількість елементарних подій випробування дорівнює n = 39

(дивись приклад 1).

способами можна розташувати 3 пасажирів у першому вагоні,

способами можна розташувати 3 пасажирів у другому вагоні, а троє останніх пасажира можуть сісти у вагон 1 способом , зазначимо, що =1. Отже, число сприятливих подій

m = .

Якщо подія А – в кожний вагон сяде по 3 пасажира, то маємо:

а) Р (А) = = .

б) Р(В) = .

  • Задача № 1.8.

У шаховому турнірі беруть участь 20 чоловік, які жеребкуванням розподіляються на 2 групи по 10 чоловік. Знайдіть ймовірність того, що 4 найсильніших гравці потраплять по двоє в різні групи.

Рішення: Загальна кількість елементарних подій випробування / розподіл на 2 групи по 10 чоловік/ дорівнює n = . Два гравця із 4 найсильніших можна вибрати способами, а 8 слабкіших гравців можна вибрати способами.

Отже, якщо подія А – „4 найсильніших гравці потраплять по 2 в різні групи”, то

; ; ;

Р(А)= .

Тема № 2 : Операції над подіями. Теореми про ймовірність суми та добутку подій. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса ( формула гіпотез).

Ø Основні уявлення та формули:

Властивості ймовірностей.

ü 0 1для кожної випадкової події А.

ü Р(А) = 1 для кожної вірогідної події А.

ü Р(Ā) = 0 для неможливої події.

ü Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.
Р(А) + Р(Ā) = 1 ; р + q =1.

ü Для ймовірності випадкової події Ā, протилежної

випадковій події А, справджується рівністьР(Ā)=1 – Р(А).

Теореми про додавання.

Якщо випадкові події А , В і С несумісні ( А В С =Ø ), то

Р( А+ В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С).

Ймовірність суми двох будь-яких довільних випадкових подійА і В дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без імовірності добутку їх:

Р( А + В ) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ ).

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти