ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Інтегральна теорема Муавра – Лапласа.

Дає змогу оцінити ймовірність того, що в n випробуваннях подія А відбудеться не менше ніж k1 разів, але не більш як k2 разів :

Рn( k1, k2 ) = Ф ( х1 ) – Ф( х2 ).

Інтегральна функція Лапласа: Ф ( х ) =

; .

Для цієї функції складена, як і для локальної, таблиця № 2 додатку приблизних значень функції . Функція Ф(х) – непарна. Ф(– х ) = – Ф(х ) .В таблиці Ф( х > 5 ) .

3. 5. Оцінка відхилення відносної частоти від постійної ймовірності.

Визначимо ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірностів незалежних випробуваннях.Якщо подія А у n випробуваннях наступає т разів за умови, що ймовірність настання в одиничному випробуванні постійна і дорівнює р , то відносна частота рівна , а її відхилення від р дорівнює . Бажано оцінити ймовірність відхилення р таким чином, щоб .

Оцінка відхилення відносної частоти від постійної ймовірності : .

Приклади розв’язання задач до теми № 3.

§ Задача № 3.1.

Яка ймовірність того, що при десяти кидках грального кубика 3 очка випаде рівно 2 рази ?

Розв’язання: n = 10, m = 2, р = 1/6, q = 1 – р =1 – 1/6 = 5/6. Тоді

Р10(2) = 0,29.

§ Задача № 3.2.

Ймовірність того, що витрата газу за добу не перевищує норми, дорівнює 0,75. Знайдіть ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрати газу впродовж 4 діб не перевищують норми.

Розв’язання: р = 0,75. Ймовірність перевитрати газу в кожну добу постійні і дорівнюють q = 1 – р = 1 – 0,75 = 0,25.

Р6(4) = = 0,3.

§ Задача № 3.3.

Монету кидають 6 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде не менше двох разів.

Розв’язання: р = 0,5 ; q = 1 – р = 0,5; Р6 (0) + Р6(1) – ймовірність того, що герб випаде менше двох разів. Р = 1– { Р6 (0) + Р6(1) } – ймовірність того, що герб випаде не менше двох разів.

Р6(0) = *0,50 *0,56 =1*1* ; Р6(1) = *0,51 *0,55 = 6* = ; Р = 1–{Р6(0) + Р6(1) }= .

  • Задача № 3.4.

Стріляють по цілі. Ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює р. Зроблено n пострілів. Визначити імовірність подій: а) буде k влучень / подія Вk / ; б) що число влучень не більше k2 і не менше від k1 (подія С ).

Розв’язання: Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що буде влучення при одному пострілі. За умовою задачі Р(А) = p;

q =1 – Р(А) = 1 – р . Постріли природно вважати незалежними.

Отже, маємо схему Бернуллі:

а ) Р(Вk) = Рn(k)= Сnkрkqn – k;

б) подія С – об’єднання несумісних подій Вk. Р(С) = = .

§ Задача № 3.5.

Імовірність виготовлення на верстаті нестандартної деталі дорівнює 0,004. Визначити імовірність того, що з 1000 виготовлених на цьому верстаті деталей 5 будуть нестандартними.

Розв’язання: За умовою n = 1000 ; k=5 ; q = 0,996 ; nрq < 9 . Ці числа задовольняють вимогам теореми Пуассона : р< 0,1; n > 50 - достатньо велике і npq =1000*0,004*0,996 = 3,984 < 9.Згідно формули Пуассона .Отже Р1000( 5) .

У додатку таблиць Р(5) = 0,1563. А її дійсне значення, за формулою Бернуллі, дорівнює 0,1552. Таким чином, похибка мала і дорівнює 0,0011.

§ Задача № 3.6.

Телефонна станція обслуговує 1000 абонентів. У даному інтервалі часу абонент може зробити виклик незалежно від решти з імовірністю 0,005. Потрібно знайти ймовірність того, що в даному інтервалі було не більше ніж 7 викликів.

Розв’язання: Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що відбулося не більше ніж 7 викликів. Це складна подія, вона визначається 8 елементарними подіями :ω1 один виклик; ω2 – два виклики і т.д. ω7 – сім викликів.Ймовірність події А дорівнює сумі елементарних подій:

Р(А) = Р10000) + Р10001) + ...+ Р10007). Для підрахунку кожної ймовірності застосуємо теорему Пуассона. Якщо р = 0,005 ; n = 1000 ; = np = 5. Знайдемо

Р1000( ωі ) = ; і =0,1,2,...,7.

Р(А) = .

  • Задача № 3.7.

Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі 0,75. Визначити ймовірність того, що при 10 пострілах буде 8 влучень.

Розв’язання: n = 10 ; k = 8 ; р = 0,75 ; q = 0,25 ; Обчислимо = =1,369 ; Р10(8) φ(х) 0,7301·φ(х),

де х = = 0,36; згідно таблиці №1 (дивись додаток в кінці методичних вказівок ) φ (0,36) = 0,3739; Р10(8) = 0,7301 · 0,3739 = 0,273. За формулою Бернуллі Р10(8) = 0,282. Похибка дорівнює 0,009.

§ Задача № 3.8.

Знайти ймовірність появи герба 55 разів у 100 незалежних киданнях монети. Ймовірність появи герба в одному киданні p = 0,5.

Розв’язання: k = 55 ; n = 100 ; р = 0,5 ; q = 0,5 ;

 

За таблицею φ (1) = 0,2420. = 0,0484.

§

§

§ Задача № 3.9.

Визначити ймовірність того, що з 400 виготовлених на фабриці виробів 80 – вищого сорту. Ймовірність того, що кожній вирoб вищого сорту, дорівнює 0,2.

Розв’язання: n=400; k = 80 ; p = 0,2 ; q = 0,8. Для визначення Р400(80) скористаємося локальною формулою Лапласа:Р400(80) ,де -функція Гауса.

Для спрощення розрахунку окремо обчислимо = 8; ; х = =0

За таблицею №1 додатку для функції φ ( 0 ) = 0,3989.

Тому Р400( 80 ) = 1/8 · 0,3989 = 0,04986.

Якщо обчислити ймовірність за формулою Бернуллі, то дістанемо Р400 ( 80 ) = 0,0498.

Отже, похибка дорівнює 0,0006.

§ Задача № 3.10.

Визначити ймовірність того, що кількість kбракованих виробів становитиме не більш як 70 у партії з навмання взятих 10000 виробів, якщо ймовірність браку кожного виробу дорівнює 0,005.

Розв’язання: n=10000; k1=0; k2=70; р=0,005; q=0,995;

Обчислимо = = =7,0534. За інтегральною формулою Муавра – Лапласа Р ( ) = Ф(х2) – Ф(х1) ;

х1 = = = = – 7,0888 ;

Згідно таблиці № 2 додатку Ф1( – 7,0888) = – Ф1( 7,0888) – 0,5;

х2 = = = 2,8355.

Згідно таблиці Ф2( 2,84 ) = 0,4977.

Р( ) = Ф(х2) – Ф(х1) = =0,4977 – ( – 0,5 ) = 0,04977 + 0,5 = 0,9977.

§ Задача № 3.11.

Заводським ВТК встановлено, що в середньому 98 % виробів відповідає вимогам до них, а 2% потребує регулювання. Приймальник перевіряє 300 виробів. Якщо серед них виявиться 11 чи більше таких , що потребують регулювання, то всю партію буде повернуто на переробку. Знайти ймовірність того, що партію буде прийнято.

Розв’язання : У нашому прикладі n досить значне і ймовірність того, що , можна оцінити за попередньою формулою.

За умовою k1= 0 ; k2 = 10 ; n = 300; р = 0,02 ; q = 0,98 , тоді

х1 = ; х2 = ;

Р( Ф(1,65) – Ф( – 2,47) = Ф(1,65) + Ф(2,47).

За таблицею № 2 додатку Ф(1,65) = 0,4505 ; Ф ( 2,47) = 0,4932.

Ф ( – 2,47 ) = – Ф (2,47) = – 0,4932, тоді Р ( ) = 0,9433.

§ Задача № 3.12.

Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробуваннях – 0,5. Знайти число випробувань п, при якому з ймовірністю0,7698можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності по абсолютній величині не більш як на 0,02.

Розв’язання: р=0,5;q=0,5;ε = 0,02 ; Р =0,7698.

Згідно формулиР;

= 0,7698 або Ф( 0,04 ) =0,3849.

Згідно таблиці №2 додатку Ф(1,2 ) = 0,3849. Отже 0,04 = 1,2; =30; п= 900.

§

§

§ Задача № 3.13.

Ймовірність появи події в кожному із 400 незалежних випробувань 0,8. Знайти таке , щоб з ймовірністю0,99абсолютна величина відхилення відносної частоти від його ймовірності 0,8 не перевищувала >0.

Розв’язання: р = 0,8; п =400.

= 0,99; або Ф( 50 ) = 0,495;

згідно таблиці №2 додатку Ф( 2,57 ) = 0,495; 50 = 2,57. Отже = 0,05.

  • Задача № 3.14.

Можливість того, що грошовий приймач автомата при опусканні однієї монети спрацює правильно, дорівнює 0,97. Скільки потрібно опустити монет, щоб найбільш імовірне число появи випадків правильної роботи автомата буде дорівнювати 100 ?

Розв’язання: k0 = 100, р = 0,97, q = 0,03.

Підставляючи значення у нерівність , одержуємо . Отже, з одного боку, , відкіля , з іншого, , відкіля .Тому п =103, як ціле число, укладене між 102,09 і 103,12.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти