ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Числові характеристики дискретних випадкових величин.

Нехай Х – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,...,хn,... з ймовірностями

р1 , р2,...,рn,... відповідно.

· Означення.

Математичним сподіванням М(Х) називають число (сталу) суми добутків значень хi на їх ймовірності рi : М(Х) = х1р1 + х2р2 + ...+хnрn або .

¨ Означення.

Дисперсією D(Х) дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

D(Х) = М [Х – М(Х)] 2 або D(Х) = М(Х2) – [ M(X)]2 .

Означення.

Середнім квадратичним відхиленнямназивається величина .

Приклади розв’язання задач до теми № 4.

§ Задача № 4.1.

У грошовій лотереї на 100 білетів розігрується один виграш 50 грошових одиниць і 10 виграшів по одній грошовій одиниці. Знайти закон розподілу випадкової величини – вартості можливого виграшу для власника одного лотерейного білета.

Розв’язання : Можливі значення Х : х1 = 50 ; х2 = 1 ; х3 = 0. Ймовірність цих можливих значень р1= Р( х1 = 50 ) = = 0,01 ;

р2 = Р( х2 = 1) = = 0,1. Оскільки р1 + р2 + р3 = 1 , то

р3 = 1 – ( р1 + р2 ), р3 = 1 – ( 0,01 + 0,1 ) = 1 – 0,11 = 0,89.

Шуканий закон розподілу подамо у вигляд таблиці:

Х
Р 0,01 0,1 0,89

§ Задача № 4.2.

Підкидають один раз гральний кубик. Задати випадкову величину Х , яка дорівнює числу появ 6 очок, і знайти закон її розподілу.

Розв’язання: Простір елементарних подій складається з 6 рівно можливих елементарних подій, де хk означає появу kочок у результаті стохастичного експерименту. k= 1;2;3;4;5;6. Тому при х1=0, х2= 1 можливі різні значення випадкової величини Х. Відповідні ймовірності ; . Таким чином, закон розподілу випадкової величини Х :

Х
Р

§ Задача № 4.3.

Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа влучень при трьох пострілах, якщо ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,4.

Розв’язання: Випадкова величина Х може прийняти значення х1 = 0; х2 = 1; х3 = 2; х4 = 3. Складемо таблицю розподілу. Ймовірність цих значень знайдемо з допомогою біноміального розподілу.

р = 0,4; q = 0,6; n = 3. Р( Х= 0) = · pk·qnk = ·0,40· 0,63 = 0,216;

Р( Х =1) = · 0,41 · 0,62 = 0,432; Р( Х =2) = · 0,42 · 0,61 = 0,288;

Р( Х = 3) = · 0,43 · 0,60 = 0,064;

Х
Р 0,216 0,432 0,288 0,064

§ Задача № 4.4.

Нехай у лотереї розігрується n білетів, серед яких: n1 білетів із виграшем величиною х1 на один білет, n2 на х2, ... ,nk на хk. Вартість одного білета лотереї дорівнює х0. Чи виграшна лотерея ?

Розв’язання: Обчислимо величину хс середнього виграшу на один білет: хс = (n1x1 + n2 x2 +….+ nkxk ). Якщо хс > x0 , то лотерея виграшна, оскільки середній виграш на один білет більший за вартість цього білета. Зрозуміло, що виграш на один білет є випадковою величиною; позначимо ії через Х. Закон розподілу дискретної випадкової величини:

Х х1 х2 ... хk
Р ...

При обчисленні ймовірностей рi = використано класичну схему .

( „шанси” купити той чи інший білет рівно можливі ). Таким чином, математичне сподівання М(Х) = . Дисперсія D(Х) :

D(х) = М( Х2) – [ M(X)]2, або D(Х) = .

Для обчислення треба побувати закон розподілу :

Х2 х12 х22 ... хk2
Р ...

§

§ Задача № 4.5.

Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини Х, розподіл якої задається такою таблицею.

Х -1
Р 0,25 0,5 0,1 0,15

Розв’язання:Математичне сподівання М(Х) = х1р1 + +х2р2 + ...+хnрn .

М(Х) =(-1) · 0,25 + 0 · 0,5 + 1 · 0,1 + 2 · 0,15 =0,15 .

Закон розподілу квадрата випадкової величини Х

Х2 (-1)2 02 12 22
Р 0,25 0,5 0,1 0,15

Знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини Х :

М(Х 2 ) = = х12 р1+ х22 р2 + ...+ хn 2рn .

М( Х 2 ) =(-1)2 · 0,25 + 02 · 0,5 + 12 · 0,1 + 22 · 0,15 = 0,95 .

Підставимо в формулу дисперсії

D(Х) = М(Х 2 ) – [М(Х)]2 =0,95 – (0,15)2 = 0,9275;

Знайдемо середнє квадратичне відхилення = 0,9631.

Тема № 5: Неперервні випадкові величини. Диференціальна та інтегральна функції розподілу. Числові характеристики неперервних випадкових величин. Найважливіші закони розподілу неперервних випадкових величин: рівномірний, нормальний та показниковий розподіл.

Ø Основні уявлення та формули:

Функція розподілу ймовірності випадкової величини .

Функцією F(х) розподілу класичної ймовірності одновимірної випадкової величини Х називається ймовірність того, що випадкова величина Х набуває можливих значень, менших від значення х, де х – будь-яке дійсне число: F( х ) = Р( Х< х).

F(х) = Р(х1)+Р(х2)+…+Р(хk) = Р(Х < х ). F (х) = .

Розглянемо зв’язок між законом розподілута функцією розподілу дискретної випадкової величини.

Функція розподілу:

F(х) = .

В задачі № 4. 2.( стор. 33) функція розподілу має вигляд:

F(х)= .F(х)= .

Мода (Мо)це значення випадкової величини, яка має максимальну ймовірність.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти