ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Емпірична функція розподілу.

Аналогічно визначається статистична функція розподілу F*(х) – функція розподілу вибірки. Нехай n –об’єм вибірки;nх – число варіантзначень випадкової величини, в яких хi менше за х, тоді або . Функцію називають емпіричною функцією розподілу.

Неперервні випадкові величини.

Диференціальна та інтегральна функції .

· Означення.

Неперервнівипадкові величини можливозадавати абофункцією розподілу F(х) = Р(Х< х) або щільністю (густиною) f(х) її розподілу. Інтегральна функціяабофункція розподілу випадкової величини: F(x) = .

Похідну від функції розподілу ймовірностіназиваютьгустиною розподілу одновимірної випадкової величини: f(х) = F'(x)або диференціальною функцією.

¨ Властивості густини розподілу:

Π.

 Р( ) = =F(b)–F(a) імовірність випадкової величини потрапити в інтервал [a,b].

Ž F '(x) = f(х)у точках неперервності функції f(х).

Як встановлено вище, випадкову величину задають законом розподілу. Однак, якщо закон розподілу невідомий, то використовують числа, які характеризують випадкову величину.

Такі числа дістали назву числових випадкових величин. До них належать математичне сподівання М(Х), дисперсія D(Х) і середнє квадратичне відхилення σ (Х).

Математичним сподіванням неперервної випадкової величининазивається М(Х) =

Для неперервної випадкової величини Х, визначеної на (а, b) або всюди на числовій осі, що має густину розподілу f(х), математичне сподівання М(Х)=

Математичне сподівання називається центром розподілу випадкової величини. Вона дає лише середнє значення випадкової величини.

Для оцінки розкиду випадкової величини відносно її математичного сподівання вводиться поняття дисперсії D(Х).

Для неперервної випадкової величинидисперсія

або

Длянеперервної випадкової величини Х,визначеної на (а, b)

Середнє квадратичне відхилення .

Приклади розв’язання задачдо теми № 5.

§ Задача № 5.1.

Випадкова величина Х задана законом розподілу

Х
Р 0,14 0,20 0,49 0,17

Знайти функцію розподілу F(Х) випадкової величини Х и побудувати її графік. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини Х і моду.

Розв’язання:Функція розподілу

F(x)
F(х) = Графік функції розподілу

x
0,83
0,34
F(х) =

 

 

Математичне сподівання М(Х):

М(Х) = = х1р1 + х2р2 + ...+хnрn =3*0,14 + 5*0,2 + 7*0,49 +11*0,17 = 6,72;

Запишемо закон розподілу квадрата випадкової величини Х і знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини Х :

Х2 32 52 72 112
Р 0,14 0,20 0,49 0,17

М (Х 2 ) = = х12 р1+ х22 р2 + ...+ хn 2рn

М ( Х2 ) =32 · 0,14 + 52 · 0,2 + 72 · 0,49 + 112 · 0,17 = 50,84.

Підставимо в формулу дисперсії

D(Х)= М(Х 2 ) – [М(Х)]2 ; D(Х) =50,84 – 6,722 = 5,72.

Знайдемо середнє квадратичне відхилення = 2,3836.

Максимальну ймовірність має випадкова величина зі значенням 7. Це і є мода Мо =7.

§ Задача № 5.2.

Нехай випадкова величина, що являє собою вибірку, набуває значення варіанти хi : 2, 6, 10 частоти ni : 12, 18, 30.

Знайти статистичну функцію розподілу цієї випадкової величини.

Розв’язання:

Знайдемо об’єм вибірки : 12+18+30 = 60. Найменша варіанта дорівнює 2. Отже, ймовірність появи значення хi < 2 дорівнює нулю : F*(х)=0, х < 2. Розглянемо , тут спостерігається значення х1 = 2 згідно умовам 12 разів, тобто nх =12, а n = 60. Отже, F*(х) = =0,2; .

Розглянемо . Тут спостерігалося два значення : х1 = 2 було 12 разів та х2 = 6 було 18 разів, тобто сприятливих спостережень було 30; F*(х) = = 0,5 ; . Розглянемо х > 10 , F*(х) = 1. Таким чином, дістали статистичну функцію розподілу Fn*(х) =

Задача № 5.3.

Нехай виміряно відхилення від заданої довжини у 200 валках і знайдено найбільше відхилення ліворуч – 20, праворуч + 30.

Розв’язання: Знаходимо ширину смуги розподілу

R = 30 – ( – 20 ) =50. Розбиваємо смугу розподілу, наприклад, на 10 частин, дістанемо інтервали розподілу : ( – 20; – 15), (–15;–10), (–10;–5),( – 5;0 ),..., (25 ; 30).

Знаходимо, скільки з виміряних відхилень попадає у кожний з цих інтервалів: ni = 7; 11; 15; 24; 49; 41; 26; 17; 7; 3; Це частоти. =200. Дістаємо статистичні ймовірності:

Р*(ni) =

Знаходимо суму цих ймовірностей для всіх інтервалів, що лежать ліворуч від х. Це й буде статистичною функцією розподілу ймовірності Fn*(х) = . Функція розподілу:

Fn*(х) =

Побудована на графіку функція Fn*(х) є функцією розподілу статистичної ймовірності випадкової величини. Із зростанням числа проділок смуги ця функція збігатиметься з функцією розподілу класичної ймовірності. Графік цієї функції зображено нижче:

 

 
 

 

 


§ Задача № 5.4.

Густина розподілу одновимірної випадкової величини: f(х)= Знайти функцію розподілу F(х). Побудувати графіки функцій f(х) і F(x). Знайти числові характеристики, моду .

Розв’язання:Функція розподілу випадкової величини:

F(x) = ; F(x)= ;0 2. F(x)=

Знайдемо чисельні характеристики.

Математичне сподівання: М(Х) = ;

[М(Х)]2 = ;М(Х2) = ;М(Х2) = =2.

Дисперсія: D( Х)= – [М(Х)]2 ; D( Х) = 2 – = ;

Середнє квадратичне відхилення: ; 0,4714.

Згідно графіка №1 функція f(х)достягає максимуму у точці х = 2, ітомумода дорівнює:Мо = 2.

Графіки густини f(x) розподілу № 1 і F(x) функції розподілу №2.

§ Задача № 5.5.

Неперервна випадкова величина Х задана інтегральною функцією розподілу F(x).

F(x) =

Знайти диференційну функцію f(x) ( густину або щільність розподілу); побудувати графіки інтегральної та диференційної функцій.

Розв’язання: Згідно f(x) = F '(х) ;2)' = 2х . Диференційна функція f(x)= .

§ Задача № 5.6.

Щільність розподілу f(х) неперервної випадкової величини Х в інтервалі дорівнює Csin 2x і 0 в інших випадках. Знайти сталу С і функцію розподілу F.

f(x)=

Розв’язання: Сталу Сзнайдемо з властивості щільності розподілу: =1. В цьому разі

1 = = С = С· = С = С Отже, С=1.

За означенням

F(х)= , = =

F(x) =

  • Задача 5.7.

Випадковий розмір Х розподілений за законом Коші: .

Знайти:

a) коефіцієнт а;

b) функцію розподілу F(х);

c) можливість улучення розміру Х на ділянку (- 1; 1 ).

Розв’язання: Скористаємося властивістю щільності розподілу . a) ; ; ; .

b) ;

c) .

Тема № 6 : Найважливіші закони розподілу неперервних випадкових величин. Рівномірний розподіл. Нормальний розподіл, властивості та його значення у теорії ймовірностей. Показниковий розподіл.

Ø Основні уявлення та формули:

Рівномірний розподіл.

· Означення.

Випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку [а , b], якщо щільність / густина / її розподілу незмінна на цьому інтервалі.

.

Математичне сподівання та дисперсіянеперервної випадкової величини :

М(Х) = ; D(Х) = .

Середнє квадратичне відхилення: = .

Ймовірністьтого, щорівномірно розподіленавипадкова величина Хпотрапить в інтервал (α,β)

Р ( α X β ) = де (α, β) .

6. 2. Нормальний ( Гаусів) розподіл.

· Означення.

Випадкова величина має нормальнийрозподіл із параметрами а та > 0 , якщо щільністьїї розподілу , .

Математичне сподівання нормального розподілу: М(Х) = а .

Отже, параметррозподілу а є математичним сподіванням нормально розподіленої випадкової величини.

D(Х) = σ2.Таким чином, другий параметр нормального розподілу є середнім квадратичним відхиленням .

Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина Х потрапить у інтервал (α,β) Р(α <X< β ) =Ф Ф ,

де Ф(х)= функція Лапласа(таблиця №2 додатку).

Показниковий розподіл.

· Означення.

Випадкова величина має показниковийрозподіл із параметром λ > 0,якщо щільністьїї розподілу

Функція розподілу показникового закону

Математичне сподівання, дисперсіята середньоквадратичне відхилення неперервної випадкової величини : М(Х) = ; D(Х) = ; .

Ймовірністьтого, що уінтервал (α,β) випадкова величина Хпотрапить по показниковому закону

Р( α < X < β ) = .

Показниковий розподіл має важливе значення в теорії надійності.

Приклади розв’язання задачдо теми № 6.

§ Задача № 6.1.

Знайти математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х, розподіленої рівномірно у інтервалі [а ,b] , де а = 0, b = 1 .

Розв’язання: Згідно М(Х) = ; D(Х) = ;

= ; М(Х)= ;D(Х) = ; .

§ Задача № 6.2.

Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х потрапить в інтервал (α, β) якщо вона рівномірно розподілена в інтервалі [а ,b] , де

а = 6; b =12 ; α=5 , β=8.

Розв’язання: Р ( α X β ) = де (α,β)

Інтервал [5;8] не належить до інтервалу [6;12] і тому ймовірність попасти Х за інтервал [6;12] дорівнює 0,тому будемо знаходити ймовірність попадання в інтервал [6;8]

Р ( 6 X 8 ) = . Звідси Р ( 5 X 8 ) = Р ( 6 X 8 ) = .

§ Задача № 6.3.

Випадкова величина Х нормально розподілена у інтервалі [а ,b]. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше(– 1),якщоа = 0; σ =2; b =2; α = ; β = –1 .

Розв’язання: Скористаємося формулою

Р( α < X < β ) = Ф Ф ; Р ( X – 1 ) =Р ( < X <– 1) = Ф Ф =

=Ф (– 0,5) – Ф ( )= Ф( ) + Ф(– 0,5).

Зважаючи, що Ф( – х) = – Ф(х) , Ф( )= – Ф( ). Згідно таблиці № 2 додатку

A( – 0,5) = – A(0,5) = – 0,1915 та A(Х>5) 0,5; H( <X< – 1 )= 0,5 – 0,1915=0,3085

§ Задача № 6.4.

Випадкова величина Х нормально розподілена у інтервалі [а ,b]. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення більше 2,якщоа = 0; σ =2 ; b = 2; α = 2; β = .

Розв’язання: Скористаємося формулою

H( X 2 ) = A A $ H( 2 X< ) = A A = A( ) – A(1) /

Згідно таблиці № 2 додатку Ф(х >5) 0,5; Ф( ) ; Ф(1) = 0,3413;

Отже Р( 2 X< ) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587.

§ Задача № 6.5.

Відомі математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення σнормально розподіленої випадковоївеличини Х.Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х потрапить у заданий інтервал (α,β). Якщо а = 10; σ =2 ; α =12 , β =14.

Розв’язання: Скористаємося формулою

Р( α < X < β ) = Ф Ф ;

Р ( 12 < X< 14 ) = Ф Ф = Ф(2) – Ф(1).

Згідно таблиці № 2 додатку Ф(2) = 0,4772; Ф(1) = 0,3413;

Отже Р(12< X<14 ) =0,42272 – 0,3413=0,1359.

§ Задача № 6 .6.

Відомі математичне сподівання тхі середнє квадратичне відхилення σхнормально розподіленої випадковоївеличини Х. На інтервалі (α, β)приблизно замінити нормальний закон рівномірним законом (законом постійної густини). Границі α, β підібрати таким чином, щоб числові характеристики випадкової величини Х, математичне сподівання і дисперсія, були незмінними.

Розв’язання: За рівномірним законом на інтервалі ( α , β )

тх = ; σх = ; Розв’яжемо рівняння відносно α і β.

α + β = 2∙тх ; β – α = 2 ∙σх ; .

2 α = 2( тх ); = ( тх );

β = 2 тх – α = 2тх тх + = тх + ; = тх + .

 

§ Задача №6.7.

Випадкова величина Х розподілена по показниковому закону, щільність розподілу якої

Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х потрапить у заданий інтервал (α,β) якщо =3; α=0,7 ; β=1.

Розв’язання:Р( α < X < β ) = ;

Р( 0,7 < X < 1 )= = = = 0,122 – 0,0498 = 0,0722.

 

ДОДАТОК 1

Таблиця значень функції

 

X
0,0 0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1.8
1,9
2,0 0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0 0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

 

 

 

 

 

 

ДОДАТОК 2

Таблиця значень функції

x Ф(х) х Ф(х) Х Ф(х) х Ф(х)
0,00 0,0000 0,57 0,2157 1,22 0,3883 1,87 0,4693
0,01 0,0040 0,58 0,2190 1,23 0,3907 1,88 0,4699
0,02 0,0080 0,59 0,2224 1,24 0,3925 1,89 0,4706
0,03 0,0120 0,60 0,2257 1,25 0,3944 1,90 0,4713
0,04 0,0160 0,61 0,2291 1,26 0,3962 1,91 0,4719
0,05 0,0199 0,62 0,2324 1,27 0,3980 1,92 0,4726
0,06 0,0239 0,63 0,2357 1,28 0,3997 1,93 0,4732
0,07 0,0279 0,64 0,2389 1,29 0,4015 1,94 0,4738
0,08 0,0319 0,65 0,2422 1,30 0,4032 1,95 0,4744
0,09 0,0359 0,66 0,2454 1,31 0,4049 1,96 0,4750
0,10 0,0398 0,67 0,2486 1,32 0,4066 1,97 0,4756
0,11 0,0438 0,68 0,2517 1,33 0,4082 1,98 0,4761
0,12 0,0478 0,69 0,2549 1,34 0,4099 1,99 0,4767
0,13 0,0517 0,70 0,2580 1,35 0,4115 2,00 0,4772
0,14 0,0557 0,71 0,2611 1,36 0,4131 2,02 0,4783
0,15 0,0596 0,72 0,2642 1,37 0,4147 2,04 0,4793
0,16 0,0636 0,73 0,2673 1,38 0,4162 2,06 0,4803
0,17 0,0675 0,74 0,2703 1,39 0,4177 2,08 0,4812
0,18 0,0714 0,75 0,2734 1,40 0,4192 2,10 0,4821
0,19 0,0753 0,76 0,2764 1,41 0,4207 2,12 0,4830
0,20 0,0793 0,77 0,2794 1,42 0,4222 2,14 0,4838
0,21 0,0832 0,78 0,2823 1,43 0,4236 2,16 0,4846
0,22 0,0871 0,79 0,2852 1,44 0,4251 2,18 0,4854
0,23 0,0910 0,80 0,2881 1,45 0,4265 2,20 0,4861
0,24 0,0948 0,81 0,2910 1,46 0,4279 2,22 0,4868
0,25 0,0987 0,82 0,2939 1,47 0,4292 2,24 0,4875
0,26 0,1026 0,83 0,2967 1,48 0,4306 2,26 0,4881
0,27 0,1064 0,84 0,2995 1,49 0,4319 2,28 0,4887
0,28 0,1103 0,85 0,3023 1,50 0,4332 2,30 0,4893
0,29 0,1141 0,86 0,3051 1,51 0,4345 2,32 0,4898
0,30 0,1179 0,87 0,3078 1,52 0,4357 2,34 0,4904
0,31 0,1217 0,88 0,3106 1,53 0,4370 2,36 0,4909
0,32 0,1255 0,89 0,3133 1,54 0,4382 2,38 0,4913
0,33 0,1293 0,90 0,3159 1,55 0,4394 2,40 0,4918
0,34 0,1331 0,91 0,3186 1,56 0,4406 2,42 0,4922
0,35 0,1368 0,92 0,3212 1,57 0,4418 2,44 0,4927
0,36 0,1406 0,93 0,3238 1,58 0,4429 2,46 0,4931
0,37 0,1443 0,94 0,3264 1,59 0,4441 2,48 0,4934
0,38 0,1480 0,95 0,3289 1,60 0,4452 2,50 0,4938
0,39 0,1517 0,96 0,3315 1,61 0,4463 2,52 0,4941
0,40 0,1554 0,97 0,3340 1,62 0,4474 2,54 0,4945
0,41 0,1591 0,98 0,3365 1,63 0,4484 2,56 0,4948
0,42 0,1628 0,99 0,3389 1,64 0,4495 2,58 0,4951
0,43 0,1664 1,00 0,3413 1,65 0,4505 2,60 0,4953
0,44 0,1700 1,01 0,3438 1,66 0,4515 2,62 0,4956
0,45 0,1736 1,02 0,3461 1,67 0,4525 2,64 0,4959
0,46 0,1772 1,03 0,3485 1,68 0,4535 2,66 0,4961
0,47 0,1808 1,04 0,3508 1,69 0,4545 2,68 0,4963
0,48 0,1844 1,05 0,3531 1,70 0,4554 2,70 0,4965
0,49 0,1879 1,06 0,3554 1,71 0,4564 2,60 0,4953
0,50 0,1915 1,07 0,3577 1,72 0,4573 2,62 0,4956
0,43 0,1664 1,08 0,3599 1,73 0,4582 2,64 0,4959
0,44 0,1700 1,09 0,3621 1,74 0,4591 2,66 0,4961
0,45 0,1736 1,10 0,3643 1,75 0,4599 2,68 0,4963
0,46 0,1772 1,11 0,3665 1,76 0,4608 2,70 0,4965
0,47 0,1808 1,12 0,3686 1,77 0,4616 2,72 0,4967
0,48 0,1844 1,13 0,3708 1,78 0,4625 2,74 0,4969
0,49 0,1879 1,14 0,3729 1,79 0,4633 2,76 0,4971
0,50 0,1915 1,15 0,3749 1,80 0,4641 2,78 0,4973
0,51 0,1950 1,16 0,3770 1,81 0,4649 2,80 0,4974
0,52 0,1985 1,17 0,3790 1,82 0,4656 2,82 0,4976
0,53 0,2019 1,18 0,3810 1,83 0,4664 2,84 0,4977
0,54 0,2054 1,19 0,3830 1,84 0,4671 2,86 0,4979
0,55 0,2088 1,20 0,3849 1,85 0,4678 2,88 0,4980
0,56 0,2123 1,21 0,3869 1,86 0,4686 2,90 0,4981
               
2,92 0,4982 2,98 0,4986 3,40 0,49966 4,00 0,499968
2,94 0,4984 3,00 0,49865 3,60 0,499841 4,50 0,499997
2,96 0,4985 3,20 0,49931 3,80 0,499928 5,00 0,499997

 


Література

1. Агапов Г.И. „Задачник по теории вероятностей.”1986.

2. Вентцель Е.С., Овчаров А.А. „Теория вероятностей.” М.: Наука, 1973.

3. „Вища математика” (книга 2). Спеціальні розділи. За ред. проф. Г.Л.Кулініча. К.: “Лебідь”, 2000.

4. Гмурман В.Е. „Теория вероятностей и математическая статистка.” М.: Высшая школа, 1977.

5. Гмурман В.Е. „Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.” М.: Высшая школа, 2000.

6. Колде Я.К. „Практикум по теории вероятностей и математической статистике”. Учебное пособие для втузов, 1991.

7. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. „Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике.” Минск: “Высшая школа”, 1986.

8. Овчинников П.П. та ін. “Вища математика”.Ч.2. К.: “Техніка”, 2000.

9. Пожидаев В.Ф.,Скринникова А.В. „ Теория вероятностей в задачах и решениях”,Луганск , 2004.

10. Чистяков В.П. „Курс теории вероятностей,” Издание 3-е. Учебное пособие. М.: Наука,1987.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти