ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Київського національного університету

Київського національного університету

Імені Тараса Шевченка

Білінійні та квадратичні функції

Шестаков С.С., канд. ф.- м. наук, Тмєнова Н.П., канд. ф.- м. наук

Київ - 20011

Зміст

 

1. Білінійні функції та білінійні форми………………………………………………2

2. Матриця білінійної функції в базисі………………………………………………3

3. Зв’язок матриць білінійної функції в різних базисах…………………………….5

4. Симетричні та кососиметричні білінійні функції………………………………...7

5. Квадратичні функції та квадратичні форми………………………………………8

6. Два способи завдання квадратичних функцій……………………………………9

7. Зведення квадратичної функції до канонічного вигляду……………………….10

8. Метод Лагранжа (метод виділення повних квадратів)………………………….12

9. Метод Якобі………………………………………………………………………..15

10. Закон інерції квадратичних форм………………………………………………..20

11. Додатні квадратичні функції……………………………………………………..22

12. Критерій Сильвестера……………………………………………………………22

13. Застосування теорії симетричних матриць до теорії квадратичних функцій...25

14. Алгоритм зведення квадратичної функції до канонічного вигляду ортогональним перетворенням змінних…………………………………………26

15. Класифікація поверхонь другого порядку………………………………………27

Список рекомендованої літератури………………………………………………….33

Предметний вказівник………………………………………………………………..34

 

 

Білінійні функції та білінійні форми

 

Нехай - векторний простір над полем . Відображення декартового добутку у поле називається білінійною функцією, якщо виконуються умови:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

 

Таким чином, функція білінійна, якщо при фіксованому другому аргументі вона лінійна за першим і при фіксованому першому вона лінійна за другим. Прикладом білінійної функції є скалярний добуток у евклідові просторі. Але в загальному випадку .

Припустимо тепер, що - скінченновимірний простір, - деякий фіксований базис простору, - довільні вектори, які в даному базисі задаються координатами: . Тоді .

Позначимо

,

тоді

.

Сума такого вигляду називається білінійною формою від змінних . Таким чином, можна зробити висновки:

1. На скінченновимірному просторі при фіксованому базисі будь-яка білінійна функція задається деякою білінійною формою.

2. При фіксованому базисі білінійна функція на скінченновимірному просторі задається набором чисел , де . У цьому розумінні часто поняття білінійної функції заміняється поняттям білінійної форми. Зрозуміло, що при різних фіксованих базисах білінійна функція задається різними білінійними формами, тому кажуть про вигляд білінійної форми в різних базисах.

 

 

Матриця білінійної функції в базисі

 

Припустимо, що - білінійна функція на просторі над полем , - деякий фіксований базис простору . Матрицею білінійної функції у базисі називається матриця

 

 

= .

 

 

Матриця білінійної функції в даному базисі цілком визначає білінійну функцію.

Нехай - довільні вектори, які в базисі задаються такими координатами: . Знайдемо значення функції на векторах

 

.

 

Далі,

 

Таким чином, виконуються рівності

 

;

 

;

 

.

 

Рівності можемо переписати в матричному вигляді:

 

 

.

 

Звідси:

.

 

Таким чином, можна зробити висновок: якщо - матриця білінійної функції у базисі , вектори задаються координатами в цьому базисі

,

то значення білінійної функції на векторах можна знайти за формулою

 

.

 

 

Метод Якобі

Нехай - квадратна матриця порядку . Кутовим мінором порядку матриці називається мінор , побудований на перших рядках та стовпчиках матриці .

Наприклад,

 

 

,

 

тоді

 

, , .

 

Будемо казати, що матриця задовольняє умову Якобі, якщо всі її кутові мінори не дорівнюють нулю.

 

Теорема Якобі (критерій Якобі).Нехай квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі у деякому базисі задається матрицею , яка задовольняє умову Якобі. Тоді в просторі існує базис, у якому функції відповідає квадратична форма:

,

де - всі кутові мінори матриці .

 

Доведення. Припустимо, що в базисі простору квадратичній

функції відповідає матриця

,

яка задовольняє умову Якобі . Через позначимо полярну симетричну білінійну функцію, яка породжує квадратичну функцію . Новий базис простору будемо шукати у вигляді

.

Для знаходження коефіцієнтів припустимо, що вектори задовольняють умови

Знайдемо спочатку вектор

Оскільки , то а тому

.

Припустимо тепер, що вже знайдено вектори , і знайдемо вектор скориставшись умовами

.

Це означає, що

 

Оскільки то ці рівності можна переписати так:

 

Ми одержали систему лінійних рівнянь відносно невідомих . Система квадратна, її головний визначник співпадає з кутовим мінором матриці . Тобто, , за умовою теореми. Система має єдиний розв’язок, за теоремою Крамера, - , ці значення визначають вектор . Знайдемо за формулою Крамера:

,

де - визначник, який одержується з визначника заміною -го стовпчика на

 

стовпчик вільних членів. Але

 

 

,

 

тоді

 

 

 

Тому

.

Доведемо тепер, що вектори утворюють базис простору. Оскільки кількість векторів у цій системі співпадає з розмірністю простору, то достатньо довести лінійну незалежність цієї системи. Припустимо супротивне. Тобто, нехай ці вектори лінійно залежні. Оскільки

,

це означає, що деякий вектор лінійно виражається через попередні вектори системи , тобто,

.

Але для кожного індексу вектор лінійно виражається лише через вектори , тоді вектор можна лінійно виразити через вектори :

для деяких . Отже,

Тоді

Оскільки

,

то з останньої рівності вектор можна лінійно виразити через вектори . Цього бути не може, оскільки вектори утворюють базис простору. Таким чином, припущення було не вірним, а тому вектори лінійно незалежні і також утворюють базис простору.

Знайдемо матрицю квадратичної функції у базисі . Припустимо спочатку, що , і, враховуючи принцип побудови векторів , одержуємо:

.

Оскільки матриця симетрична, звідси випливає, що всі її елементи, що стоять поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю. Тобто, матриця діагональна.

Знайдемо тепер діагональні елементи:

Таким чином,

.

Тобто, матриця має такий вигляд:

 

.

 

Якщо довільний вектор у базисі задається такими координатами: , то

 

.

Тобто, в базисі квадратична функція задається такою канонічною квадратичною формою:

 

 

Додатні квадратичні функції

 

 

Означення. Квадратична функція на векторному просторі над полем називається додатною, якщо для тоді і тільки тоді, коли .

Нехай - полярна симетрична білінійна функція, що породжує додатну квадратичну функцію , тоді задає на просторі скалярний добуток.

Дійсно, перевіримо виконання умов скалярного добутку:

1. .

Це випливає з симетричності білінійної функції

2.

3.

Виконання цих умов випливає з лінійності функції за першим аргументом.

4. тоді і тільки тоді, коли .

Умова виконується, оскільки - додатна квадратична функція.

 

 

Критерій Сильвестера

 

 

Будемо казати, що матриця з дійсними елементами задовольняє умову Сильвестера, якщо всі її кутові мінори додатні.

Тобто, якщо - порядок матриці, а - всі кутові мінори матриці, то

 

Теорема (критерій Сильвестера). Квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі додатна тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера.

 

Доведення.Необхідність. Нехай - додатна квадратична функція на скінченновимірному просторі . Покажемо, що в будь-якому базисі простору матриця квадратичної функції

задовольняє умову Сильвестера.

Доведемо це індукцією за розмірністю простору.

Нехай спочатку , ненульовий вектор утворює базис . Тоді в цьому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:

.

Припустимо, що . Тоді для деякого , причому ; і, оскільки - додатна квадратична функція, то . Але , тому

.

Припустимо тепер, що твердження виконується для всіх просторів розмірності менше , тобто, будь-яка квадратична функція в будь-якому базисі такого простору задається матрицею, яка задовольняє умову Сильвестера. І нехай , - деяка квадратична функція на , - фіксований базис простору, в якому функції відповідає матриця

 

Покажемо, що де - всі кутові мінори матриці . У цьому базисі квадратична функція задається такою квадратичною формою:

.

 

Цю квадратичну форму можна переписати так:

.

Визначимо підпростір і нехай

.

Тоді - квадратична форма від змінних , яка при фіксованому базисі підпростору задає на цьому підпросторі деяку квадратичну функцію причому . Тому, оскільки функція додатна, то і функція додатна. Але

,

тому, за припущенням індукції, матриця квадратичної функції на підпросторі у базисі задовольняє умову Сильвестера. Ця матриця співпадає з матрицею кутового мінору матриці .

Залишається показати, що . Зводимо квадратичну функцію до канонічного вигляду. При цьому знаходимо базис простору , у якому функції відповідає діагональна матриця:

 

.

 

Зрозуміло, що

,

і, оскільки

,

то

.

Якщо - матриця переходу від базису то

,

причому . Тоді

,

і, оскільки

а

,

то

.

 

Достатність. Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , і в базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Тоді ця матриця задовольняє і умову Якобі, а тому існує базис простору, в якому функція задається канонічною квадратичною формою:

де - всі кутові мінори матриці . За умовою теореми, всі коефіцієнти цієї квадратичної форми додатні. Припустимо, що -довільний вектор, який у базисі задається такими координатами: . Тоді

.

Якщо , то серед координат є ненульові, а тому , тобто, функція додатна.

 

Зауваження. В процесі доведення останньої теореми фактично було показано, що матриця додатної квадратичної функції на скінченновимірному просторі в будь-якому базисі задовольняє умову Сильвестера.

 

 

Література

 

1. КУРОШ А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965. - 360 с.

2. ПРОСКУРЯКОВ И.В. Сборник задач по линейной алгебре.- М.: Наука,

1984.- 380 с.

3. ФАДДЕЕВ Д.К., СОМИНСКИЙ И.С. Сборник задач по высшей алгебре.

– М.: Наука, 1977. - 302 с.

 

Предметний вказівник

 

Білінійна форма
Білінійна функція
Додатня квадратична функція
Загальне рівняння поверхні другого порядку
Задача зведення
Задача класифікації поверхонь другого порядку
Закон інерції квадратичних форм
Канонічна квадратична форма
Квадратична форма
Квадратична функція
Конгруентні матриці
Кососиметрична білінійна функція
Кососиметрична матриця
Критерій Сильвестера
Кутовий мінор
Матриця білінійної функції
Матриця квадратичної функції
Метод Лагранжа
Поверхня другого порядку
Полярна білінійна функція
Ранг білінійної функції
Ранг квадратичної функції
Симетрична білінійна функція
Умова Сильвестера
Умова Якобі

 

Київського національного університету

Імені Тараса Шевченка

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти