ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Методичні рекомендації до розв’язування задач.

Приклад 1.Скласти параметричні та канонічні рівняння прямої, що проходить через точку Мо (2, -5, 8) перпендикулярно площині 3х + 4у – 7z – 6 = 0.

Розв'язання.

В якості направляючого вектора прямої можна взяти нормальний вектор (3, 4, -7) даної площини. Отримуємо х = 2 + 3t, у = -5 + 4t, z = 8 – 7t. Виключаючи з цих рівнянь параметр t, отримуємо канонічні рівняння даної прямої:

Відповідь.

Приклад 2.Дано трикутник звершинами А(1, 4, -5), В(-3, 6, 9), С(5, 6, 7). Скласти рівняння прямої, на якій лежить медіана, що проведена з вершини В.

Розв'язання.Знаходимо середину відрізка АС – точку D(3, 5, 1). Задача зводиться до знаходження прямої по двом точкам В та D. Отримаємо або .

Відповідь. .

Приклад 3.Знайти відстань між двома мимобіжними прямими: та

Розв'язання.Перша пряма походить через точку М1 (3, -4, 5) та має
направляючий вектор (1, 2, -2), друга проходить через точку М2 (4, -2, 6) та має
направляючий вектор (8, 6, 4). Звідси знайдемо

Відповідь.d =1.

Рис. 6.29

 

Приклад 4.Дослідити взаємне розміщення таких пар прямих:

А) і ;

Б) і ;

Розв'язання.А) Випишемо координати направляючих векторів даних прямих: (3, 2, -3), (2, -1, 3). Перевіримо умову :

дана умова не виконана, тому прямі або перетинаються, або мимобіжні. Перевіримо, яка умова виконується. Маємо: М1(3, -1, 1), М2(5; -2, 4); (2; -1, 3).

Отже, виконується умова , тому прямі перетинаються.

Б) У цьому випадку направляючі вектори такі: (2; 3; -1), (4; 3; 2). Оскільки відповідні координати цих векторів непропорційні, то прямі не паралельні. Тоді: М1(1, -2, 0); М2(1, 5, -1); (0, 7, -1);

Отже, прямі мимобіжні.

Відповідь.А) прямі перетинаються; Б) прямі мимобіжні.

Приклад 5. Знайти кут між прямою та площиною 2х + 2у – 4z – 3 = 0.

Розв'язання.Скористаємося формулою sin j де α = 2, β = -1, γ = -1, А = 2, В = 2, С = -4, отримаємо:

sin j , j=300

Відповідь. j=300

Приклад 6.Перевірити, чи лежать прямі та в одній площині.

Розв'язання.Зведемо рівняння заданих прямих l1 та l2 до канонічного вигляду, для чого знайдемо по одній точці на прямих і направляючі вектори цих прямих.

l1:

Нехай z = 0, тоді:

Тобто точка Ml (-1, 3, 0) належить прямій l1. Далі знайдемо направляючий вектор прямої l1.

= , де (2, 0, -3) – нормальний вектор площини 2х -3z + 2 = 0, а (0, 2, -1) – нормальний вектор площини

Отже, ; (6, 2, 4). Значить, канонічне рівняння прямої l1 буде таким: або .

Аналогічно зведемо рівняння прямої l2 до канонічного вигляду:

l2:

Нехай z = 0, тоді:

Тобто точка M2 (-49, -37, 0) належить прямій l2. Далі знайдемо направляючий вектор прямої l2.

= , де – нормальний вектор площини , а – нормальний вектор площини

Отже,

Тобто (48, 37, 4) – направляючий вектор прямої l2, і її рівняння буде мати вигляд: .

Тепер перевіримо, чи лежать задані прямі в одній площині. Оскільки ( ), тоді досить перевірити вектори на компланарність. Для цього обчислюємо:

Отже, вектори –компланарні, а значить, прямі l1 та l2 лежать в одній площині.

Відповідь. Прямі l1 та l2 лежать в одній площині.

Приклад 7.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M1(4, -3, 1) паралельно прямим та

Розв'язання.Рівняння будь-якої площини, що проходить через дану точку М1 (4; -3; 1), має вид: А(х – 4) + В(у + 3) + C(z – 1) = 0.

Шукана площина паралельна даним прямим, тому, застосовуючи умову

паралельності прямої та площини, матимемо:

та

Отримаємо 16х -27 у + 14z – 159 = 0.

Відповідь.16х -27 у + 14z – 159 = 0.

Приклад 8.Знайти проекцію точки А(1; -3; 2) на площину 6x + 3y – z – 4l = 0.

Розв'язання.Проекцією даної точки на площину є точка перетину прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній площині, з цією площиною.

Рівняння перпендикуляра будемо шукати у вигляді: , де координати направляючого вектора знайдемо з умови перпендикулярності прямої та площини чи

Отже, .

Знайдемо точку перетину прямої з площиною:

, звідки . Підставивши ці значення х, у та z у рівняння площини, знайдемо параметр t:

6(6t +1) + 3(3t – 3) – (-t + 2) – 41 = 0,

t = 1.

Знаючи параметр t, знайдемо проекцію точки А(1; -3; 2) на площину 6х + 3у – z – 41 = 0, ця точка А1 (7; 0; 1).

Відповідь.А1 (7; 0; 1).

Приклад 9.Скласти канонічні рівняння прямої, що лежить у площині xOz, проходить через початок координат та перпендикулярна до прямої

Розв'язання.Згідно умові, пряма проходить через початок координат, тому її канонічні рівняння мають вид: .

Так як пряма лежить у площині xOz, то β = 0. З умови перпендикулярності прямих слідує, що 3α + γ = 0, звідки γ = -3α . Підставимо у рівняння та скоротимо на α, отримаємо рівняння прямої: або .

Відповідь. .

Приклад 10.Скласти рівняння площини, яка проходить через: А) пряму і точку М (2, 0, 1); Б) дві паралельні прямі та

Розв'язання.А) Рівняння площини, яка проходить через точку М (2, 0, 1) має вигляд: А(х – 2) + Ву + C(z – 1) = 0.

Направляючий вектор прямої (1, 2, -1) і нормальний вектор площини (А, В, С) перпендикулярні, значить, їх скалярний добуток дорівнює 0.

А + 2В – С = 0.

Точка А(1, -1, -1) лежить на прямій, а значить, і на площині, тобто її координати задовольняють рівняння площини:

А (1 - 2) + (-1) + С (-1 – 1) = 0, або -А – В – 2С = 0.

Значить, А = -5С, В = 3С. Звідси шукане рівняння площини має вигляд:

(–5 (х – 2) + 3у + z – 1) С = 0, або 5х – 3у – z – 9 = 0.

Б) Взявши на одній з прямих точку, наприклад, на першій прямій точку М(1, 0 -2), отримуємо задачу, аналогічну з пунктом А). Шукана площина має рівняння 3х – 2у – 3 = 0.

Відповідь. А) 5х – 3у – z – 9 = 0; Б) 3х – 2у – 3 = 0.

 

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти