|
Задачі до практичних занять.
Види рівнянь прямої у просторі. Основні метричні задачі на пряму у просторі. 1.Скласти рівняння прямих, що утворені перетином площини 5х – 7y + 2z – 3 = 0 з координатними площинами. 2.Знайти точки перетину прямої з координатними площинами. 3.Визначити, при якому значення D пряма перетинає: 1)вісь Ох; 2)вісь Оу; 3)вісь Oz.. 4.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку 5.Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку Мо(-1, 3, -9) перпендикулярно: 1)площині 3х – 4у + 5z – 1 = 0; 2)площині ОYZ; 3)площині OXZ; 4)площині OXY. 6.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку Мо(2, 5, -8) паралельно: 1)прямій ; 2)прямій . 7.Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку Мо(10, -12, 15) паралельно: 1)прямій ; 2)прямій . 8.Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М(2; 0; -3) паралельно: 1)вектору (2; -3; 5); 2)прямій ; 3)осіОх; 4)осі Оу; 5)осі Oz. 9.Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через дві даніточки: 1)(1; -2; 1), (3; 1; -1); 2)(3; -1; 0), (1; 0; -3); 3)(0; -2; 3), (3; -2; 1); 4)(1; 2; -4), (-1, 2, -4);
10.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М(1; -1; -3) паралельно: 1)вектору (2; -3; 4); 2)прямій ; 3)прямій . 11.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки: 1)(3; -1; 2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; -2), (3; -1; 0); 3) (0; 0; 1), (0; 1; -2). 12.Дано трикутник з вершинами А(4, -5, 7), В(3, 2, -1), С(-6, 8, 10). Записати рівняння прямих, на яких лежать його сторони. 13.Три послідовні вершини паралелограма знаходяться у точках А(9, -3, 2), В(4, -2, 8), С(-7, -5, 6). Записати рівняння його діагоналей. 14.Дано вершини трикутника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) та С(4; -7; -2). Скласти параметричні рівняння його медіани, що проведена з вершини С. 15.Дано вершини трикутника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) та С(5; 1; -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, що опущена з вершини В на протилежну сторону. 16.Скласти канонічні рівняння наступних прямих: 1) 2) 3) 17.Скласти параметричні рівняння наступних прямих: 1) 2) 18.Знайти гострий кут між прямими: 19.Визначити косинус кута між прямими: 20.Знайти косинус кута між двома прямими: 1) та 2) та 3) та 4) та 21.Скласти рівняння прямої, що проведена через точку М (1, 3, -4) перпендикулярно до двох прямих: 22.Знайти відстань від точки М(2, -3, 5) до кожної з наступних прямих: 1) 2) 23.Знайти відстань між паралельними прямими: 1) та 2) та 24.Знайти відстань між двома прямими: 1) та ; 2) та 25.Знайти найкоротшу відстань між діагоналлю куба та діагоналлю грані, що її не перетинає, якщо ребро куба дорівнює а. 26.Дано прямі та . При якому значенні вони перетинаються? 27.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-1; 2; -3) перпендикулярно вектору (6; -2; -3) і перетинає пряму .
Відповіді. 1. 2.(2, -1, 0), , (0, 2, -1). 3.1) D = -4, 2) D = 9, 3) D = 3. 4.1) 2) 5.1) 7. 1) 2) 8.1) 2) 3) 4) 5) 9.1) 2) 3) 4) 10. 1) 2) 3) 11. 1) 2) 3) 12. 13.АС: 14. 15. 16.1) 2) 3) 17.1) 2) 18.600 19.cos j = ± 20.1) cos j = 0; 2) cos j = ;3) cos j = 1; 4) cos j = . 21. 22.1) ;2) ; 23.1) ;2) ; 24.1) ;2) ; 25. . 26. 27. Задачі до практичних занять. Змішані задачі, що відносяться до рівняння площини та рівняння Прямої. 1.Довести, що пряма паралельна площині 4х – 3у – 6z – 5 = 0. 2.Довести, що пряма належить площині 4х – 7у +6z – 56 = 0. 3.Довести, що пряма перпендикулярна до площини 2х – 5у + 4z + 52 = 0. Знайти точку їх перетину. 4.Знайти точку перетину прямої та площини: А) , 2х + 3у + z – 1 = 0. Б) , х – 2у + z – 15 = 0. В) , х + 2у – 2z + 6 = 0. 5.Знайти проекцію точки М (2, 5, -3) на пряму . 6.Знайти проекцію точки М (5, 1, 3) на пряму 7.Знайти проекцію точки М (1, -2, 4) на площину 5х – 3у + 6z + 35 = 0. 8. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку M (2; -4; -l) та середину відрізка прямої що знаходиться між площинами 5х + 3у – 4z + 11 = 0, 5х + 3у – 4z – 41 = 0. 9.Скласти рівняння площини, що походить через точку М(1; -2; 1) перпендикулярно до прямої 10.При якому значенні т пряма паралельна площині х – 3у + 6z + 7 = 0? 11.При яких значеннях т і С пряма перпендикулярна до площини 3х – 2у + Сz + 1 = 0? 12.Знайти точку Q,, симетричну точці Р (4; 1; 6) відносно прямої 13.Знайти точку Q,, симетричну точці Р (2; -5; 7) відносно прямої, що проходить через точки М1(5; 4; 6) та М2(-2; -17; -8). 14.На площині Oxz знайти таку точку Р, різниця відстаней якої до точок М1(3; 2; -5) та М2(8; -4; -13) була б найбільшою. 15. Скласти рівняння проекції прямої на площину 3х – у + z – 4 = 0. 16.Знайти кут між прямою та площиною 4х +2у + 2z – 5 = 0. 17.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму х = 2t +1, y = -3t + 2, z = 2t – 3 та точку М(2, -2, 1). 18.Довести, що прямі , лежать в одній площині, і скласти рівняння цієї площини. 19.Знайти точку Q, симетричну точці Р(-3; 2; 5) відносно площини, що проходить через прямі 20.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0. 21.Скласти рівняння проекції прямої на площину 3х – у + z – 1 = 0. 22.Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М(3; -2; -4) паралельно площині 3х – 2у – 3z – 7 = 0 і перетинає пряму . Відповіді. 3.N (4, 8, -5). 4.А) (2, -3, 6); Б) пряма паралельна площині; В) пряма належить площині. 5.N (-3; -3,2; 3,6). 6.N (2, -1, 2). 7.N (-4, 1, -2). 8. 9.х + 2у + 3z = 0. 10.т = -3. 11.т = -6, С = 12.Q (2, -3, 2). 13.Q (4, 1, -3). 14.Р (-2, 0, 3). 15. 16.sin j 17.4х + 6у +5z – 1 = 0. 18.2х – 16у – 13z + 31 = 0. 19.Q (1, -6, 3). 20.х – 8у – 13z + 9 = 0. 21. 22. Завдання для самостійної роботи. Варіант 1 1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки М (1, -3, 0,5) і N (3, 4, 2,5). 2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через початок координат паралельно прямій 3.Звести рівняння прямої до канонічного вигляду. 4.Дослідити взаємне розміщення пар прямих: і 5.У прямокутній системі координат дано дві прямі: і . Знайти кут між цими прямими. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 5) паралельно прямій 7.В афінній системі координат дано дві прямі: і . Скласти рівняння площини, яка проходить через них. 8.Знайти проекцію В точки А (5, 2, -1) на площину 2х – у +3z + 23 = 0. 9.У прямокутній системі координат дві прямі задані рівняннями: і . Знайти відстань між ними. 10.Данотри вершини трикутника: А(4, 1, -2), В(2, 0, 0), Р(-2, 3, -5). Скласти рівняння його висоти, яка проведена з вершини В. Варіант 2 1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки М (1, -3, 0,5) і N (4, -3, 2). 2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, 0, 2) і паралельна площинам х + у +z – 3 = 0 і х – 2у + z + 2 = 0. 3.Звести рівняння прямої до канонічного вигляду. 4.Дослідити взаємне розміщення пар прямих: і 5.Знайти кут між прямими: і 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 2, 3), перетинаючи вісь Оz під прямим кутом. 7.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму х = 2t +1, y = -3t + 2, z = 2t – 3 та точку М(2, -2, 1). 8.Знайти проекцію В точки А (4, -3, 1) на площину х + 2у – z – 3 = 0. 9.Знайти довжину перпендикуляра, проведеного з точки А (1, 0, 1) на пряму 10.Скласти рівняння прямої, яка проходить через центр тяжіння трикутника А(2, -1, 7), В(4, 5, 1), Р(-3, 2, 4) і початок координат. Варіант 3 1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 0,5) і паралельна вектору = (2, 1, -3). 2.Написати параметричні рівняння прямої 3.Пряма задана як лінія перетину площин 2х + 3у – 16z – 7 = 0 і 3х + у – 17z = 0. Скласти канонічні рівняння цієї прямої. 4.Дослідити взаємне розміщення прямої та площини х – 3у – 3z + 5 = 0. 5.У прямокутній системі координат дано пряму і площину 2х – у – 3z + 4 = 0. Знайти кут між ними. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (0, 1, 0), паралельно осі Оz. 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М (2, -15, 1) і Р (-1, 1, -1), паралельно прямій, визначеній точками А (5, -2, 3) і В (6, 1, 0). 8.Знайти проекцію В точки А (1, 2, 1) на пряму . 9.Знайти відстань від точки М (-1, 2, 1) до прямої а: . 10.Данотри вершини трикутника: А (1, -2, -4), В (3, 1, -3), С (5, 1, -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону. Варіант 4 1. Скласти рівняння прямої, яка з’єднує початок координат з точкою М (а, b, c). 2.Написати параметричні рівняння прямої 3.Пряма задана системою рівнянь Скласти канонічні рівняння цієї прямої. 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і . 5.Знайти кут між прямими і 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -5, 3) та утворюючу з осями координат кути . 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (4, -3, 1) і паралельна прямим і . 8.Знайти проекцію В точки А (1, -2, 3) на пряму 9.Знайти найкоротшу відстань між прямими і . 10.Скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з точки М (6, 1, -5) на пряму .
Варіант 5 1.Скласти рівняння прямої, яка з’єднує точки М (1, 1, 0) і Р (1, 1, 1). 2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить паралельно площинам 3х + 12у – 3z – 5 = 0, 3х – 4у + 9z + 7 = 0 і перетинає прямі і . 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через початок координат і утворює з усіма осями прямокутної системи координат рівні кути. 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і . 5.Знайти кут між прямими і . 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і утворює з осями координат кути . 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (2, 0, 1) і пряму . 8.Знайти проекцію прямої на площину х – у + 3z + 8 = 0. 9.Знайти відстань від точки М (7, 9, 7) до прямої а: . 10.Данотри вершини трикутника: А (2, -1, -3), В (5, 2, -7), С (-7, 11, 6). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А. Варіант 6 1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки М (2, -1, -1) і К (3, 3, -1). 2.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку А (5, 4, -1) паралельно вектору (1, 2, 7). 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М(1, 0, 5) і перетинаєтьсяз прямими і . 4.Дослідити взаємне розміщення прямих: і . 5.Знайти кут між прямою і площиною 2х + 3у – 6z +2 = 0. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна прямій . 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі: і . 8.Знайти проекцію точки А (3, -4, -2) на площину, яка проходить через паралельні прямі і . 9.На прямій знайти точки, які знаходяться на відстані 1 від площини х + у + z +1 = 0. 10.Дановершини трикутної піраміди А(1, -3, 4), В(0, 1, -1), Р (-2, 3, 1), К (5, 3, 4). Скласти рівняння висоти, яка проведена з вершини К на основу (АВР).
Варіант 7 1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 1, -3) паралельно вектору = (1, -3, 4). 2.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку К (5, 4, -1) паралельно осі Ох. 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно прямій . 4.При яких значенняхт і п прямі і паралельні? 5.Знайти сінуси кутів, які утворює пряма з площинами координат прямокутної системи. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна осі Оу. 7.В афінній системі координат дано дві прямі: і . Скласти рівняння площини, яка проходить через них. 8.Знайти точку В, симетричну даній точці Р (3, -4, -6) відносно площини, яка проходить через точки М (-6, 1, -5), Н (7, -2, -1), К (10, -7, 1). 9.Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і . 10.Данотри вершини трикутника: А(2, 4, 5), В(-1, 3, 2), Р(4, -4, 1). Скласти рівняння висоти АН.
Варіант 8 1.Скласти рівняння прямих, які утворені перетином площини 5х – 7у +2z –3 = 0 з координатними площинами. 2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: К (1, 1, -2), С (3, -1, 0). 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно вектору = (2, -3, 5). 4.Дослідити взаємне розміщення прямих: і . 5.Знайти кут між прямою і площиною 7х + 2у – 3z +5 = 0. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна прямій 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М (1, 2, 3) і К (4, -1, -2), паралельно вектору = (6, -8, 10). 8.Знайти точку В, симетричну точці Р (-3, 2, 5) відносно площини, яка проходить через прямі і 9.Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і 10.Дано вершини трикутника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) та С(4; -7; -2). Скласти параметричні рівняння його медіани, що проведена з вершини С. Варіант 9 1.Скласти рівняння прямої, яка утворена перетином площини 3х – у –7z +9 = 0 з площиною, яка проходить через вісь Ох і точку Р (3, 2, -5). 2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: М (3, -1, 2), Р (2, 1, 1). 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно осі Ох. 4.Дослідити взаємне розміщення прямих: і 5.Знайти гострий кут між прямими і . 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і точку Р (2, -3, 4). 7.Скласти рівняння площини, що походить через точку М(1; -2; 1) перпендикулярно до прямої 8.Дана точка М (1, 2, 3). Знайти координати точки В, симетричної точці М відносно площини 2х + у – z – 13 = 0. 9.Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і 10.Данотри вершини трикутника: А (3, -1, -1), В (1, 2, -7), С (-5, 14, -3). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині С. Варіант 10 1.Знайти точки перетину прямої з координатними площинами. 2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку: М (1, -1, -3) паралельно прямій 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки: М (1, -2, 1), Р (3, 1, -1). 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і 5.Знайти тупий кут між прямими і 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, -5, 3) і паралельна прямій 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (1, 2, -3) паралельно прямим і . 8.Знайти точку В, симетричну точці А (1, -2, 4) відносно прямої 9.Знайти відстань точки Р (1, -1, -2) від прямої . 10.Три послідовні вершини паралелограма знаходяться у точках А(9, -3, 2), В(4, -2, 8), С(-7, -5, 6). Записати рівняння його діагоналей.
Варіант 11 1.Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Ох. 2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -1, -3) паралельно вектору = (2, -3, 4). 3.Скласти канонічні рівняння прямої 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і . 5.Знайти косинус кута між прямими і 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, -5, 3) і паралельна прямій 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (-2, 3, 0) і через пряму 8.Знайти проекцію точки Р (5, 4, -1) на площину 7х – 3у + 2z + 41 = 0. 9.Знайти відстань від точки Р (2, 3, -1) до прямої . 10.Данотри вершини трикутника: А(3, 6, -7), В(-5, 2, 3), Р(4, -7, -2). Скласти параметричні рівняння його медіани, яка проведена з вершини Р. Варіант 12 1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, -5, 3) і паралельна осі Оу. 2.Написати параметричні рівняння прямої 3.Скласти канонічні рівняння прямої 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і 5.Знайти косинус кута, який утворений прямими: і 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (0, 0, 1) і перетинає кожну з прямих: і 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (2, -2, 1) і пряму 8. Знайти точку, симетричну точці А (1, 5, 2) відносно площини 2х – у – z + 11 = 0. 9.Знайти відстань від точки Р (2, 3, -1) до прямої 10.Дано вершини трикутника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) та С(5; 1; -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, що опущена з вершини В на протилежну сторону.
Варіант 13 1.Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Оу. 2.Знайти точку перетину площини 5х – 3у + 2z – 30 = 0 з віссю Оу. 3.Пряма задана як лінія перетину площин 2х + 3у – 16z – 7 = 0, 3х + у – 17z = 0. Скласти канонічні рівняння цієї прямої. 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і 5. Знайти синус кута , утвореного прямою з площиною 3х + у – 2 = 0. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 2, -3) перпендикулярно до вектора = (6, -2, -3) і перетинає пряму . 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі і . 8.Знайти проекцію прямої на площину ХОY. 9.Знайти відстань від точки Р (2, 3, -1) до прямої . 10.Дано трикутник звершинами А(1, 4, -5), В(-3, 6, 9), С(5, 6, 7). Скласти рівняння прямої, на якій лежить медіана, що проведена з вершини В. Варіант 14 1.Визначити, при якому значенні D пряма перетинає вісь Оz. 2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: В (0, 0, 1), Н (0, 1, -2). 3.Скласти канонічні рівняння прямої 4. Яким повинно бути значення коефіцієнта т, щоб пряма була паралельна площині 3х – 4у + 7z – 2 = 0. 5. Знайти косинус кута між двома прямими: та 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку Р (-4, -5, 3) і перетинає дві прямі і . 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0. 8. Знайти проекцію точки Р (4, -3, 1) на площину х + 2у – z – 3 = 0. 9.Знайти відстань від точки Р (5, -12, -4) до прямої . 10.Скласти рівняння прямої, яка проходить через центр тяжіння трикутника А(2, -1, 7), В(4, 5, 1), Р(-3, 2, 4) і початок координат. Варіант 15 1.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки: М (3; -1; 2), Р (2; 1; 1). 2.Знайти точку перетину площини 5х – 3у + 2z – 30 = 0 з віссю Оz. 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно осі Оу. 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і 5.Знайти косинус кута між двома прямими: та 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (7, 1, -3) паралельно прямій . 7.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0. 8.Знайти точку, симетричну точці А (4, 3, 10) відносно даної прямої . 9.Знайти відстань від початку координат до прямої . 10.Данотри вершини трикутника: А (2, -1, -3), В (5, 2, -7), С (-7, 11, 6). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А. Варіант 16 1.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки: А (0; 0; 1), В (0; 1; -2). 2.Написати параметричні рівняння прямої 3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно осі Оz. 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і 5.Визначити косинус кута між прямими: і 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-3, 1, 0) паралельно прямій 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі: і 8.Знайти точку В, симетричну даній точці Р (1, 3, -4) відносно площини 3х + у – 2z = 0. 9.Знайти відстань між прямими і . 10.Данотри вершини трикутника: А (1, -2, -4), В (3, 1, -3), С (5, 1, -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону. Варіант 17 1.Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку Мо (2, -5, 8) перпендикулярно площині 3х + 4у – 7z – 6 = 0. 2.Знайти точку перетину площини 5х – 3у + 2z – 30 = 0 з віссю Ох. 3. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки: М (0, -2, 3), Р (3, -2, 1). 4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і 5.Знайти кут між прямою та площиною 4х +2у + 2z – 5 = 0. 6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через початок координат і перетинає прямі і . 7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (3, 1, - |
|
|