|
Взаємне розташування трьох площин.
Нехай три площини задані рівняннями: α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, α2: A2x+B2y+C2z+D2=0 та α3: A3x+B3y+C3z+D3=0. Можна виділити 8 випадків їх взаємного розташування: 1.Всі площини співпадають: Тоді у всіх трьох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні. 2.Дві площини співпадають, третя їм паралельна: У двох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні, а в третього коефіцієнти біля змінних пропорційні до перших двох, а вільні члени не пропорційні до них. 3.Три площини паралельні: у всіх трьох рівняннях коефіцієнти біля змінних пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них. 4.Дві співпадають, а третя їх перетинає: У двох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні, а в третього коефіцієнти біля змінних не пропорційні до перших двох. 5. Дві паралельні, а третя їх перетинає: у якоїсь пари рівнянь коефіцієнти біля змінних пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них, а в третього рівняння коефіцієнти біля змінних не пропорційні до перших двох. Як бачимо, у перших 5-ти випадках досить просто уважно подивитися на рівняння, і зробити висновки про взаємне розташування трьох площин. Якщо ж перші 5 випадків не підходять, то залишаються такі три випадки: 6.Всі площини перетинаються по одній прямій. 7.Площини перетинаються по трьом паралельним прямим. 8.Площини мають одну спільну точку. Для того, щоб дати відповідь про розташування площин в останніх трьох випадках, досить розв’язати систему, складену з рівнянь трьох площин. Тоді, якщо система: а) має безліч розв’язків, то маємо випадок 6 – площини перетинаються по одній прямій (розв’язками будуть всі точки їх спільної прямої), б) не має розв’язків, то випадок 7 (у площин не існує жодної спільної точки), в) один розв’язок, то це випадок 8 (цей розв’язок і є координатами їх спільної точки). Приклад 42. Вияснити взаємне розташування трьох площин: Перша і третя площини паралельні, так як Друга площина їх перетинає, бо Отже, дві площини паралельні, а третя їх перетинає.
Пряма лінія у просторі Так як і на площині пряму лінію у просторі можна задати двома точками або точкою і направляючим вектором. Крім того, її можна задати як перетин двох площин. 1. Канонічні рівняння прямої (за точкою і направляючим вектором) Нехай в афінній системі координат пряма проходить через точку М0 (x0,y0,z0) і має направляючий вектор =(α,β,γ). Виберемо на прямій довільну точку М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x-x0 ,y-y0 ,z-z0). Очевидно, що || , тому за теоремою 7 їх координати пропорційні: . (42) Якщо одна із координат направляючого вектора, наприклад, α=0, то (42) можна записати: . Аналогічно, якщо β=0 або γ=0. Якщо α=β=0, то отримаємо . Аналогічно для β=γ=0 та α=γ=0. Відмітимо, що в останньому випадку ми отримали пряму лінію, задану як перетин двох площин, які паралельні до координатних площин. 2. Рівняння прямої за двома точками Нехай пряма проходить через точки М1(x1,y1,z1) і М2(x2,y2,z2). Тоді вектор = – є направляючим вектором прямої. Скориставшись рівнянням (42) отримаємо: . (43) 3. Параметричні рівняння прямої Нехай пряма задана точкою М0 (x0,y0,z0) і направляючим вектором =(α,β,γ). Виберемо ще одну довільну точку прямої М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x–x0,y–y0,z–z0). || , тому за теоремою 1 =t . Перейшовши до координат, отримаємо: x–x0 = α t ; y–y0 = β t; z–z0 = γ t, або: (44) Приклад 43. Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку A(2,3,-4) паралельно до вісі OY. Розв’язання: За направляючий вектор прямої візьмемо вектор Тоді рівняння шуканої прямої матимуть вигляд: 4. Рівняння прямої, заданої як перетин двох площин. Розглянемо дві площини, задані рівняннями α: A1x+B1y+C1z+D1=0 і β: A2x+B2y+C2z+D2=0, причому їх нормальні вектори неколінеарні (умова перетину), отже, коефіцієнти біля змінних в рівняннях площин не пропорційні. Перетин таких площин визначатиме пряму, яку можна задати системою: , (45) причому = ( ) є направляючим вектором прямої. Приклад 44. Записати пряму як перетин двох площин. Розв’язання:Спочатку запишемо канонічні рівняння даної прямої: . Тепер легко отримати рівняння трьох площин, які проходять через дану пряму. Нам досить записати дві, перетин яких і визначає пряму: або Приклад 45. Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через початок координат, паралельно до прямої Розв’язання:Знайдемо направляючий вектор даної прямої: Шукана пряма визначається рівняннями: Приклад 46. Знайти проекцію прямої на площину Розв’язання:Проекцією прямої на площину буде пряма, отримана в перетині проектуючої площини з площиною яка має рівняння: Отже, для розв’язання задачі потрібно знайти рівняння проектуючої площини (вона проходить через дану пряму, перпендикулярно до площини ). Скористаємося рівнянням площини за точкою і двома направляючими векторами. За точку можна взяти, явно задану точку прямої а за направляючі вектори – направляючий вектор прямої і нормальний вектор площини: тоді проектуюча площина має рівняння: а шукана пряма: |
|
|