|
Диференціальне числення функції однієї змінної
4.3.1. Короткі теоретичні відомості Однією з основних характеристик функції є її похідна в певній точці. Найбільш наочне уявлення про зміст похідної дає її геометрична інтерпретація. Тому розглянемо задачу про дотичну до кривої. 1. Дотичною до кривої у = f(x) в точці М(х; у) називається граничне положення січної ММ1, коли точка М1, рухаючись по кривій, прямує до точки дотику М. Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної (рис. 4.18): надамо аргументу х приросту Dх, відповідний йому приріст функції у буде Dу, тоді координати точки М1 (х + Dх; у +Dу). З MM1A: . Якщо Dх 0, точка М1 М, січна повертається навколо точки М і намагається зайняти положення дотичної, а кут . Тангенс кута нахилу дотичної до кривої в точці М і є похідною функції у цій точці.
2. Похідною функції у = f(x) по аргументу х називають границю відношення приросту функції до прироста аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля: . Похідна функції може позначатись у такий спосіб: . Операцію знаходження похідної називають диференціюванням, а функцію, що має похідну в деякій точці, називають диференційовною в цій точці.
3. Теорема (зв'язок між неперервністю та диференційовністю) Якщо функція у = f (x) диференційовнана в деякій точці х0, то вона в цій точці неперервна. Обернене твердження не справедливо: не кожна неперервна в точці функція буде диференційовною в цій точці.
4. Правила диференціювання: Якщо С – стала, то С' = 0. Якщо функції u = u(x) та v = v(x) диференційовні в точці х, то їхня алгебраїчна сума, добуток та частка (v(x) 0 ) теж диференційовні в цій точці і справедливі формули: 2.1. (u ± v)' = u' ± v'; 2.2. (uv)' = u'v + v'u; 2.3. . Сталий множник можна виносити за знак похідної: (Cu)' = Cu'. Диференціювання складеної функції: якщо y = f(u), u = u(x) і функції f та u диференційовні по своїх аргументах, то yx' = fu' ux'. Диференціювання обернених функцій: нехай функція у = у(х) має обернену х = х(у), причому обидві функції диференційовні, тоді .
5. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Нехай u = u(x). Тоді
6. Диференціювання функцій, що задані неявно та параметрично. Неявно задана функція має вигляд F(х; у) = 0. Щоб продиференціювати її, треба взяти похідну по х від обох частин рівності, враховуючи, що у = у(х), і одержане рівняння розв'язати відносно у', у' = у'(х; у). Параметрично задана функція має вигляд , a £ t £ b, t - параметр. Її похідна обчислюється за формулою: . 7. Похідні вищих порядків Нехай на інтервалі (а; b) задана диференційовна функція у = f (х), тоді її похідна f¢ (х) (похідна першого порядку) також є функцією від х. Якщо ця функція диференційовна на (а; b), то її похідна називається похідною другого порядку у² і т.д. Похідною n – го порядку функції у називається похідна 1 – го порядку від похідної (n – 1)-го порядку: у(n) = (у(n-1))' .
8. Правило Лопіталя Правило, що дає змогу розкривати невизначеності вигляду та за допомогою похідних, сформульовано у наступній теоремі. Теорема. Нехай функції f(x) та g(x) визначені та диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі = = 0 або = = ¥, причому g'(x) ¹ 0. Тоді якщо $ , то $ , і ці границі рівні між собою.
9. Диференціал та його геометричний зміст Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно Dх, частина приросту функції f (х) в цій точці: dy = f ¢ (х) dx. 10. Основні теореми диференціального числення Теорема Лагранжа Якщо функція у = f(x), неперервна на відрізку [а; b], диференційовна в інтервалі (а; b), то в середині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка с Î (а; b), в який f(b) – f(a) = f `(c) (b-a)
Теорема Ролля Якщо функція у = f(x), неперервна на відрізку [а; b], диференційовна в інтервалі (а; b) і на кінцях відрізка набуває однакових значень f(a) = f(b), то знайдеться хоча б одна точка с Î (а; b), в який f `(c) = 0
11. Функція у = f(x) називається монотонно зростаючою на (а; b), якщо " х1 < х2 з інтервалу (a; b) Þ f(x1) < f(x2) Функція у = f(x) називається монотонно спадною на (а; b), якщо " х1 < х2 з інтервалу (a; b) Þ f(x1) > f(x2) Рис. 4. 11 12. Теорема (необхідна ознака зростання (спадання) функції) Якщо диференційовна на (а; b) функція зростає (спадає), то f ¢ (х) ³ 0 ( f ¢ (х) £ 0 ) Теорема (достатня ознака зростання (спадання) функції) Якщо у = f(x) диференційовна на (а; b) функція і f ¢ (х) > 0 (f ¢ (х) < 0 ) на (а; b), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.
13. Інтервали монотонності функції відділяються один від одного точками, у яких похідна = 0, або не існує. Такі точки називаються критичними точками 1 роду.
14. Функція у = f(x) має екстремум в точці х0, якщо $ такий окіл точки х0, для всіх х якого виконується нерівність: f(x) < f(x0) – для максимума і f(x) > f(x0) - для мінімума (рис. 4. 12).
15. Теорема (достатня умова екстремуму функції) Нехай функція у = f(x) диференційовна в околі точки x0, крім можливо самої точки x0, яка є критичною точкою 1 роду. Тоді якщо 1) f ´(х) > 0 " х < х0 і f ´ (х) < 0 " х > х0, то х0 є точкою максимума; 2) f ´(х) < 0 " х < х0 і f ´ (х) > 0 " х > х0, то х0 є точкою мінімума; 3) якщо при переході через точку х0 похідна не змінює знак, то х0 не є екстремальною.
16. Крива у = f(x) називається опуклою на (а; b), якщо всі її точки лежать нижче довільної дотичної на цьому інтервалі. Крива у = f(x) називається вгнутою на (а; b), якщо всі її точки лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі. Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої. Отже, в точці перегину дотична перетинає криву (рис. 4. 13). Рис. 4. 13 Теорема Нехай функція у = f (x) двічі диференційовна на (а; b), тоді якщо 1) f `` (х) > 0 " х Î (а; b), то крива вгнута на цьому інтервалі; 2) f `` (х) < 0 " х Î (а; b), то крива опукла на (а; b).
Інтервали опуклості і вгнутості відділяються один від одного точками, де похідна другого порядку дорівнює 0, або не існує (критичними точками 2 роду).
17. Теорема (достатня умова існування точки перегину) Нехай функція у = f (x) двічі диференційовна в околі точки х0, крім можливо самої точки х0, яка є критичною точкою 2 роду. Тоді якщо при переході через х0 похідна другого порядку змінює знак, то х0 є точкою перегину кривої у = f (x).
Пряма l називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до l прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність (рис. 4. 14).
Рис. 4. 14 19. Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними та похилими. Умова існування вертикальної асимптоти х = а : , або , або , тобто функція має розрив 2 роду. Рівняння похилої асимптоти знаходять у вигляді у = kx + b, де , а . Якщо k = 0, то похила асимптота буде горизонтальною. Якщо принаймні одна з границь, що визначають k і b, не існує або дорівнює нескінченості, то похилої асимптоти немає.
20. При проведенні повного дослідження функції та побудові її графіка користуються наступним алгоритмом: 1. знаходять область визначення функції; 2. визначають точки перетину графіка з осями координат; 3. досліджують на парність та періодичність; 4. визначають точки та характер розриву функції; 5. знаходять інтервали монотонності та екстремуми; 6. визначають інтервали опуклості-вгнутості та точки перегину; 7. знаходять рівняння асимптот; 8. за даними дослідження будують графік функції.
|
|||||||||||||||
|