Теорема (ознака мимобіжних прямих).Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину, але не перетинає першу пряму, то дані прямі мимобіжні.

Означення.Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Теорема.Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Теорема.Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Паралельність прямої і площини

Означення.Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Теорема (ознака паралельності прямої і площини).Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Паралельність площин

Означення.Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Теорема (ознака паралельності площин).Якщо дві прямі, які перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим другої площини, то такі площини паралельні.

Теорема.Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Теорема.Відрізки паралельних прямих, які відтинаються паралельними площинами, рівні.

Паралельне проектування і його властивості

Теорема.Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1) відрізки фігури зображаються відрізками;

2) паралельні відрізки – паралельними відрізками, або відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Кут між прямими. Перпендикулярність прямих

Теорема.Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні іншим прямим, що перетинаються, то кут між першими прямими дорівнює куту між другими.

Означення.Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

Означення.Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Теорема.Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

Перпендикулярність прямої і площини

Означення.Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.

Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини).Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

Наслідки.

1) Пряма, перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, перпендикулярна до площини, яка проходить через ці прямі.

2) Пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

3) Якщо пряма перпендикулярна до двох сторін трикутника, то вона перпендикулярна і до третьої його сторони (рис.1).

Рис.1

Теорема.Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Теорема.Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

Перпендикуляр і похила до площини

Означення.Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.

Теорема (про три перпендикуляри). Пряма, проведена на площині перпендикулярно до проекції похилої, перпендикулярна до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Теорема. Якщо з однієї точки, взятої поза площиною, проведені до цієї площини перпендикуляр і похилі, то:

1) дві похилі, які мають рівні проекції, рівні;

2) з двох похилих та більша, проекція якої більша;

3) перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.

Перпендикулярні площини

Означення.Кутом між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину. Якщо площини паралельні, то вважають, що кут між ними дорівнює 0°.

Означення. Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Теорема (ознака перпендикулярності площин). Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теорема. Пряма, проведена в одній з двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Ортогональне проектування

Означення.Якщо проектуючи прямі перпендикулярні до площини проекцій, таке проектування називають ортогональним.

Теорема. Площа проекції многокутника на площину дорівнює площі даного многокутника, помноженій на косинус кута між їх площинами.

Теорема (просторова теорема Піфагора). Квадрат довжини будь-якого відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на три взаємно перпендикулярні прямі.

ВІДСТАНІ І КУТИ

Означення.Відстанню між двома фігурами називають відстань між найближчими точками цих фігур (якщо такі точки існують). Якщо дві фігури мають спільні точки, то вважають, що відстань між ними дорівнює 0.

Означення.Відстанню від точки до прямої називають перпендикуляр, опущений з точки на пряму, коротший від будь-якого відрізка, що сполучає цю точку з даною прямою.

Означення. Відстань від точки до відрізка не завжди дорівнює відстані від точки до прямої, якій належить цей відрізок. Вона може дорівнювати відстані від даної точки до кінця відрізка.

Означення. Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину.

Означення.Відстанню між мимобіжними прямиминазивається довжина їхнього спільного перпендикуляра.

Означення.Відстань між паралельними площинами – довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки площини на паралельну їй площину.

Кут між прямою і площиною

Означення. Кутом між прямою і площиноюназивають кут між прямою і її проекцією на площину.

Теорема.Кут між похилою і площиною найменший з усіх кутів, які похила утворює з прямими, проведеними на площині через основу похилої.

Двогранні кути

Означення.Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує. Півплощини, які утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, – ребром двогранного кута.

Означення.Лінійним кутом двогранного кута називається кут, утворений перетином даного двогранного кута площиною, перпендикулярною до його ребра.

ГЕОМЕТРИЧНЕ ТІЛО

Означення.Геометричне тіло являє собою частину простору, яку займає фізичне тіло.

Означення.Геометричною фігурою називається будь-яка множина точок площини або простору.

Означення.Точка називається граничною для фігури в просторі, якщо в будь-якій кулі з центром у цій точці знайдеться як точка даної фігури, так і точка, що не належить цій фігурі.

Означення.Множина граничних точок фігури називається її границею.

Означення.Точка фігури, яка не лежить на її границі, тобто не є її граничною точкою, називається внутрішньою точкою фігури.

Означення.Множина внутрішніх точок фігури називається її внутрішністю.

Означення. Про точки простору, які не лежать ні на границі, ні всередині фігури, говорять, що вони лежать зовні фігури або є її зовнішніми фігурами.

Означення.Фігура, що містить всі свої граничні точки (тобто свою границю), називається замкненою.

Означення.Тілом називається фігура в просторі, яка має дві властивості:

1) у неї є внутрішні точки, і будь-які дві з них можна з’єднати ламаною (або відрізком), що цілком проходить всередині фігури, тобто складається з внутрішніх точок;

2) фігура містить свою границю, та її границя співпадає з границею її внутрішності.

Означення.Границя тіла називається його поверхнею.

Означення.Фігура в просторі називається обмеженою, якщо її можна заключити в яку-небудь сферу.

Означення.Фігура називається опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками містить усі точки відрізка, що з’єднує їх.

Означення.Поверхня обмеженого опуклого тіла називається замкненою опуклою поверхнею.

Означення.Фігура називається простою, якщо вона обмежена і кожна пряма має скінчене число окремих точок і відрізків спільних з границею цієї фігури або не має таких точок і відрізків.

Поняття площі та об’єму

Означення.Дві фігури називають рівними, якщо їх можна сумістити за допомогою руху.

Означення.Площею простої плоскої фігури називається невід’ємна величина визначена для кожної простої плоскої фігури так, що:

1) рівні фігури мають рівні площі;

2) якщо плоска фігура складена зі скінченого числа простих плоских фігур, то її площа дорівнює сумі площ складових фігур;

3) одиницею вимірювання площ є площа квадрату, довжина ребра якого прийнята за одиницю вимірювання довжин.

Означення.Площею поверхні многогранника називається сума площ усіх його граней.

Означення.Об’ємом простої фігури називається невід’ємна величина, визначена для кожної простої фігури в просторі так, що:

1) рівні прості фігури мають рівні об’єми;

2) якщо проста фігура складена зі скінченого числа простих фігур, то її об’єм дорівнює сумі їх об’ємів;

3) одиницею вимірювання об’ємів є об’єм куба, довжина ребра якого прийнята за одиницю вимірювання довжин.

Означення.Два тіла, що мають рівні об’єми, називають рівновеликими.

МНОГОГРАННИКИ

Поняття многогранника

Означення.Многогранник – це обмежене тіло, поверхня якого складається зі скінченого числа плоских многокутників.

Означення.Многокутники, із яких складається поверхня многогранника, називаються його гранями. Сторони граней називаються ребрами, а вершини граней – вершинами многогранниками.

Означення.Відрізок, який з’єднує дві вершини, що не належать одній грані, називається діагоналлю многогранника.

Означення.Діагональною площиною многогранника називається площина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в одній грані.

Означення.Опуклим многогранником називається многогранник, який розташований з одного боку від площини кожної з граней.

Означення.Якщо поверхню многогранника розрізати по ребрах і розгорнути її так, щоб усі многокутники, які належать поверхні, лежали в одній площині, то отримаємо фігуру, яка називається розгорткою.

Теорема Ейлера.Якщо Г- число граней опуклого многогранника, Р – число ребер, В – число його вершин, то Г + В – Р = 2.

Правильні многогранники

Означення.Многогранник називається правильним, якщо всі його грані є рівними між собою правильними многокутниками і в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.

Введемо позначення: а – ребро многогранника, Г – кількість граней, - кількість ребер (сторін) у кожної грані, - кількість ребер у кожної вершини, В – кількість вершин, Р – загальна кількість ребер, S – площа поверхні, V – об’єм, R – радіус описаної кулі, r – радіус вписаної кулі.

Назва многогранника	Властивості многогранника та співвідношення між його елементами
Тетраедр (правильний чотиригранник)	Г = 4, , , В = 4, Р = 6;
Гексаедр (правильний шестигранник – куб)	Г = 6, , , В = 8, Р = 12;
Октаедр (правильний восьмигранник)	Г = 8, , , В = 6, Р = 12;
Додекаедр (правильний дванадцятигранник)	Г = 12, , , В = 20, Р = 30;
Ікосаедр (правильний двадцятигранник)	Г = 20, , , В = 12, Р = 30;

ПРИЗМА ТА ПАРАЛЕЛЕПІПЕД

123 4 5