|
РядМаклорена для функцій sinx та cosx.
- рівняння Тейлора. Якщо х=0, то це є рівняння Маклорена.. 14.2.Реалізація методів наближень (інтерполяція та апроксимація) в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel. Апроксимацією (наближенням) функції називається находжня такої функції (апроксимуючої функції), яка була б близька заданої. Критерії близькості функцій і можуть бути різними.
15.2.Диференціальні рівняння як моделі реальних явищ, процесів. Побудова диференціального рівняння для радіоактивного розпаду. Розпад ядра завжди вважається подією випадковою, яка може відбутись в довільний момент часу. Це означає, що у відношенні до розпаду всі моменти часу є фізично еквівалентними. Тому радіоактивні ядра не мають природного віку, хоча і мають середній час життя. Нехай в момент часу t = 0 є N0 радіоактивних ядер. За час dt відбувається dN актів розпаду, пропорційного числу ядер N(t) в момент часу t, тобто dN = - N(t)dt, (3.2.1.1) де - стала радіоактивного розпаду в с-1 . Диференціальне рівняння (3.2.1.1) має вигляд N(t) = N0 e-t, (3.2.1.2) де N0 – початкове число ядер на момент часу t=0; N(t) – число ядер, які ще не розпались на момент часу t. Рівняння (3.2.1.2) дістало назву закону радіоактивного розпаду. Закон радіоактивного розпаду дає можливість визначити період піврозпаду Т і середній час життя радіоактивних ядер. За час півперіоду t = T число радіоактивних ядер зменшується вдвоє порівняно з початковим числом N0,, тобто . Звідки одержуємо (3.2.1.3) В інтервалі часу t і t + dt розпадається Ndt ядер , кожне із яких має час життя t . Загальний час життя цих ядер дорівнює tNdt, а сумарний час життя всіх цих N0 ядер дорівнює інтегралу від добутку tNdt в межах від нуля до безмежності. Середній час життя радіоактивних ядер дорівнює відношенню інтеграла до N0: .Після інтегрування одержуємо Формула (3.2.1.4) показує, що чим більша стала розпаду , тим швидше розпадаються радіоактивні ядра. Порівнюючи (3.2.1.3) і (3.2.1.4) , бачимо, що Т і мають один і той же порядок, причому
Основні задачі числових методів алгебри. Методы решения Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений. Прямые методы: Метод Гауса Пусть исходная система выглядит следующим образом Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов. Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов): Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно) Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем) с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде (i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство: В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы. Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем. Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем): Тогда её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно: Умножим это матричное уравнение слева на A - 1 — матрицу, обратную к матрице A: Так как A − 1A = E, получаем X = A - 1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма. Итерационные методы Метод Ньютона (метод касательных): Одномерный случай. Для того, чтобы решить уравнение пользуясь методом простой итерации, необходимо привести его к виду где — сжимающее отображение. Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации x * выполнялось удем искать решение данного уравнения в виде: Воспользуемся тем, что и получим окончательную формулу для С учётом этого сжимающая функция примет вид: Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления: Метод релаксации Материал из Википедии — свободной энциклопедии Метод релаксации - приближённый метод решения систем линейных уравнений. Система линейных уравнений приводится к виду где , , Находятся невязки Rj: Выбирается начальное приближение X(0) = 0. На каждом шаге необходимо обратить в ноль максимальную невязку: Условие остановки: Ответ находится по формуле:
|
|
|