НАХОЖДЕНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА В ДАННОМ БАЗИСЕ

ЗАДАЧА № 8

В параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ К – середина ребра АА₁, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = 2/3 ВС, О = А₁С₁ В₁Д₁. Найти координаты вектора ДО в базисе (ВК, ВА, ВМ) .

РЕШЕНИЕ

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор ДО через векторы ВК, ВА, ВМ,поэтому будем действовать так же, как при решении задачи № 3.

1) ДО = ДД₁ + Д₁О = АА₁ + ½ Д₁В₁ = 2 АК + ½ ДВ. Т.е.

ДО =2 АК + ½ ДВ. (1).

2) Выразим вектор АК через базисные векторы.

АК = АВ + ВК = -ВА + ВК (2)

3) Выразим вектор ДВ через базисные векторы.

ДВ = ДА + АВ = СВ + АВ = -3/2 ВМ – ВА(3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

ДО = 2(-ВА + ВК ) + ½ (-3/2 ВМ – ВА) = 2 ВК – 5/2 ВА – 3/4 ВМ

Следовательно, первая координата вектора ДО равна 2, вторая координата равна -5/2. третья координата равна -3/4, т.е. ДО(2, -5/2, -3/4 ).

ОТВЕТ. ДО (2, -5/2, -3/4)

33. АВСД – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСД и АДС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов АМ, NР, КР, NМ в базисе (АВ, АС, АД) .

34. АВСД – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов АД и СА в базисе (ДВ, Д N, ДК) .

35. В тетраэдре АВСД М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АДС. Найти координаты векторов ДС и ВN в базисе (АВ, АД, АМ).

36. В тетраэдре АВСД N - середина ВС, а М – точка пересечения медиан грани ВСД. Найти координаты векторов С N и МК в базисе ( АМ, АВ, АД).

37.АВСДА₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. А₁С₁ В1Д1 = М, К – середина ДД1, Р ВС и ВР = 2/3 ВС. Найти координаты векторов ВК, МС, А₁Р в базисе (АВ, АД, АД₁)

38. АВСД А₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. АС ВД = М . Найти координаты векторов В1СиАС1,в базисе (Д₁М, Д₁Д, Д₁А).

39. АВСД А₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. А₁С₁ В1Д₁ = М.Найти координаты векторов ДС, Д₁В, С₁А в базисе (МА, МВ, МС) .

40. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д. К SА и SК = 1/3 SА , N – середина SС, АС ВД = М. Найти координаты векторов СР и А Nв базисе (SК, SД, SМ).

41. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д. АС ВД = М, О – середина SМ, N – точка пересечения медиан грани ВСS. Найти координаты вектора Д N в базисе (АS, АО, АВ)

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведениемвекторов а и b называется число, равное произведения длин этих векторов и косинуса угла между ними

а b = │а││b│cos (аb).

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами. Для любых векторов а,b, c и любого числа λ

1) аb = b a, 2) (a + b) c = a c + b c, 3) (λ a) b = a (λ b) = λ (a b).

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j, k } а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), то имеют место формулы

___________

a b = а₁ b₁ + а₂ b₂ + а₃ b₃, │а│= √а₁² + а₂² + а₃²

______а₁ b₁ + а₂ b₂ + а₃ b₃____

cos (а,b) = √а₁² + а₂² + а₃² √b₁² + b₂² + b₃²

42. АВСД – ромб с углом А равным 60° и стороной АВ равной 4. Найти скалярное произведение ДА ДВ.

43. М – точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС со стороной равной 2. Найти скалярное произведение МА МВ.

44. АВСД – квадрат стороной равной 5. Найти скалярное произведение АВ СА.

ЗАДАЧА № 9

Даны неколлинеарные векторы аив.Дать геометрическое истолкование формулы (а + в)² + (а – в)² = 2(а²+ в² )

РЕШЕНИЕ

От произвольной точки А отложим векторы АВ = а, АД = в и построим параллелограмм АВСД. Тогда АВ = ДС = а, АД = ВС = в , АС = а + в, ДВ = а – в. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то (а + в)² = |а + в|² = | АС |² =| АС |², (а – в)² = |а - в|² = | ДВ |² = | ДВ |² ,

а² =|а|² = | АВ |² =| АС |² = | АВ |² =| АС |², в² =|в|² = | АД |² =| ВС |² =

| АД |² =| ВС |².

Следовательно, данное равенство(а + в)² + (а – в)² = 2(а²+ в² )

можно переписать в виде | АС |² + | ДВ |² = | АВ |² + | АС |² +

+| АД |² +| ВС |² .Таким образом, данное в условии равенство имеет следующее геометрическое истолкование:

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. ■

45. Даны неколлинеарные векторы аив . Дать геометрическое истолкование формул 1) (а + в)² - (а – в)² = 4а в, 2) (а + в) (а – в) = а²- в² .

46. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов 1) |а| а = а², 2) (а + в)² = а²+ 2ав + в² , 3) (а в)² = а²в² ?

ЗАДАЧА № 10

Дан базис {е₁,е₂,е₃}. Зная координаты векторов а(а₁,а₂,а₃), в(в₁,в₂,в₃), длины базисных векторов и углы между базисными векторами, выразить скалярное произведение векторов а и вчерез их координаты в данном базисе.

РЕШЕНИЕ

Так как а(а₁,а₂,а₃), в(в₁,в₂,в₃), то по определению координат вектора, получим: а = а₁ е₁ + а₂ е₂ + а₃ е₃,в = в₁ е₁ + в₂ е₂ + в₃ е₃. Тогда, подставив в скалярное произведение а ввместо векторов а и в их разложение по базисным вектора и используя свойства скалярного произведения, получим

а в = (а₁ е₁ + а₂ е₂ + а₃ е₃)(в₁ е₁ + в₂ е₂ + в₃ е₃) = а₁ в₁ (е₁е₁) + а₂ в₂ (е₂е₂) +

а₃в₃( е₃е₃) + (а₁в₂ + а₂в₁)(е₁е₂) + (а₁в₃ + а₃ в₁)(е₁е₃) + (а₂в₃ + а₃в₂)(е₂е₃) = а₁в₁│е₁│² + а₂в₂│е₂│² + а₃в₃│е₃│² + (а₁в₂ + а₂в₁)│е₁││е₂│Соs (е₁,е₂) + (а₁в₃ + а₃в₁)│е₁││е₃│Соs (е₁,е₃) +(а₂в₃ + а₃в₂)│е₂││е₃│Соs (е₂,е₃).

ОТВЕТ.

а в= а₁в₁│е₁│² + а₂в₂│е₂│² + а₃в₃│е₃│² + (а₁в₂ + а₂в₁)│е₁││е₂│Соs (е₁,е₂) + (а₁в₃ + а₃в₁)│е₁││е₃│Соs (е₁,е₃) +(а₂в₃ + а₃в₂)│е₂││е₃│Соs (е₂,е₃).

Таким образом, чтобы найти скалярное произведение векторов, зная их координаты в произвольном базисе, надо знать еще длины базисных векторов и углы между ними.