Для даного рівняння завдання Коші про існування і єдиність рішення наступна : Якщо функція f(x) безперервна в інтервалі (а;b), функція f(x) і її похідна по у безперервна в інтервалі (з;d), то для будь-яких початкових даних хе (а;b), yе (з;d), у=ц(х) рівняння (1), що задовольняє початковій умові ц(x)= ц

Рівняння вигляду називається рівняння з роздільними змінними.

При рішенні рівнянь із змінними, що розділяються, виконати наступне:

1. Розділити змінні.

2. Інтегрований почленно отримане рівняння і знаходимо його загальне рішення.

3. Знайти приватне рішення, що задовольняє початковим умовам (якщо це не потрібно)

Диф рівняння типу M(x)dx + N(g)dy=0 або dy(f(y)= f(x) dx -

називають рівнянням з відокремленими змінними.

Загальне рішення має вигляд:

Приклад 1. Знайти загальне рішення рівняння xdx+ydy=0,интегрируем і отримуємо т.к ліва частина ненегативна, то і права теж ненегативна. Хай 2С= С, тоді отримаємо x+y=с .

Це рівняння сімейства концентричних кіл з центром на початку координат і радіусом С..

Рівняння виду M(x) N(y) dx+M(x) N(y) dy=0 називається рівнянням із змінними, що розділяються. Воно може бути приведене до рівняння з розділеними змінними шляхом ділення двох його частин на вираз

N(x) M(y):

або

Приклад 2. Знайти загальне рішення рівняння

; інтегруємо

In(y)=-In(x)+In(c) або In(y)= In

Загальне рішення y=c/x

Приклад 3. Знайти загальне рішення (1+x)ydx+(1-у)xdy= 0

; ;

In (x) +x + In (y)-y=C або In (xy) +x-y = C - загальне рішення

Приклад 4.Знайти загальне рішення .

Розділимо змінні, маємо , інтегруємо рівняння: .

Довільна стала С не може приймати будь – які числові значення , тому для подальшої зручності при перетвореннях замість С напишемо . Маємо - загальний розв’язок даного рівняння.

Приклад 5.Знайти часний розв’язок рівняння , задовольняючи початковим умовам S= 4, при t= π ∕3.

Це загальний розв’язок.

Для знаходження значення С , підставимо значення у вираз для загального розв’язку: , або .

Часний розв’язок має вигляд .

Приклад 6.Знайти загальне рішення

Приклад 7.Знайти загальне рішення

Приклад 8.Знайти загальне рішення

Приклад 9.Знайти загальне рішення.

Приклад 10.Знайти загальне рішення

Приклад 11.

Приклад 12.Знайти часний розв’язок рівняння

Приклад 13.

Приклад 14.

Лекція №2 Лінійні однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні рівняння першого порядку, однорідні диференціальні рівняння.

Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних рівнянь, використання поняття інтегралів.

План вивчення теми.

1. Загальний вид лінійного диференціального рівняння.

2. Розв’язування прикладів.

Домашне завдання: індивідуальні завдання.

Загальний вид такого рівняння , (1)

де и - завданні функції от . Це рівняння лінійне відносно функції y(x) та її похідної.

Якщо , то лінійне диференціальне рівняння (1) називається однорідним. Воно має вид та розв’язується методом відокремлювання змінних:

, ,

, , ,

де - будь-яка первісна функція , а - деяка стала.

Якщо , то рівняння(1) має вид та розв’язується методом відокремлювання змінних:

, , ,

де - будь-яка первісна функція , а - деяка стала.

Приклад №1Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна , тоді та рівняння перетворюється до виду

, або .

Розв’язуємо рівняння та .

Розв’язуємо рівняння : ; маємо

, , , , .

, , , .

Приклад №2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв’язання: Це лінійне рівняння: . Заміна , тоді , . Рівняння перетворюється до виду: , або . (**)

Розділимо в цьому рівнянні змінні та про інтегруємо, маємо

Підставляємо тепер вираз для U в рівняння (**), тоді отримуємо рівняння , або . Знаходимо .

Получаємо загальний розв’язок даного рівняння:

Пример№3.Знайти часний розв’язок диференціального рівняння

, при .

Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна ; тоді та рівняння перетворюється до виду

, . (*)

Положив ; тоді

, . , або .

При рівняння(*) має вид , ,

, .

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

Підставив в це рівняння начальні умови , получимо , .

Часний розв’язок диференціального рівняння має вид .

Пример№4.Знайти часний розв’язок диференціального рівняння , якщо у=1 при х=0.

Розв’язання. Розділимо всі члени даного рівняння на , маємо , яке є лінійним . Заміна , тоді , . Підставимо все в рівняння, та маємо , або (***)

Отримуємо рівняння , . Підставляємо вираз в рівняння (***), та маємо , або , тобто .

Загальний розв’язок записуємо так: .

Маємо у=1, х=0, тому .

Часний розв’язок має вигляд: .

Приклади.

; ;

Підставляємо вираз в рівняння

Загальний розв’язок :

123