Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.

4. Розглянемо правила порівняння невід’ємних раціональних чисел, причому намагатимемося ввести їх таким чином, щоб вони не суперечили правилам порівняння цілих чисел. Розглянемо спочатку два невід’ємних раціональних числа а= з однаковими знаменниками. Будемо вважати, що . Як же бути у випадку дробів з різними знаменниками? Для відповіді на поставлене запитання приймемо наступні означення.

Означення: з двох невід’ємних раціональних чисел з однаковими знаменника меншим (більшим) буде те, у якого чисельник менший (більший).

Означення: з двох дробів з різними знаменниками меншим (більшим) буде той, для якого справджується нерівність pk<qn (pk>qn).

Перше означення символічно можна записати так: ( ), а друге – ( )Û(pk>qn).

З’ясуємо, які властивості має це відношення. Оскільки нерівності а<а і а>а не можуть бути одночасно істинними, то це відношення має властивість антирефлексивності. Для виявлення інших властивостей доведемо наступні теореми.

Теорема: для будь-яких невід’ємних раціональних чисел і , якщо < , то > .

Символічно сформульована теорема запишеться так: (" єQ₀)(" єQ₀)[( < )Þ( > )].

Доведення.

За означенням, якщо < , то mq<pn. Тоді pn>mq, тобто > . Що й треба було довести.

Теорема: для будь-яких невід’ємних раціональних чисел а, b, с, якщо (а<bÙb<c),то a<c.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,b,сєQ₀)[(а<bÙb<c)→(a<c)].

Доведення.

Розглянемо невід’ємні раціональні числа такі, що . Тоді маємо: →pk<nq<qm<kr→pm<nr→ < →a<c. Що й треба було довести.

Доведені теореми виражають відповідно властивості асиметричності та транзитивності. Таким чином, можна стверджувати, що відношення «менше» («більше») на множині невід’ємних раціональних чисел має властивості антирефлексивності, асиметричності та транзитивності, а тому воно є відношенням строгого порядку.

Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.

5. Однією з умов розширення множини цілих чисел була вимога про необхідність збереження сутності та правил виконання операцій над цілими числами в новій числовій множині. Саме тому, будемо визначати операції над невід’ємними раціональними числами так, щоб це не суперечило правилам виконання цих операцій у попередній числовій множині. Для цього, як ми вже зазначали, кожне ціле число будемо розглядати як дріб із знаменником 1. Оскільки 1+2=3, тобто , то + = = . Саме тому доцільно прийняти таке означення.

Означення: сумою двох дробових чисел з однаковими знаменниками є дробове число, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник – дорівнює їх спільному знаменнику.

Наприклад, . Прийняте означення можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків, наприклад: . Як же бути в тому випадку, коли дроби мають різні знаменники? – звести їх до спільного знаменника і додати за попереднім означенням. Можна прийняти і наступне означення.

Означення: сумою двох невід’ємних раціональних чисел називається третє невід’ємне раціональне число , тобто = .

У жодному з означень нічого не говориться про існування та єдиність суми невід’ємних раціональних чисел. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема: сума невід’ємних раціональних чисел існує і єдина.

Доведення.

Розглянемо два дроби такі, що m і р єZ₀, а n і qєN. Знайдемо їх суму. = - згідно означення. Тоді mqÎZ₀, pnÎZ₀ і nqÎZ₀, а тому одержаний нами дріб - існує і єдиний. Теорему доведено.

Для того, щоб одержати відповідь на запитання: «чи підкоряється операція додавання невід’ємних раціональних чисел комутативному та асоціативному законам?», необхідно довести відповідні теореми.

Теорема: операція додавання в множині невід’ємних раціональних чисел підкоряється комутативному та асоціативному законам.

Символічно вони запишуться так: (" єQ₀)( ); (" , єQ₀)(( )+ = ( )).

Доведення.

Розглянемо три дробових числа, але для спрощення викладок виберемо їх із спільними знаменниками, і доведемо, що ( ). ( =(Чому?!)= (Чому?!)= (Чому?!)= . Отже, ( ) сполучний закон додавання невід’ємних раціональних чисел доведено.

Означення: сума натурального числа і дробового числа, записаних поряд без знака додавання називають мішаним числом.

Наприклад, 8+ =8 . Щоб представити мішане число дробовим, його необхідно перетворити у неправильний дріб, а саме: 8 = = . Щоб перетворити неправильний дріб у мішане число, потрібно поділити чисельник на знаменник і частку записати перед дробом, а остачу записати у чисельнику, залишивши той самий знаменник, наприклад: . Отже, множина невід’ємних раціональних чисел замкнена відносно операції додавання.

Операцію віднімання у множині невід’ємних раціональних чисел також означатимемо так, щоб це не суперечило правилам віднімання цілих чисел.

Означення: відняти від дробового числа дробове число - це означає знайти таке дробове число - , яке у сумі з дробовим числом дає нам дробове число .

Таке означення не суперечить тому, яке ми прийняли для невід’ємних цілих чисел. Для того, щоб знайти різницю двох дробових чисел, приймемо наступне означення.

Означення: різницею двох дробових чисел з рівними знаменниками називається таке третє дробове число, чисельник якого дорівнює різниці чисельників, а знаменник – спільному знаменнику.

Символічно прийняте означення запишеться так: - = . Щоб знайти різницю дробових чисел з різними знаменниками, слід звести їх до спільного знаменника та використати попереднє означення. Символічно це запишеться так: - = . У прийнятих означеннях нічого не говориться про існування та єдиність різниці. Саме тому слід довести наступні теореми.

Теорема: різниця двох невід’ємних раціональних чисел і існує тоді і тільки тоді, коли ³ .

Доведення.

Для спрощення викладок розглядатимемо дроби з однаковими знаменниками. Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення «тоді і тільки тоді», то доведення складатиметься з двох частин: 1) якщо різниця - існує, то ³ ; 2) якщо ³ , то різниця - існує.

Доведемо першу частину. Оскільки різниця - існує, то маємо - = , де m³p, а тому ³ (Чому?!). Першу частину доведено. Для доведення другої частини використаємо те, що ³ . Оскільки ³ , то різниця - - додатна, а тоді - = - також додатна. Це означає, що m-p³0. Отже, число m-p належить множині Z₀. Таким чином, різниця - існує. Теорему доведено повністю.

Теорема: якщо різниця невід’ємних раціональних чисел існує, то вона єдина.

Доведення цієї теореми пропонуємо провести методом від супротивного самостійно.