|
II. Линии в евклидовом пространстве.
Занятие 1. 1.1. Кривая класса на множестве R. Проекции на координатные плоскости определяются уравнениями: , . 1.2. . 1.4. а) ; б) . 1.5. а) М1(0;0), М2(2;2), . 1.6. , . Частные производные вычислены в точке М0. 1.7. Подэра параболы – касательная к параболе в её вершине; подэра эллипса – окружность, описанная около эллипса.; подэра гиперболы – окружность, проходящая через вершины гиперболы и имеющая центром центр этой гиперболы. 1.8. R=0,5. 1.9. . 1.10. а) ; б) ; в) ; г) ; д) - уравнение касательной в декартовых координатах, - уравнение касательной в полярных координатах. 1.12. Нет. 1.13. - неявные уравнения; - параметрические уравнения, где u- долгота точки на сфере.
Занятие 2. 2.1. . 2.2. а) . б) . 2.3. . 2.4. . 2.5. s=10. 2.6. . 2.8. a) ; б) ; в) . 2.9. . 2.10. . 2.11. s=8a. 2.12. a) б) . 2.14. . Занятие 3. 3.1 . 3.2. ; касательная: ; бинормаль: ; главная нормаль: ; нормальная плоскость: ; соприкасающаяся плоскость: ; спрямляющая плоскость: . 3.4. . 3.5. . 3.6. а) ; б) . 3.7. 3.8. . 3.9. Уравнения касательной: , уравнения главной нормали: , уравнения бинормали: Уравнение соприкасающейся плоскости: уравнение нормальной плоскости: уравнение спрямляющей плоскости:
3.13. а) , б) . 3.14. . 3.15. .
Занятие 5. 5.1. . 5.2. Координатная сеть правильная. Линии u = const – параллели тора, линии v = const – меридианы тора. 5.3. Касательная плоскость: , нормаль: . Вдоль линии u=u0 нормали составляют постоянный угол с осью Оz. Вдоль линии v = v0 нормали параллельны одной плоскости. 5.4. - касательная плоскость, - нормаль. б) - касательная плоскость, - нормаль. 5.6. 1) x = y = z; 2) –x = y = z; 3) x = -y = z; 4) x = y = -z. 5.7. Координатными линиями являются прямолинейные образующие. Координатная сеть правильная. 5.8. a) 6x + 3y – 2z – 7 = 0; ; б) 3x – 2y +3z – 4 = 0; . 5.9. (x + 1)2 = 2y2 + z2. 5.10. , (u,v) R2. Вектор нормали в произвольной точке: . 5.11. а) Два семейства параллельных прямых. б) Лучи, выходящие из начала координат и окружности с центром в начале координат. в) Линии v = const – семейство софокусных эллипсов и отрезок оси Ох; линии u = const – семейство софокусных гипербол и промежутки и [1; оси Ох.
Занятие 6. 6.1. a) ds2 = dx2 + dy2; б) ds2 = r2(du2 + cos2v dv2); в) ds2 = . 6.2. а), б), г). 6.3. . 6.4. 6.5. . 6.6. Отображение устанавливается уравнениями: Докажите, что указанное отображение является изометрией. Для этого достаточно показать, что в соответствующих при отображении точках поверхностей первые квадратичные формы совпадают. Замечание: . 6.8. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 6.9. а) ; б) . в) . 6.10. а) ; б) . 6.11. . 6.12. . 6.13. .
Занятие 7. 7.2. ; - главные направления; - главные кривизны. 7.3. H = 0; . Полная кривизна постоянна на винтовых линиях. 7.4. а) ; ; б) ; К>0, если выпуклость меридиана направлена от оси вращения, К< 0, если выпуклость меридиана обращена в сторону оси вращения, К = 0, если меридиан имеет точку перегиба или если он ортогонален оси вращения (при r ¹ 0); в) . 7.5. а) Точка x = 1, y = z = 0 является особой. Она разбивает поверхность на две части: для x >1 точки поверхности эллиптические, для x < 1 - гиперболические. б) Все точки поверхности гиперболические. 7.8. а) б) ; в) ; г) . 7.9. а) ; б) ; в) ; г) . 7.10. ; . 7.12. . 7.14. а) на эллипсоиде, на двуполостном гиперболоиде, на эллиптическом параболоиде; б) на однополостном гиперболоиде, на гиперболическом параболоиде; в) на конической поверхности второго порядка, на цилиндрической поверхности второго порядка, на распадающейся поверхности второго порядка. 7.15. Вершина параболоида.
Список литературы. Топология 1. Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П. С. Александров.- Москва: Наука, 1977.- 370 с. 2. Элементы топологии // Атанасян, Л. С. Геометрия: в 2 ч. Ч. II / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. - Москва: Просвещение, 1975. - С. 139 - 158. 3. Бакельман, И. Я. Элементы гомотопической топологии и их приложения/ И. Я Бакельман, А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор. – Ленинград: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1972. -157 с. 4. Болтянский, В. Г. Наглядная топология / В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович — Москва: Наука, 1983.—160 с. (Библиотечка «Квант», Вып. 21). 5. Вернер, А. Л. Элементы топологии: учебное пособие / А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор.- Ленинград: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1980.- 67 с. 6. Элементы топологии // Вернер, А. Л. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч. Ч. 2 / А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор, С. А. Франгулов. - Санкт-Петербург: Специальная Литература, 1997. - С. 149-197. 7. Воловик, Г. Е. Физика и топология / Г. Е. Воловик, В. П. Минеев.- Москва: Знание, 1980.- 63 с. 8. Келли, Дж. Общая топология / Дж. Келли; пер. с англ. А. В. Архангельского. - Москва: Наука, 1968. – 384 с. 9. Комацу, Мацуо. Многообразие геометрии: пер. с японского / Мацуо Комацу. - Москва: Знание, 1981.- 208 с. 10. Подран, В. Е. Элементы топологии: учеб. пособие / В. Е. Подран.- Санкт-Петербург: Лань, 2008. – 192 с. 11. Прасолов, В. В. Наглядная топология / В. В. Прасолов. – 2-е изд., доп. – Москва: МЦНМО, 2006. – 112 с.: ил. 12. Примаков, Д. А. Геометрия и топология: учеб. пособие / Д. А. Примаков, Р. А. Хамидуллин. - Москва: Маркет ДС, 2010. – 266 с. 13. Рохлин, В. А. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс.- Москва: Наука, 1977. - 488 с. Сборники задач. 1. Архангельский, А. В. Основы общей топологии в задачах и упражнениях: учеб. пособие / А. В. Архангельский, В. И. Пономарев. - Москва, Наука, 1974. - 424 с.: ил. 2. Сборник задач по геометрии: в 2 ч. Ч. II: учеб. пособие/ под ред. Л. С. Атанасяна. - Москва: Просвещение, 1975. – 176 с. 3. Сборник задач по геометрии: учеб. пособие / под ред. В. Т. Базылева. - Москва: Просвещение, 1980. – 238 с. 4. Элементы топологии в задачах и упражнениях: методические рекомендации / сост. В. Е. Подран; Новгородский государственный педагогический институт. – Новгород: НГПИ, 1990 . – 59 с.: рис. Дифференциальная геометрия. 1. Линии и поверхности в евклидовом пространстве // Атанасян, Л. С. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч. Ч. II / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. - Москва: Просвещение, 1975.- С. 178-240. 2. Бляшке, В. Введение в дифференциальную геометрию: учебное пособие / В. Бляшке. – 2-е изд., исправл. - Ижевск: Удмуртский университет, 2000. - 212 с. 3. Вернер, А. Л. Элементы топологии и дифференциальная геометрия: учеб. пособие/ А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор. - Москва: Наука, 1985. – 112 с. 4. Элементы дифференциальной геометрии // Вернер, А. Л. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч. Ч. 2 / А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор, С. А. Франгулов. - Санкт-Петербург: Специальная Литература, 1997.- С. 198-298. 5. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия: учеб. пособие / Н. В. Ефимов. - Москва: Наука, 2004. - 584 с. 6. Мищенко, А. С. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии / А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 304 с. 7. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия: учеб. пособие / А. В. Погорелов. - 6-е изд., стереотип. – Москва: Наука, 1974. - 176 с. 8. Позняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. - Москва: Изд-во МГУ, 1990.- 384 с. 9. Розендорн, Э. Р. Теория поверхностей: учеб. пособие / Э. Р. Розендорн. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 304 с.
Сборники задач. 1. Кривые в евклидовом пространстве. Поверхности в евклидовом пространстве // Сборник задач по геометрии: учеб. пособие: в 2 ч. Ч. II / под ред. Л. С. Атанасяна. - Москва: Просвещение, 1975.- С. 102-127. 2. Линии и поверхности в евклидовом пространстве // Сборник задач по геометрии: учеб. пособие / под ред. В. Т. Базылева. - Москва: Просвещение, 1980.- С. 159-169. 3. Мищенко, А. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: учеб. пособие для вузов / А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьев, А. Т. Фоменко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва: Издательство физико-математической литературы, 2004. – 412 с. 4. Феденко, А. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии: учеб. пособие / А. С. Феденко. – 2-е изд., перераб. – Москва: Наука, 1979. - 273 с.
|
|
|