|
Лінійна і квадратична інтерполяції
ЗМІСТ Лабораторна РОБОТА №1. 4 Тема: Інтерполяція та екстраполювання функцій. 4 Теоретичні відомості 4 Лінійна і квадратична інтерполяції 4 Поліном Лагранжа. 5 Завдання для самостійної роботи. 6 Тема: Апроксимація функцій. 7 Теоретичні відомості 7 Емпіричні формули. 7 Визначення параметрів емпіричної залежності 8 Метод найменших квадратів. 8 Завдання для самостійної роботи. 12 Лабораторна рОбота №2. 14 Тема: Чисельне інтегрування. 14 Теоретичні відомості 14 Методи прямокутників і трапецій. 14 Метод Сімпсона. 17 Завдання для самостійної роботи. 19 Лабораторна рОбота №3. 22 Тема: Системи лінійних рівнянь. 22 Теоретичні відомості 22 Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. 22 Метод Гаусса. 22 Метод Гаусса-Зейделя. 25 Завдання для самостійної роботи. 28 Лабораторна рОбота №4. 33 Тема: Нелінійні рівняння. 33 Теоретичні відомості 33 Метод хорд. 34 Метод Ньютона (метод дотичних) 37 Комбінований метод хорд і дотичних. 39 Метод ітерацій або метод послідовних наближень. 40 Завдання для самостійної роботи. 42 Лабораторна рОбота №5. 44 Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь. 44 Теоретичні відомості 44 Метод Ейлера. 45 Модифікації методу Ейлера. 47 Метод Рунге-Кутта. 50 Завдання для самостійної роботи. 51 СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.. 54
Тема:Інтерполяція та екстраполювання функцій Теоретичні відомості Лінійна і квадратична інтерполяції Простим типом локальної інтерполяції, яку часто використовують, є лінійна (або кусочно-лінійна) інтерполяція. Вона полягає у тому, що задані точки з'єднуються прямолінійними відрізками і функція наближається ламаною з вершинами в даних точках. Рівняння кожного відрізку ламаної в загальному випадку різне. Оскільки є інтервалів , то для кожного з них у якості рівняння інтерполяційного багаточлена використовується рівняння прямої, яка проходить через дві точки. Зокрема, для i-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки і наступному вигляді:
Звідси маємо:
Отже, при використанні лінійної інтерполяції спочатку необхідно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу , а потім підставити його у формулу (1) і знайти наближене значення функції в цій точці. Розглянемо тепер випадок квадратичної інтерполяції, коли інтерполяційна функція на відрізку приймається як поліном другого ступеню. Таку інтерполяцію називають також параболічною:
Рівняння поліному другого ступеню (2) містить три невідомі коефіцієнти , для визначення яких необхідно мати три рівняння. Ними служать умови проходження параболи (2) через три точки , , . Ці умови можна записати у наступному виді:
Поліном Лагранжа Перейдемо до випадку глобальної інтерполяції, тобто до побудови інтерполяційного багаточлена єдиного для всього відрізку . Шукатимемо інтерполяційний багаточлен у вигляді лінійної комбінації багаточленів ступеня :
При цьому необхідно, щоб кожен багаточлен дорівнював нулю у всіх вузлах інтерполяції, за винятком одного ( -го), де він повинен дорівнювати одиниці. Легко перевірити, що цим умовам при = 0 відповідає багаточлен виду:
Дійсно . При чисельник виразу (5) дорівнює нулю. По аналогії з (5) отримаємо:
Підставляючи в (4) вирази (5), (6), знаходимо:
Формула (7) визначає інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Завдання для самостійної роботи Знайти наближене значення функції при заданому значенні аргументу за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа, якщо функція задана: 1. у не рівновіддалених вузлах; 2. у рівновіддалених вузлах таблиці.
Таблиці до завдання 1
Таблиці до завдання 2
Тема: Апроксимація функцій Теоретичні відомості Емпіричні формули Нехай, вивчаючи невідому функціональну залежність між і , в результаті проведення експериментів було отримано ряд значень цих величин. Значення та записані у виді наступної таблиці:
Завдання полягає в тому, щоб знайти наближену залежність:
значення якої при ( ) мало відрізняються від спостережуваних даних . Наближена функціональна залежність (8), отримана за допомогою експериментальних даних, називається емпіричною формулою. Простою емпіричною формулою є лінійна залежність виду:
Іншою простою емпіричною формулою є поліном другого ступеню:
Метод найменших квадратів Запишемо суму квадратів відхилень (12) для всіх точок :
Параметри емпіричної формули (11) знайдемо з умови мінімуму функції . Оскільки тут параметри виступають в ролі незалежних змінних функції , то її мінімум знайдемо з необхідних умов екстремуму функції багатьох змінних, прирівнюючи нулю частинні похідні по цим змінним:
Отримані співвідношення визначають систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення . Розглянемо застосування методу найменших квадратів для широко використовуваного на практиці окремого випадку, коли функція є лінійною по невідомих параметрах :
де – відомі функції . Формула (13) для визначення суми квадратів відхилень прийме вид:
Для складання системи (14) знайдемо похідні по змінним ( ): Прирівнюючи знайдені похідні нулю, отримаємо наступну систему рівнянь:
Система (15) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, її можна записати в наочному векторно-матричному вигляді. Для цього введемо вектори точних даних і невідомих параметрів , а також матрицю наступним чином:
Тут вектори і мають розмірності і відповідно, а матриця має розмірність ( ) ( ). Для елементів матриці справедливий вираз:
Неважко переконатися, що вираз в квадратних дужках у (15), є -ю компонентою вектора , а кожне рівняння системи (15) є рівність нулю -ої компоненти вектора ( ), де – транспонована матриця. Таким чином, систему (15) можна записати у вигляді:
або:
Матриця цієї системи має розмірність ( ) ( ), вектор і є шуканим. Приклад. Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді (таблиця 1): Таблиця 1
Розв’язок Якщо зобразити задані табличні значення на графіці (рис. 1), то легко переконатися, що в якості емпіричної формули для апроксимації функції можна прийняти поліном другого ступеню, графіком якого є парабола:
В даному випадку маємо:
Після обчислення матриці і вектора маємо:
Система рівнянь (16) приймає наступний вид:
Звідки знаходимо значення параметрів емпіричної формули: , , . Таким чином, отримуємо наступну апроксимацію функції, заданої у табличному виді:
Оцінимо відносні похибки отриманої апроксимації в заданих точках, тобто знайдемо значення . Результати обчислень представимо у виді таблиці 2: Таблиця 2
На рис. 1 побудовано графік знайденої емпіричної функції. Крапками, нанесені задані табличні значення функції . Рисунок 1 – Графік емпіричної функції Завдання для самостійної роботи
Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді.
Лабораторна рОбота №2 Тема:Чисельне інтегрування Теоретичні відомості Приклад. Обчислити інтеграл . Розв’язок Цей інтеграл легко обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця:
Для обчислення даного інтеграла використаємо формули прямокутників і трапецій. Розіб'ємо відрізок інтегрування [0,1] на десять рівних частин: , . Обчислимо значення підінтегральної функції у точках розбиття , а також в напівцілих точках ( ) (табл. 1). Таблиця 1
По формулі прямокутників (5) отримаємо:
Похибка в обчисленні інтеграла складає (близько 0.027 %). Використовуючи формулу трапецій (6), знаходимо:
Похибка тут дорівнює (близько 0.054 %). Таким чином, в розглянутому прикладі кращу точність обчислення інтеграла дає формула прямокутників. Це, на перший погляд, несподіваний результат, оскільки формула прямокутників використовує інтерполяцію нульового порядку (кусочно-постійну), тоді як формула трапецій використовує кусочно-лінійну інтерполяцію. Підвищення точності тут пояснюється способом обчислення елементарних площ що використовує значення функції в центральній точці відрізку [ ]. Відмітимо, що використання формул прямокутників у вигляді (1) або (2) приведе до похибки більше 3 %. Похибка чисельного інтегрування визначається кроком розбиття. Зменшуючи цей крок, можна добитися більшої точності. Правда, збільшувати число точок не завжди можливо. Якщо функція задана в табличному вигляді, доводиться, як правило, обмежуватися даною кількістю точок. Підвищення точності в цьому випадку може бути досягнуте за рахунок підвищення ступеня використовуваних інтерполяційних багаточленів. Розглянемо один з таких способів чисельного інтегрування: використання квадратичної інтерполяції (метод Сімпсона). Метод Сімпсона Розіб'ємо відрізок інтегрування на парне число рівних частин з кроком . На кожному відрізку [ ], [ ],...,[ ], ...,[ ] підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним поліномом другого ступеня:
Коефіцієнти цього поліному можуть бути знайдені з умов рівності багаточлена в точках відповідним табличним даним . У якості можна прийняти інтерполяційний багаточлен Лагранжа другого ступеню, що проходить через крапки , , :
Сума елементарних площ и (рис. 2) може бути підрахована за допомогою визначеного інтеграла. Враховуючи рівності , отримуємо:
Рисунок 2 – Сума елементарних площ і Провівши такі обчислення для кожного елементарного відрізку [ ], підсумуємо отримані вирази:
Останній вираз для приймається як значення визначеного інтеграла:
Отримане співвідношення називається формулою Сімпсона або формулою парабол. Іноді формулу Сімпсона записують із застосуванням напівцілих індексів. В цьому випадку число відрізків розбиття довільне (не обов'язково парне), і формула Сімпсона має вид:
Легко побачити, що формула (8) співпаде з (7), якщо формулу (7) застосувати для числа відрізків розбиття і кроку . Приклад. Обчислити за методом Сімпсона інтеграл . Розв’язок Значення функції при , представлені у табл.1, що наведена у попередньому прикладі. Застосовуючи формулу (7), знаходимо:
Результат чисельного інтегрування з використанням методу Сімпсона співпадає з точним значенням (шість значущих цифр). Завдання для самостійної роботи 1. Обчислити інтеграл за допомогою формул лівих і правих прямокутників при , оцінюючи точність за допомогою порівняння отриманих результатів. 2. Обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників, використовуючи оцінки точності подвійний прорахунок при , . 3. Обчислити інтеграл за допомогою формули трапецій з трьома десятковими знаками. 4. Обчислити інтеграл за допомогою формули Сімпсона при ; оцінити похибку результату, склавши таблицю кінцевих різниць.
|