Визначення параметрів емпіричної залежності

Вважатимемо, що тип емпіричної формули обрано і її можна представити у виді:

,

(11)

де – відома функція – невідомі постійні параметри. Тоді задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає найкраще наближення даної функції.

Тут не ставиться умова (як у випадку інтерполяції) збігу спостережуваних даних із значеннями емпіричної функції (11) у точках . Різницю між цими значеннями (відхилення) позначимо через . Тоді:

, .

(12)

Задача знаходження найкращих значень параметрів зводиться до мінімізації відхилень .

Існує декілька способів розв’язання цієї задачі. Один з них метод найменших квадратів.

Метод найменших квадратів

Запишемо суму квадратів відхилень (12) для всіх точок :

, .

(13)

Параметри емпіричної формули (11) знайдемо з умови мінімуму функції .

Оскільки тут параметри виступають в ролі незалежних змінних функції , то її мінімум знайдемо з необхідних умов екстремуму функції багатьох змінних, прирівнюючи нулю частинні похідні по цим змінним:

(14)

Отримані співвідношення визначають систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення .

Розглянемо застосування методу найменших квадратів для широко використовуваного на практиці окремого випадку, коли функція є лінійною по невідомих параметрах :

,

де – відомі функції . Формула (13) для визначення суми квадратів відхилень прийме вид:

.

Для складання системи (14) знайдемо похідні по змінним ( ):

Прирівнюючи знайдені похідні нулю, отримаємо наступну систему рівнянь:

, .

(15)

Система (15) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, її можна записати в наочному векторно-матричному вигляді. Для цього введемо вектори точних даних і невідомих параметрів , а також матрицю наступним чином:

, , .

Тут вектори і мають розмірності і відповідно, а матриця має розмірність ( ) ( ). Для елементів матриці справедливий вираз:

.

Неважко переконатися, що вираз в квадратних дужках у (15), є -ю компонентою вектора , а кожне рівняння системи (15) є рівність нулю -ої компоненти вектора ( ), де – транспонована матриця. Таким чином, систему (15) можна записати у вигляді:

( )=0,

або:

.

(16)

Матриця цієї системи має розмірність ( ) ( ), вектор і є шуканим.

Приклад.

Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді (таблиця 1):

Таблиця 1

	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Розв’язок

Якщо зобразити задані табличні значення на графіці (рис. 1), то легко переконатися, що в якості емпіричної формули для апроксимації функції можна прийняти поліном другого ступеню, графіком якого є парабола:

.

В даному випадку маємо:

, , , , ,

, , .

Після обчислення матриці і вектора маємо:

, .

Система рівнянь (16) приймає наступний вид:

.

Звідки знаходимо значення параметрів емпіричної формули: , , . Таким чином, отримуємо наступну апроксимацію функції, заданої у табличному виді:

.

Оцінимо відносні похибки отриманої апроксимації в заданих точках, тобто знайдемо значення .

Результати обчислень представимо у виді таблиці 2:

Таблиця 2

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75	2,47 1,25 1,15 2,17 4,32	2,50 1,20 1,12 2,25 4,28	-0,03 0,05 0,03 -0,08 0,04	-0,012 0,042 0,027 -0,036 0,009

На рис. 1 побудовано графік знайденої емпіричної функції. Крапками, нанесені задані табличні значення функції .

Рисунок 1 – Графік емпіричної функції

Завдання для самостійної роботи

Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді.

Лабораторна рОбота №2

Тема:Чисельне інтегрування

Теоретичні відомості