ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Метод ітерацій або метод послідовних наближень

Для застосування методу ітерацій (латинське "ітераціо" ‑ повторення) початкове рівняння ( ‑ безперервна функція) необхідно, по-перше, записати у вигляді , по-друге, виділити інтервал ізоляції кореня цього рівняння, і по-третє, обрати нульове наближення кореня . Для одержання першого наближення в праву частину рівняння замість підставляємо , так що .

Наступні наближення утворюються за схемою:

. (14)

Таким чином, у результаті застосування деякого однакового процесу будуються послідовні наближення .

При цьому можливі два випадки:

– процес може збігатися, тобто послідовні наближення прямують до деякої кінцевої межі , що є коренем рівняння;

– процес може розходитися, тобто кінцева межа побудованих наближень існувати не буде; з цього не випливає, що розв'язку початкового рівняння не існує, просто процес послідовних наближень міг бути обраний невдало.

Збіжність процесу ітерації визначається наступною теоремою.

Теорема. Нехай інтервал є інтервалом кореня рівняння , а функція визначена і диференційована на всьому інтервалі, причому всі її значення .

Тоді, якщо існує правильний дріб такий, що , то:

1. Процес ітерації є збіжним незалежно від початкового значення ;

2. Граничне значення є єдиним коренем рівняння на відрізку .

Наближення слід обчислювати доти, поки не буде виконано нерівність:

,

де ‑ задана гранична абсолютна похибка кореня .

Якщо і додатня навколо кореня, то послідовні наближення і сходяться до кореня монотонно. Якщо ж похідна від'ємна, то послідовні наближення коливаються біля кореня .

Приклад.

Методом ітерацій уточнити з точністю корінь рівняння , який ізольований на відрізку [0, 1].

Розв’язок

Зведемо рівняння до вигляду . Це можна зробити таким чином:

1. , тоді ;

2. , тоді .

Визначимо, яку з отриманих функцій слід використовувати. Знаходимо:

Отже, можна використовувати функцію і шукати послідовні наближення за формулою:

.

Визначимо, якою повинна бути різниця між двома послідовними наближеннями:

Обчислення зручно вести за допомогою таблиці 3.

Таблиця 3

№ ітерації
0,75 0,42188 0,25547
0,2555 0,016777 0,154144
0,1541 0,000565 0,151413
0,1514 0,005443 0,151361
0,15136 0,005442 0,151361

Можна вважати, що .

Завдання для самостійної роботи

1. Відокремити корні рівняння графічно і уточнити їх методом хорд з точністю до 0,001.

2. Відокремити корінь рівняння аналітично і уточнити їх методом хорд з точністю до 0,001.

3. Відокремити корні рівняння графічно і уточнити їх методом дотичних з точністю до 0,001.

4. Відокремити корінь рівняння аналітично і уточнити їх методом дотичних з точністю до 0,001.

Варіант № Функція для завдання 1,3 Функція для завдання 2,4

Лабораторна рОбота №5

Тема:Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь

Теоретичні відомості

Звичайні диференційні рівняння (ЗДР) широко застосовуються для математичного моделювання процесів і явищ в різних галузях науки і техніки. Перехідні процеси в радіотехніці, кінетика хімічних реакцій, динаміка біологічних популяцій, рух космічних об'єктів, моделі економічного розвитку досліджуються за допомогою ЗДР.

До диференційного рівняння n-го порядку як невідомі величини входять функція та її перші n похідних по аргументу x:

. (1)

Рівняння (1) еквівалентно системі n рівнянь першого порядку:

, (2)

де k=1, 2., n.

Рівняння (1) і еквівалентна йому система (2) мають безліч розв’язків. Єдині розв’язки відокремлюють за допомогою додаткових умов, яким повинні задовольняти шукані розв’язки. Залежно від виду таких умов розглядають три типи задач, для яких доведено існування і єдність розв’язків.

Перший тип – це задачі Коші, або задачі з початковими умовами. Для таких задач окрім початкового рівняння (1) у будь-якій точці повинні бути задані початкові умови, тобто значення функції та її похідних:

..., .

Для системи ЗДР типу (2) початкові умови задаються у виді:

, , ... , . (3)

До другого типу задач відносяться так звані граничні або крайові задачі, в яких додаткові умови задаються у виді функціональних співвідношень між шуканими розв’язками. Кількість початкових умов повинна співпадати з порядком n-го рівняння або системи. Якщо розв’язок задачі визначається в інтервалі , то такі умови можуть бути задані як на границях, так і в інтервалі. Мінімальний порядок ЗДР, для яких може бути сформульована гранична задача, дорівнює двом.

Третій тип задач для ЗДР – це задачі на власні значення. Такі задачі відрізняються тим, що окрім шуканих функцій та їх похідних до рівняння входять додатково m невідомих параметрів l1, l2,¼, , які називаються власними значеннями. Для єдності розв’язка на інтервалі необхідно задати m+n граничних умов. Як приклад, можна назвати задачі визначення власних частот, коефіцієнтів дисипації, структури електромагнітних полів і механічних напружень в коливальних системах, задачі знаходження фазових коефіцієнтів, коефіцієнтів затухання, тощо.

Методи наближеного інтегрування диференційних рівнянь можна умовно поділити на три групи:

– аналітичні, які дозволяють одержати розв'язок у вигляді аналітичного виразу;

– графічні, які дають наближений розв'язок у вигляді графіка;

– чисельні, які дають наближений розв'язок у вигляді таблиці.

До чисельного розв'язання ЗДР приходиться звертатися, коли не вдається побудувати аналітичний розв'язок задачі через відомі функції. Хоча для деяких задач чисельні методи є більш ефективними, навіть при наявності аналітичних розв'язків.

Метод Ейлера

Нехай задано звичайне диференційне рівняння першого порядку:

. (4)

Необхідно знайти розв’язок цього рівняння , який задовольняє початковій умові:

. (5)

Така задача називається задачею Коші.

Чисельний розв’язок задачі Коші полягає в знаходженні значень у точках ; ; …; відрізка , де h–крок інтегрування; ; .

Розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ) та замінимо у лівій частині похідну правою різницею ( , , ). При цьому значення функції у вузлах замінимо значеннями сіткової функції :

. (6)

Отримана апроксимація диференційного рівняння (4) має перший порядок, так як заміняючи (4) на (6) допускається похибка .

Припустимо, що вузли рівновіддалені, тобто ( ). Тоді із рівності (6) отримаємо:

, . (7)

Зауважимо, що з рівняння (4) випливає наступне:

.

Тому (7) представляє собою наближене знаходження значення функції у точці за допомогою розкладання у ряд Тейлора. Іншими словами, приріст функції припускається рівним її диференціалу.

Припускаючи , за допомогою співвідношення (7), знаходимо значення сіткової функції при :

.

Необхідне тут значення задано початковою умовою (5).

Аналогічно можна знайти значення сіткової функції у інших вузлах:

.

Цей алгоритм називається методом Ейлера. Різницева схема цього методу представлена співвідношенням (7). Вона має вид рекурентних формул, за допомогою яких значення сіткової функції у будь-якому вузлі обчислюється по її значенню у попередньому вузлі . У зв’язку з цим метод Ейлера відноситься до однокрокових методів.

Метод Ейлера найпростіший і порівняно грубіший чисельний метод інтегрування.

Приклад.

Розв’язати диференційне рівняння в інтервалі , .

Розв'язок

.

Нехай . Розв'язок задачі представимо в вигляді таблиці 1.

Таблиця 1

i xi yi F(xi,yi)
0,05

Таким чином, .

Модифікації методу Ейлера

Розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ), які є серединами відрізків [ ]. У лівій частині (4) замінимо похідну центральною різницею ( , , ), а в правій частині замінимо значення функції середньоарифметичним значенням функції у точках ( ) і ( ). Тоді замість (6) запишемо:

. (8)

Звідси:

. (9)

Отримана схема є неявною, оскільки шукане значення входить в обидві частини співвідношення (9) і його, взагалі кажучи, не можна виразити явно. Для обчислення можна застосувати один з ітераційних методів. Якщо є хороше початкове наближення , то можна побудувати рішення з використанням двох ітерацій наступним чином. Вважаючи початковим наближенням, обчислюється перше наближення по формулі методу Ейлера (7):

. (10)

Обчислене значення підставляємо замість у праву частину співвідношення (9) і знаходимо остаточне значення:

. (11)

Алгоритм (10), (11) можна записати у виді одного співвідношення:

, ( ).

Дані рекурентні співвідношення описують нову різницеву схему, що є модифікацією методу Ейлера, яка називається методом Ейлера з перерахунком. Покажемо, що цей метод відрізняється від методу Ейлера більшою точністю. Апроксимація (8) має, на відміну від (6), другий порядок. Дійсно, при заміні похідною в лівій частині (4) допускається похибка . Похибка такого ж порядку має місце і при заміні правої частини (4) правою частиною (8):

Тут проведено розклад функції у ряд в околі крапки .

Похибка, що допускається при обчисленні по формулі (9), складає . Цей порядок похибки зберігається і при використанні двох ітерацій (10), (11), оскільки:

.

Таким чином, похибка на кожному кроці (локальна) має порядок , а сумарна по аналогії з (7) – на відміну від у звичайному методі Ейлера. Тобто метод Ейлера з перерахунком має другий порядок точності.

Відмітимо, що при використанні неявної схеми (9) виходить практично те ж значення , що і в методі Ейлера з перерахунком. Проте застосування схеми (9), що вимагає побудови ітераційного процесу для обчислення значення привело б до значного зростання часу розрахунку на кожному кроці.

На рис. 1 зображено геометричну інтерпретацію першого кроку при розв’язанні задачі Коші методом Ейлера з перерахунком. Дотична до кривої у точці проводиться з кутовим коефіцієнтом . З її допомогою за методом Ейлера (7) знайдено значення , яке використовується для визначення нахилу дотичної у точці . Відрізок з таким нахилом замінює первинний відрізок дотичної від точки до точки . В результаті виходить уточнене значення шуканої функції у цій точці.

Рисунок 1 – Метод Ейлера з перерахунком

За допомогою методу Ейлера з перерахунком можна проводити контроль точності рішення шляхом порівняння значень і і вибору на підставі цього відповідної величини кроку у кожному вузлі. А саме, якщо величина порівнянна з похибками обчислень, то крок потрібно збільшити; інакше, якщо ця різниця дуже велика (наприклад ), значення слід зменшити. Використовуючи ці оцінки, можна побудувати алгоритм методу Ейлера з перерахунком з автоматичним вибором кроку.

Разом з методом Ейлера з перерахунком використовується і інша модифікація методу Ейлера. Так само, як і в методі Ейлера з перерахунком, розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ). В лівій частині (4) замінимо похідну центральною різницею ( , , ), а праву частину залишимо без змін:

. (12)

Наближене значення функції у точці обчислимо за допомогою методу Ейлера:

. (13)

Виразимо з (12), замінивши його наближенням :

, (14)

Отриманий метод у виді формул (13), (14) називається вдосконаленим методом Ейлера. Неважко показати, що він також має другий порядок точності.

Метод Рунге-Кутта

Дано диференційне рівняння початкові умови . Знайти у вигляді таблиці на відрізку .

1. Розіб'ємо відрізок інтегрування [а, b] на n рівних частин системою точок ( ), .

2. Знайдемо для кожного значення

; ; ; .

3. Обчислюємо ( ).

4. Обмилюємо послідовно ( ), або:

.

У таблиці 2 наведено схему Рунге-Кутта.

Таблиця 2

і x У f(x,y) k=hf(x,y)
   
 
   
   
... ............ ........................ ............................... ................. ...............
n
   
             

Завдання для самостійної роботи

1. Використовуючи метод Ейлера з уточненням, скласти таблицю наближених значень інтеграла диференційного рівняння , яке задовольняє початковим умовам на відрізку ; крок . Всі обчислення вести з чотирма десятковими знаками.

2. Знайти розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку методом Ейлера на відрізку з кроком , яке задовольняє початковим умовам . Обчислення виконати з чотирма десятковими знаками.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти