ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Деякі відомості з векторного аналізу

Ґрадієнт.Розглянемо скалярне поле, тобто область простору, кожній точці якої відповідає визначене значення скаляра φ:

φ=φ(P)=φ(r)=φ(x1,x2,x3),

де r - радіус-вектор, x1,x2,x3 - декартові координати точкиP

Усім точкам поверхні, обумовленої рівнянням

φ(х1, х2,x3) = const, ( 1)

відповідає однакове значення φ. Поверхня виду ( 1) називається

поверхнею рівня скаляра φ. Поверхню рівня можна провести через будь-яку точку поля.

При зсуві з точки Р на відрізок dr функція φ отримує приріст

Останній вираз не залежить від вибору координат хі ,тобто представляє собою інваріант. Сукупність величин dxi утворює вектор dr.

Отже можна стверджувати, що величини dφ/dxі, суть проекції деякого вектора на осі хі. Цей вектор називають градієнтом скаляра φ і позначають символом grad φ. Отже,

(2)

або

Визначення (2) легко поширити на простір п вимірів. В останньому випадку число доданків у формулі (2) буде дорівнює не трьом, а п.

Доведемо, що компоненти градієнта перетворяться по формулах як компоненти вектора. Узявши дві системи координат: К і К', можна написати

Виразимо dxі через dx'k і підставимо ці значення в (3):

Змінимо в лівій частині порядок сумування по індексах i і k:

Індекси і та к є «німими». Як уже відзначалося, «німий» індекс можна позначати будь-якою буквою. Тому сума ліворуч не зміниться, якщо переставити індекси i і k. У підсумку одержимо

З отриманого нами співвідношення випливає

Таким чином, ми показали, що величини дφ/дхі при перетвореннях координат поводяться як компоненти вектора.

Гамільтон увів векторний диференціальний оператор Ñ (оператор набла чи оператор Гамільтона), що являє собою вектор зі складовими д/дх, д/ду, д/дz:

(4)

Сам по собі вектор Ñ змісту не має. Він набуває сенсу, будучи застосований до скалярної чи векторної функції. Так, при символічному множенні Ñ на φ виходить градієнт φ:

Отже, Ñφ = grad φ. Згідно (3) приріст φ може бути представлений у вигляді скалярного добутку векторів grad φ і dr:

dφ = grad φ • dr = (Ñφ) dr. (5)

При переміщенні по поверхні рівня φ залишається незмінною (dφ = 0). Звідси відповідно до (5) випливає, що вектор Ñφ у кожній точці поля спрямований по нормалі до поверхні рівня. Знайдемо швидкість зміни φ уздовж деякого напрямку l, тобто dφ/dl. Згідно (5) приростом φ на відрізку dl дорівнює (Ñφ) dl = (Ñφ)l dl, де (Ñφ)l—проекція градієнта на напрямок l.

Тому

.

Таким чином, проекція градієнта на деякий напрямок дає швидкість зміни функції в даному напрямку.

Відзначимо, що вектор Ñφ існує в кожній точці скалярного поля φ. Отже, градієнт утворює векторне поле, тобто область простору, кожній точці якої відповідає визначене значення вектора Ñφ.

 

Дивергенція.

Нехай нам дане поле вектора а. Потоком вектора а через поверхню fназивається вираз

, (6)

де аn — проекція вектора а на позитивну нормаль до площадки df, df— вектор елементарної площадки, його модуль дорівнює величині площадки df, а напрям збігається з напрямом позитивної нормалі до площадки. Напрямок позитивної нормалі визначається в залежності від обставин. Так, наприклад, при обчисленні потоку через замкнуту поверхню позитивною вважається зовнішня нормаль. Назва «потік» обумовлене тим, що у випадку поля вектора швидкості рідини інтеграл ( 6) дає потік рідини через поверхню f , тобто об’єм рідини, що протікає через fза одиницю часу. Оточимо точку Р поля замкнутою поверхнею f. Обчислимо потік Фa через цю поверхню. Відношення Фа до V буде характеризувати властивості поля біля точки Р, усереднені по об’ємі V, усередині f. Чим менше лінійні розміри об’єму, тим ближче буде середня характеристика до даної характеристики поля в точці Р. Скалярну величину

(7)

називають дивергенцією векторного поля в точці Р.

мал.1

Визначення (7) є самим загальним, що не залежить від вибору координатної системи. Знайдемо вираз для дивергенції через проекції а на осі декартової системи координат. Візьмемо в околі точки Р об’єм у вигляді прямокутного паралелепіпеда з гранями,

перпендикулярними до координатних осей (мал. 1). Знайдемо потік вектора а через грані 1 і 2, які перпендикулярні до осі х. Зовнішня нормаль до грані 1 збігається по напрямку з віссю х. Тому для цієї грані ап = axl (індекс 1 указує, що значення ах береться в точці, що лежить на грані 1). Зовнішня нормаль до грані 2 протилежна по напрямку осі х. Тому для неї ап = - ax2 (індекс 2 вказує, що значення ах береться в точці, що лежить на грані 2). Сумарний потік через грані 1 і 2 дорівнює

(8)

де df = df1 = df2 (див. мал. l), ax1 і ax2 беруться для точок граней 1 і 2 з однаковими у і z. Інтеграл, що стоїть праворуч, береться по поверхні f кожної з граней 1 і 2. Розкладемо ах у ряд в околі точки Р:

(9)

Тут хр, ур, zpкоординати точки Р, ахР — значення ах у точці Р, (дах/дх)Р і т. д. - значення похідних у точці Р, εх — величина більш високого порядку малості, чим різниці (х— хр), (у ур), (z— zp), тобто величина, що зменшується швидше, ніж лінійні розміри паралелепіпеда.

Поклавши у рівняння (9) x = x1, знайдемо значення ах у точках грані 1 тобто ах1; поклавши x=x2, одержимо значення ax2. Віднявши ці значення один із одного, одержимо для протилежних площадок dfl і df2 (значення y i z для них однакові):

де знов-таки ε'х - величина, що зменшується швидше, ніж лінійні розміри об’єму.

Підставивши знайдене нами значення у формулу (8), одержимо

З мал. 1 видно, що добуток (х1- х2)f дає об’єм паралелепіпеда V. Тому:

де ε"х — величина більш високого порядку , ніж V.

Аналогічні вирази виходять і для потоків через пари граней, перпендикулярних до осей у і z:

Склавши разом Фх, Фу і Фr, одержимо повний потік вектора а через поверхню паралелепіпеда. Розділивши відповідно до рівняння (7) цей потік на V і зробивши граничний перехід) V Р, прийдемо до формули

(10)

(через непотрібність ми опустили індекс Р при похідних). Знайдений нами вираз ( 10) для дивергенції можна записати у вигляді

(11)

У такій формі поняття дивергенції може бути поширене на векторні поля в просторі n вимірів. Визначення (7) також можна поширити на простір n вимірів. У цьому випадку під елементом об’єму варто розуміти dV*=dx1 dx2 dx3. .dxn

Інтеграл потрібно брати по гіперповерхні розмірності п —1. Елемент гіперповерхні, перпендикулярний до осі xk буде дорівнювати df*= dx1 dx2... dxk-l dxk+l. . .dxn.

У просторі чотирьох вимірів гіперповерхнею буде звичайний тривимірний об’єм. Рівняння (11) можна розглядати як суму добутків величин Ñі = д/дхі і aі тобто як скалярний добуток векторів Ñ і а. Тому дивергенцію можна представити у вигляді

diva=Ña. (12)

Величина (Ñа)існує в кожній точці векторного поля а.

Отже, дивергенція утворить скалярне поле, визначене в тій же частині простору, що і поле вектора а. Візьмемо в поле вектора а кінцевий об’єм V, обмежений поверхнею f (2). Розіб'ємо цей об’єм на елементарні об’єми DV. Згідно (7) для потоку DФа через поверхню такого об’єму можна написати DФа = diva×DV = Ña×DV. Складемо ці рівняння для всіх елементарних об’ємів. мал. 2.

При сумуванні DФа потоки через грані, що розділяють два сусідніх об’єми, взаємно знищаться (для суміжних об’ємів потоки відрізняються знаками, тому що зовнішні нормалі n і n' мають протилежні напрямки). Некомпенсованими залишаться тільки потоки через ділянки зовнішньої поверхні f, так що в сумі вийде потік вектора а через цю поверхню. Сума праворуч у границі (при DV—»0) перетвориться в інтеграл по всьому об’ємі. Наближена рівність у границі перейде в строгу рівність. У результаті одержимо

(13)

Отримане нами співвідношення називається теоремою Остроградського — Гауса. Словесне формулювання цієї теореми говорить: потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції по об’ємі, обмеженому цією поверхнею.

Ротор.

Циркуляцією вектора а по контурі Г називається вираз

(14)

Наприклад, у потенціальному полі сила циркуляції вектора F дорівнює роботі сил на замкнутому контуру Г.

Візьмемо в околі точки Р контур Г, що лежить у площині, що проходить через Р. Знайдемо циркуляцію Са по цьому контурі. Відношення Са до поверхні f, охоплюваної контуром, буде характеризувати властивості поля в околі точки Р, усереднені по поверхні l. Чим менше лінійні розміри поверхні, тим ближче буде середня характеристика до дійсної характеристики поля в точці Р. У границі, при стягуванні контуру до точки Р, середня характеристика перетвориться в дійсну. Таким чином, властивості векторного поля в деякій точці Р можна охарактеризувати величиною

(15)

Величина (15) залежить не тільки від властивостей поля в точці Р, але і від орієнтації площини, у якій лежить контур. Орієнтацію цієї площини в просторі можна задати нормаллю до площини, зв'язаної з напрямком обходу по контурі Г при інтегруванні правилом правого гвинта (мал. 3). Для різних напрямків n величина ( 15) буде мати в одній і тій же точці Р різне значення, причому, як легко зміркувати, протилежним напрямкам n відповідають значення величини ( 15), що відрізняються тільки знаком. Отже, величина, обумовлена формулою (15), поводиться як проекція деякого вектора на напрямок нормалі до контуру Г. Цей вектор називають ротором векторного поля в точці Р и позначають символом rot a. Таким чином,

. (16)

мал..4

Формула ( 16) дає саме загальне визначення ротора, що не залежить від вибору координатної системи. Знайдемо вираження для ротора через проекції вектора rot×a на вісь х. Для цього візьмемо в околі точки Р контур Г, що лежить у площині, перпендикулярної до осі х (мал. 4). Напрямок обходу по контурі виберемо так, щоб воно утворювало з напрямком осі х. правогвинтову систему. Тоді напрямок n і осі х збіжаться і вираз (16) дасть (rot×a)x. Для вибраного нами контуру

 

де const включає в себе три складових, які не залежать від y і z, eу-величина більш високого порядку малості, чим лінійні розміри контуру. Отже,

Легко зміркувати, що ∮dy = 0. Точно так само дорівнює нулю інтеграл

.

З мал. 4 неважко побачити, що ∮zdy = -f де f- площа контуру. Отже

(17)

де eу' -величина більш високого порядку малості, чим площа контуру f.

Зробивши аналогічні перетворення для az, отримаємо вираз

Інтеграли ∮dz і ∮zdz = 1/2d(z2) дорівнюють нулю, ∮ydz = f

Тому

Вирази (17) і (18) у сумі дають ∮aldl. Розділивши відповідно до виразу (16) цю суму на f і здійснивши граничний перехід, одержимо

Розглянувши циркуляцію для контурів, орієнтованих нормаллю n по осях у і z, можна одержати вираження для проекцій ротора на ці осі:

Формули для проекцій ротора на координатні осі легко запам'ятати, прийнявши до уваги, що в кожній з них індекс при rot∙a і букви, що стоять праворуч у знаменниках, утворять циклічну перестановку, здійснювану за схемою: х→у→z→x. Знаючи проекції, легко знайти сам вектор:

(19)

З врахуванням того, що, наприклад, даг/ду можна представити у вигляді Ñуаг і т.д. , запишемо формулу (19) у такий спосіб:

(20)

Нарешті, порівняння з формулою (VI. 31) дає нам право написати, що

rot∙a = a] (21)

Скориставшись формулами для векторного добутку, можна написати для ротора і його k-й компоненти наступні вирази:

Величина [Ña] існує в кожній точці векторного поля а. Отже, ротор утворить векторне поле, визначене в тій же частині простору, у якій задане поле вектора а. Візьмемо в поле вектора а довільну поверхню f, обмежену контуром Г (контур може бути будь-яким, не обов'язково плоским). Розіб'ємо цю поверхню на малі елементи ∆f (мал. 5). Згідно (16) для циркуляції ∆Са по границі елемента ∆f можна написати вираз ∆Са =[Ña]n ∆f, де [Ña]n — проекція [Ña] на нормаль до даного ∆f, зв'язану з напрямком обходу правилом правого гвинта.

Складемо ці формули для всіх ∆f. При сумуванні ∆Са інтеграли ∫al dl, узяті вздовж границі сусідніх площадок, взаємно знищаться (для суміжних площадок ці інтеграли відрізняються знаком, тому що беруться в різних напрямках). Некомпенсованими залишаться тільки інтеграли ∫aldl для ділянок, що збігаються з контуром Г, що обмежує f. Ці інтеграли дадуть у сукупності циркуляцію а по контурі Г. Сума праворуч у границі (при ∆f→0) перетвориться в інтеграл по поверхні. Наближена рівність у межі перейде в строгу рівність. У підсумку одержимо

(23)

Знайдене нами співвідношення називається теоремою Стокса. Словесне формулювання цієї теореми говорить: циркуляція вектора а по замкнутому контурі Г дорівнює потоку вектора [Ña] через поверхню, натягнуту на контур Г.

Поверхня, по якій береться інтеграл у правій частині формули (23), може бути будь-якою, важливо лише, щоб вона спиралася своєю границею на контур Г. Напрямок нормалі n повинен бути погоджений з напрямком обходу контуру Г при інтегруванні.

 

 

Застосування оператора Ñ до добутку функцій.

При складанні формул, до яких входить Ñ, потрібно керуватися як правилами векторної алгебри, так і правилами диференціального числення. Нехай, наприклад, φ і y— скалярні функції точки. Тоді

Ñ(φy)=Ñy(φy)+Ñφ(φy) ( 24)

(індекс при Ñ вказує, на яку з функцій вона діє). Співмножник, на який у даний момент посилається Ñ не діє, можна винести з-під знаку Ñ (оператор Ñ діє тільки на величини, що стоять за ним). Тоді формула (24) прийме вигляд Ñ(φy) = φÑyy + yÑφ φ. У написаному нами вираженні, мабуть, немає необхідності в індексах при Ñ, так що остаточно

Ñ(φy) = φÑy + yÑφ. (25)

(читається: «фі градієнт псі плюс псі градієнт фі»).

Застосуємо Ñ до добутку φ∙а. У цьому випадку мається дві можливості — вектори Ñ і φа можна перемножити як скалярно, так і векторно. Відповідно одержимо

Ña) = Ñφa) + Ñaa)=aÑφ + φÑa (26)

а градієнт фі плюс фі дивергенція а»),

[Ñ,(φа)=[Ñφ,(φа)]+[Ñа,(φа)]=[(Ñφ),а] + φ[Ña]. (27)

Тепер застосуємо Ñ до добутку [ab], перемноживши вектори спочатку скалярно: Ñ[ab]=Ñа[ab] –Ñв[ab]. Здійснимо в кожному з доданків циклічну перестановку Ñ[a,b]=b[Ñaa]+a[bÑb]=b[Ñaa]-a[Ñbb]

Опустивши непотрібні вже індекси, прийдемо до формули

Ñ[ab]=b[Ña] — a[Ñb] ( 28)

b ротор а мінус а ротор b»).

Помножимо [ab] на Ñ векторно: [Ñ,[ab]] = [Ñа,[ab]] + [Ñb,[ab]]. Розгорнемо кожне з доданків по формулі «бац мінус цаб»):

[Ñ,[ab]] = a(Ñаb) — b(Ñaa) + a(Ñbb)— b(Ñba).

Розставивши множники так, щоб можна було опустити індекси при Ñ, одержимо

[Ñ,[ab]] = (bÑ)a — (aÑ)b + a(Ñb)— b(Ña). ( 29)

Вирази (aÑ) і (bÑ) суть скалярні диференціальні оператори. Наприклад,

(30)

Ці оператори можуть застосовуватися як до скалярних, так і до векторних функцій. У застосуванні до скаляра φ оператор (30) дає

(31)

При дії оператора () на вектор b отримуємо вираз

(32)

Застосуємо оператора (30) до добутку скалярної функції φ і векторної функції b:

(33)

Корисно знати значення виразу (aÑ)r, де r - радіус-вектор, а-деякий довільний вектор. Підставивши в (32) r замість b і прийнявши до уваги, що ∂xk/∂xi = dik, одержимо

(34)

Формули (25) — (29) ми одержали легко. Складніше знайти градієнт скалярного добутку двох векторів: Ñ (a b), тому що неясно, що треба розуміти під, наприклад, виразом Ña(a b). Його не можна трактувати як (Ña a )b, тому що операції перемножування а з b і застосування Ña не можна переставляти. Це можна обійти, скориставшись допоміжними співвідношеннями, що випливають з формули «бац мінус цаб»:

[а, [Ñb]] = Ñb(a∙ b)—b(Ñba) = Ñb(a∙ b) —(aÑ)b,

звідси

Ñb(a∙ b) = [a,[Ñb]]+(aÑ)b. (35)

Записавши таким же способом [b, [Ña]], прийдемо до співвідношення

Ñа(ab) = [b, [Ña]]+(bÑ)a. (36)

Підстановка співвідношень (35) і (36) у формулу

Ñ (a∙b)= Ña(a b)+ Ñb(a b)

приводить до наступного виразу для градієнта скалярного добутку векторів а і b:

Ñ(a∙b)=[a,[Ñb]]+[b,[Ña]]+(a∙Ñ)b + (bÑ)a. (37)

Повторне застосування оператора Ñ.

У результаті впливу оператора Ñ на скалярні чи векторні функції отримуються нові векторні або скалярні функції, до яких у свою чергу можна бути застосований оператор Ñ.

Градієнт функції φ є вектор. Отже, до нього можуть бути застосовані операції і дивергенції, і ротора. Обчислимо дивергенцію градієнта. Відповідно до формул (2) і (11)

Таким чином,

(38)

де ∆-оператор Лапласа:

(39)

З пророблених нами операцій випливає, що

Ñ2 = ∆. (40)

Однак потрібно мати на увазі, .що таке співвідношення між операторами Ñ і ∆ має місце тільки в декартових координатах. В інших системах координат, наприклад у циліндричній або сферичній, співвідношення (40) не виконується. Загальним визначенням оператора ∆, справедливим у будь-якій системі координат, є визначення, що випливає зі співвідношення (38), яке можна записати у вигляді

(41)

Знайдемо rot∙grad∙φ. Згідно (22)

(42)

Оскільки 2φ/∂хі ∂хк =∂2φ/∂хк∂хі, останній вираз дорівнює нулю, так що

rot∙grad∙φ = 0 (43)

Цього і треба було очікувати, тому що [Ñ, Ñφ] = [ÑÑ]φ, а векторний добуток вектора на самого себе дорівнює нулю.

Обчислимо дівергенцію ротора. Відповідно до формул (11) і (22)

Тому що d2an/dxkdxm = d2an/dxmdxk, останній вираз дорівнює нулю. Отже,

div∙rota = 0. (44)

До цього результату можна було прийти відразу, прийнявши до уваги, що мішаний добуток векторів (яким є Ñ[Ña]) дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах, що перемножуються. Тому при збігу двох співмножників із трьох такий добуток дорівнює нулю.

Для обчислення rot rot а будемо виходити з формул (22):

Зробимо циклічну перестановку індексів при ε так, щоб індекс k в обох ε виявився на останньому місці . У підсумку отримаємо

Здійснимо сумування по індексах m i n. У результаті отриманий нами вираз прийме вигляд

,

що можна представити в такий спосіб:

Отже ми отримали формулу

(45)

або

(46)

Легко переконатися в тому, що співвідношення ( 45) можна одержати, якщо розгорнути [Ñ,[Ña]] по формулі «бац мінус цаб», працюючи при цьому з Ñ як зі звичайним вектором.

З (46) випливає, що

(47)

Дивергенція є скаляром. Тому ніякої операції, окрім операції знаходження градієнта, до неї застосувати не можна.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти