ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.

Дослідимо поведінку електричного і магнітного полів при переході від однієї системи відліку до іншої. Розглянемо приклад. Будемо досліджувати електричне і магнітне поля, створені зарядом , що міститься в ракеті, яка рухається відносно Землі.

Виміряємо ці поля приладами, розташованими в ракеті, і приладами які нерухомі відносно Землі. У системі, пов’язаній з ракетою, заряд нерухомий, отже, він створює лише електричне поле. У системі Землі заряд рухається, а як відомо, рухомий заряд створює магнітне поле. Тому можна сказати, що магнітне поле в системі Землі пропорційне електричному полю в системі ракети і швидкості руху ракети.

Таким чином, в тому самому явищі в одній системі є тільки електричне поле , а в іншій—і електричне і магнітне. Так само можна сказати, що магніт, який рухається, створює як магнітне, так і електричне поля. Отже, електричні й магнітні поля не є інваріантами. Значення їх залежить від системи відліку.

Спеціальна теорія відносності(СТВ) була сформульована Ейнштейном у праці „До електродинаміки рухомих тіл”. Уже в цій роботі було поставлено і розв’язано питання про побудову теорії, в якій би закони електродинаміки не залежали від системи відліку, тобто були б релятивістськоінваріантними. Після введення Мінковським уявлення про чотирьохвимірний простір це завдання значно спростилося. Як ми вже зазначали , для розв’язання цього завдання досить сформулювати закони електродинаміки у вигляді співвідношень між чотиривимірними векторами і тензорами.

Раніше ми показали, що рівняння Максвела еквівалентні до рівнянь для потенціалів при виконанні калібровки Лоренца:

(1) (2)

 

(3)

Використаємо означення чотиривимірного оператора Лапласа-д’Аламбера:

; (4)

Тоді умови для потенціалів (1),(2) запишуться:

; (5)

Запишемо ці рівняння в 4-мірній формі. Для цього необхідно знати за яким законом перетворюється ці величини при перетворенні системи координат.

Фундаментальним законом природи, який повинен підтверджуватися в релятивістській електродинаміці, є закон збереження заряду і незалежності величини заряду від системи відліку, тобто інваріантність величини зряду. Закон збереження заряду записується у вигляді:

(6)

Введемо 4-мірні координати :

x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict

Тоді рівність (6) розпишемо:

Ми одержали закон збереження заряду в 4-мірній формі.

(7)

де

(8)

Вектор густини струму разом з вектором густини заряду утворює єдиний чотиривимірний вектор .

Компоненти 4-мірного вектора при переході від однієї системи координат до іншої змінюються за формулами:

(9)

Вектор густини струму є відносною величиною.

Нехай у одній системі К' заряд нерухомий , тобто j'1=j'2=j'3=0; j'4=icρ0 тоді з (9) випливає, що:

(9')

або

(9'')

Ми маємо тут, як видно з формули (9''), два ефекти.

1) По-перше, у новій системі відліку виникає струм, що природно, оскільки в системі К заряд рухається. Цей ефект має місце і в нерелятивістському випадку в наближенні (v/c<<1); дійсно, нехтуючи величиною v2/c2 у першій з формул (9'') отримаємо j=vρ0.

2) Другий значно цікавіший ефект полягає в тому, що величина густини заряду в системі К виявляється збільшеною в (1-v2/c2) раз в порівнянні з ρ0. Цей ефект має місце лише в релятивістській області. Як видно з останньої формули (9''), при v<<c маємо ρ ≈ ρ0. Тобто в класичній фізиці густина заряду абсолютна.

Відмітимо таку важливу обставину: при русі об’єм , в якому поміщений заряд, релятивістськи скорочується в поздовжньому напрямку. Завдяки цьому величина об’єму, яка знаходиться в русі в (1-v2/c2) раз менше, ніж об’єму dV0 , який знаходився в спокої.

Величина повного заряду, який знаходиться в об’ємі dV, дорівнює добутку густини заряду на об’єм.

Ми бачимо, що електричний заряд довільного тіла (зокрема, заряд елементарних частинок, наприклад, електрона) є величина інваріантна.

Систему (9'') можна переписати в такому вигляді:

Одержуємо відоме співвідношення

(10)

Покажемо, що потенціали A,φ утворюють єдиний чотиривимірний вектор. Оператор д’Аламбера ð запишемо у чотиривимірній формі:

Розглянемо (5.2)

одержимо

(11)

Використаємо тепер (5.1) та (5.2) у формі (11)

(12)

У правій частині цієї системи рівнянь записані компоненти чотиривимірного вектора j1 . Отже, в лівій частині рівнянь записано дію чотиривимірного оператора ð на чотиривимірний вектор

.

Цю систему рівнянь можна записати у вигляді:

(13)

Те, що ми називали скалярним і векторним потенціалами, виявляються лише різними частинами однієї і тієї ж величини .Вони не віддільні одне від одного .А якщо це так, то релятивістська інваріантність світу очевидна.

Фізика рівняння Даламбера (13) така ж ,як і у рівнянь Максвела . Але є своя красота в тому, що можна переписати їх у такій елегантній формі. Але ця красива форма містить і дещо більш значне – з неї безпосередньо видно інваріантність електродинаміки відносно перетворень Лоренца.

Пригадаємо, що рівняння (13) можна отримати із рівнянь Максвела, коли накладена додаткова умова градієнтної інваріантності.

Калібровка Лоренца в наших позначеннях запишеться:

(14)

Умова градієнтної інваріантності говорить, що дивергенція чотиривимірного вектора А дорівнює нулю. Така форма умови Лоренца дуже зручна: вона інваріантна, а тому рівняння Максвела в усіх системах відліку зберігають вигляд (13).

При переході від однієї системи координат до іншої чотиривимірний вектор потенціалу поля перетворюється за формулами:

(15)

Рівняння (15) вказує на нерозривний зв’язок між векторним і скалярним потенціалами поля.

Якщо в системі K' векторний потенціал A'=0 тобто немає магнітного поля і існує електростатичне поле, то в системі K магнітне полебуде

,

Отже, в рамках чотиривимірного простору ми знайшли розв’язання задачі, розглянутої на початку параграфа.

Аберація світла.

Розглянемо деякі наслідки з інваріантності рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.Нехай у системі K поширюється плоска електромагнітна хвиля , що характеризується векторними полями:

(1)

При переході до системи К' вектори поля можуть змінюватись, але фаза залишається незміною, оскільки (ωt-kr) є скалярна величина, тому не залежить від системи відліку.

Якщо ввести чотиримірний вектор ri(x,y,z,ict) то фаза може бути записана:

(2)

звідси видно , що величина ki(kx,ky,kz,iω/c) є чотири вимірний вектор; ki називають чотиривимірним хвильовим вектором.

Запишемо формули перетворення для 4 –вектора ki:

(3)

Компоненти вектора k'i у тривимірному записі мають вигляд :

тут і далі α', β', γ'-кути між осями X', Y', Z' відносно і хвильовим вектором k'. Рівняння (3 ) тепер матимуть вигляд:

(4)

або

(4')

Поділивши перше рівняння (4') на друге , одержимо :

(5)

З другого і третього рівнянь (3) знайдемо аналогічно :

(6)

де α, β, γ-кути між векторам k і відносно осями X, Y, Z. З цих рівнянь, підставляючи в них ω' з (4), знайдемо :

(7)

З рівнянь (5) і (7) випливає існування аберації світла при спостереженні зірок .

Нехай зірка нерухома в системі K . Якщо промінь світла від неї перпендикулярний до напрямку руху Землі і лежить в площині OXY, то :cosα=0; c0sβ=1; cosγ=0

Підставляючи ці значення у формули (5) і (7), матимемо для Землі (система K'), що рухається відносно зірки з швидкістю V:

(8)

Оскільки cosγ'=0, то в системі K' промінь від зірки також лежить у площині OX'Y'. Далі матимемо:

(9)

 

звідки знайдемо:

(10)

 

Для малих v/c(v<<c) одержимо :

(10')

 

Тут кут β'-кут, що визначає величину аберації зірок.

Ефект Доплера.

Іншим наслідком з інваріантності рівнянь Максвела може служити ефект Доплера.

Використовуючи закон перетворення хвильвого 4-вектора легко розглянути так званий ефект Доплера, тобто зміна частоти хвилі ω, яка випромінюється джерелом, що рухається по відношенню до спостерігача в системі відліку (К), в порівнянні із власною частотою ω' того ж джерела в системі відліку (К'), в якій воно нерухоме.

Нехай v – швидкість джерела, тобто швидкість (К') відносно (К). Використаємо формули перетворення Лоренцa 4-вимірних векторів:

 

запишемо для к4:

Оскільки k'x=k'cosα', то

Можна розглянути різні випадки:

1. Система з джерелом рухається назустріч приймачеві: в цьому випадку

ω>ω' — спостерігається фіолетове зміщення.

2. Система (К') віддаляється від системи (К):

тепер ω<ω' спостерігається червоне зміщення.

3. Джерело рухається перпендикулярно до спостерігача: α'=π/2:

в цьому випадку також ω>ω'.Це так званий релятивістський ефект Айве.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти