|
Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.
Дослідимо поведінку електричного і магнітного полів при переході від однієї системи відліку до іншої. Розглянемо приклад. Будемо досліджувати електричне і магнітне поля, створені зарядом , що міститься в ракеті, яка рухається відносно Землі. Виміряємо ці поля приладами, розташованими в ракеті, і приладами які нерухомі відносно Землі. У системі, пов’язаній з ракетою, заряд нерухомий, отже, він створює лише електричне поле. У системі Землі заряд рухається, а як відомо, рухомий заряд створює магнітне поле. Тому можна сказати, що магнітне поле в системі Землі пропорційне електричному полю в системі ракети і швидкості руху ракети. Таким чином, в тому самому явищі в одній системі є тільки електричне поле , а в іншій—і електричне і магнітне. Так само можна сказати, що магніт, який рухається, створює як магнітне, так і електричне поля. Отже, електричні й магнітні поля не є інваріантами. Значення їх залежить від системи відліку. Спеціальна теорія відносності(СТВ) була сформульована Ейнштейном у праці „До електродинаміки рухомих тіл”. Уже в цій роботі було поставлено і розв’язано питання про побудову теорії, в якій би закони електродинаміки не залежали від системи відліку, тобто були б релятивістськоінваріантними. Після введення Мінковським уявлення про чотирьохвимірний простір це завдання значно спростилося. Як ми вже зазначали , для розв’язання цього завдання досить сформулювати закони електродинаміки у вигляді співвідношень між чотиривимірними векторами і тензорами. Раніше ми показали, що рівняння Максвела еквівалентні до рівнянь для потенціалів при виконанні калібровки Лоренца: (1) (2)
(3) Використаємо означення чотиривимірного оператора Лапласа-д’Аламбера: ; (4) Тоді умови для потенціалів (1),(2) запишуться: ; (5) Запишемо ці рівняння в 4-мірній формі. Для цього необхідно знати за яким законом перетворюється ці величини при перетворенні системи координат. Фундаментальним законом природи, який повинен підтверджуватися в релятивістській електродинаміці, є закон збереження заряду і незалежності величини заряду від системи відліку, тобто інваріантність величини зряду. Закон збереження заряду записується у вигляді: (6) Введемо 4-мірні координати : x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict Тоді рівність (6) розпишемо: Ми одержали закон збереження заряду в 4-мірній формі. (7) де (8) Вектор густини струму разом з вектором густини заряду утворює єдиний чотиривимірний вектор . Компоненти 4-мірного вектора при переході від однієї системи координат до іншої змінюються за формулами: (9) Вектор густини струму є відносною величиною. Нехай у одній системі К' заряд нерухомий , тобто j'1=j'2=j'3=0; j'4=icρ0 тоді з (9) випливає, що: (9') або (9'') Ми маємо тут, як видно з формули (9''), два ефекти. 1) По-перше, у новій системі відліку виникає струм, що природно, оскільки в системі К заряд рухається. Цей ефект має місце і в нерелятивістському випадку в наближенні (v/c<<1); дійсно, нехтуючи величиною v2/c2 у першій з формул (9'') отримаємо j=vρ0. 2) Другий значно цікавіший ефект полягає в тому, що величина густини заряду в системі К виявляється збільшеною в (1-v2/c2)-½ раз в порівнянні з ρ0. Цей ефект має місце лише в релятивістській області. Як видно з останньої формули (9''), при v<<c маємо ρ ≈ ρ0. Тобто в класичній фізиці густина заряду абсолютна. Відмітимо таку важливу обставину: при русі об’єм , в якому поміщений заряд, релятивістськи скорочується в поздовжньому напрямку. Завдяки цьому величина об’єму, яка знаходиться в русі в (1-v2/c2)-½ раз менше, ніж об’єму dV0 , який знаходився в спокої. Величина повного заряду, який знаходиться в об’ємі dV, дорівнює добутку густини заряду на об’єм. Ми бачимо, що електричний заряд довільного тіла (зокрема, заряд елементарних частинок, наприклад, електрона) є величина інваріантна. Систему (9'') можна переписати в такому вигляді: Одержуємо відоме співвідношення (10) Покажемо, що потенціали A,φ утворюють єдиний чотиривимірний вектор. Оператор д’Аламбера ð запишемо у чотиривимірній формі: Розглянемо (5.2) одержимо (11) Використаємо тепер (5.1) та (5.2) у формі (11) (12) У правій частині цієї системи рівнянь записані компоненти чотиривимірного вектора j1 . Отже, в лівій частині рівнянь записано дію чотиривимірного оператора ð на чотиривимірний вектор . Цю систему рівнянь можна записати у вигляді: (13) Те, що ми називали скалярним і векторним потенціалами, виявляються лише різними частинами однієї і тієї ж величини .Вони не віддільні одне від одного .А якщо це так, то релятивістська інваріантність світу очевидна. Фізика рівняння Даламбера (13) така ж ,як і у рівнянь Максвела . Але є своя красота в тому, що можна переписати їх у такій елегантній формі. Але ця красива форма містить і дещо більш значне – з неї безпосередньо видно інваріантність електродинаміки відносно перетворень Лоренца. Пригадаємо, що рівняння (13) можна отримати із рівнянь Максвела, коли накладена додаткова умова градієнтної інваріантності. Калібровка Лоренца в наших позначеннях запишеться: (14) Умова градієнтної інваріантності говорить, що дивергенція чотиривимірного вектора А дорівнює нулю. Така форма умови Лоренца дуже зручна: вона інваріантна, а тому рівняння Максвела в усіх системах відліку зберігають вигляд (13). При переході від однієї системи координат до іншої чотиривимірний вектор потенціалу поля перетворюється за формулами: (15) Рівняння (15) вказує на нерозривний зв’язок між векторним і скалярним потенціалами поля. Якщо в системі K' векторний потенціал A'=0 тобто немає магнітного поля і існує електростатичне поле, то в системі K магнітне полебуде , Отже, в рамках чотиривимірного простору ми знайшли розв’язання задачі, розглянутої на початку параграфа. Аберація світла. Розглянемо деякі наслідки з інваріантності рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.Нехай у системі K поширюється плоска електромагнітна хвиля , що характеризується векторними полями: (1) При переході до системи К' вектори поля можуть змінюватись, але фаза залишається незміною, оскільки (ωt-kr) є скалярна величина, тому не залежить від системи відліку. Якщо ввести чотиримірний вектор ri(x,y,z,ict) то фаза може бути записана: (2) звідси видно , що величина ki(kx,ky,kz,iω/c) є чотири вимірний вектор; ki називають чотиривимірним хвильовим вектором. Запишемо формули перетворення для 4 –вектора ki: (3) Компоненти вектора k'i у тривимірному записі мають вигляд :
тут і далі α', β', γ'-кути між осями X', Y', Z' відносно і хвильовим вектором k'. Рівняння (3 ) тепер матимуть вигляд: (4) або (4') Поділивши перше рівняння (4') на друге , одержимо : (5) З другого і третього рівнянь (3) знайдемо аналогічно : (6) де α, β, γ-кути між векторам k і відносно осями X, Y, Z. З цих рівнянь, підставляючи в них ω' з (4), знайдемо : (7) З рівнянь (5) і (7) випливає існування аберації світла при спостереженні зірок . Нехай зірка нерухома в системі K . Якщо промінь світла від неї перпендикулярний до напрямку руху Землі і лежить в площині OXY, то :cosα=0; c0sβ=1; cosγ=0 Підставляючи ці значення у формули (5) і (7), матимемо для Землі (система K'), що рухається відносно зірки з швидкістю V: (8) Оскільки cosγ'=0, то в системі K' промінь від зірки також лежить у площині OX'Y'. Далі матимемо: (9)
звідки знайдемо: (10)
Для малих v/c(v<<c) одержимо : (10')
Тут кут β'-кут, що визначає величину аберації зірок. Ефект Доплера. Іншим наслідком з інваріантності рівнянь Максвела може служити ефект Доплера. Використовуючи закон перетворення хвильвого 4-вектора легко розглянути так званий ефект Доплера, тобто зміна частоти хвилі ω, яка випромінюється джерелом, що рухається по відношенню до спостерігача в системі відліку (К), в порівнянні із власною частотою ω' того ж джерела в системі відліку (К'), в якій воно нерухоме. Нехай v – швидкість джерела, тобто швидкість (К') відносно (К). Використаємо формули перетворення Лоренцa 4-вимірних векторів:
запишемо для к4:
Оскільки k'x=k'cosα', то Можна розглянути різні випадки: 1. Система з джерелом рухається назустріч приймачеві: в цьому випадку ω>ω' — спостерігається фіолетове зміщення. 2. Система (К') віддаляється від системи (К): тепер ω<ω' спостерігається червоне зміщення. 3. Джерело рухається перпендикулярно до спостерігача: α'=π/2: в цьому випадку також ω>ω'.Це так званий релятивістський ефект Айве. |
|
|