ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Автор: Федорова Елена Анфимовна, преподаватель, Калининградский филиал ГОУ АНХ

Составила Федорова Е.А.

 

 


       
 
ОДОБРЕНЫ цикловой комиссией экономики и бухгалтерского учета   Председатель   _________________К.А. Кузьменко
   
Составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальностям СПО (базовый уровень) Зам. директора по учебной работе _________________Л.И. Мотолянец
 


Автор: Федорова Елена Анфимовна, преподаватель, Калининградский филиал ГОУ АНХ

Требования к знаниям и умениям

В результате изучения темы обучаемые должны знать:

- понятие вектора и виды векторов;

- понятие векторного базиса;

- понятие линейных операций над векторами и правила действий над векторами в координатной форме.

В результате изучения данной темы обучаемые должны уметь:

- вычислять координаты вектора;

- находить разложение данного вектора по векторам, в том числе базисным;

- находить алгебраическую сумму, произведение вектора на число, скалярное произведение векторов;

- вычислять длину вектора;

- находить координаты точки, делящей отрезок в данном отношении;

- вычислять угол между векторами.

 

Основные понятия

 

Определение 1 Отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, называется вектором.

Иными словами, вектор – это направленный отрезок.

Обозначение вектора: . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая – его конец.

Определение 2 Расстояние между началом и концом вектора называется его длинойили модулем вектора и обозначается

Иначе определение 2 можно сказать следующим образом: длина отрезка, определяющего вектор, называется модулем этого вектора.

Определение 3 Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают, обозначается

Определение 4 Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Определение 5: Векторы называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины:

и .

Т.о. два вектора и равны, если: 1) длины их равны; 2) векторы параллельны; 3) одинаково направлены.

Определение 6: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых:

.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены.

Задание: дан вектор и точка Р, не лежащая на данном векторе. Сколько векторов, равных данному и выходящих из точки Р можно построить?

Сформулируйте вывод.

Р

Линейные операции над векторами

 

Над векторами можно производить две линейные операции:

1. сложение;

2. умножение на число.

Определение 7: Суммой векторов называется вектор, выходящий из начала первого вектора в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор приложен к концу предыдущего.

 

Задание:Найти сумму двух векторов, используя:

a) правило треугольника;

b) правило параллелограмма.

 

 

Определение 8 Произведением вектора на число , называется вектор, коллинеарный исходному, длина которого изменилась в k раз.

Задание: Дан вектор . Найти: 1) ;

2) .

Правила действий с векторами:

1) 5)
2) 6)
3) , где 7)
4) 8)

 

Определение 9: Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору.

Теорема 1Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует такое действительное число λ (ламбда), что .

Примем эту теорему без доказательства и в дальнейшем будем использовать ее для вывода условия коллинеарности векторов.

Понятие базиса

Определение 13: Пара линейно независимых векторов на плоскости называется базисом, а сами векторы называют базисными.

Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов,причем это разложение является единственным.

Такое разложение можно записать в виде:

.

Числа называются координатами вектора в базисе ( ):
.

Т.о. на плоскости любая пара неколлинеарных векторов образует базис, в пространстве – любая тройка компланарных векторов.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными операциями над числами – координатами этих векторов.

Например, два вектора заданы координатами: , тогда суммой этих векторов будет являться вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов:

Если необходимо найти произведение вектора на число, то достаточно умножить на это число каждую из координат данного вектора:

Понятие радиус-вектора

Определение 15Вектор, соединяющий точку М с началом координат, называется радиус-вектором точки М и обозначается .

Используя рис.1, построим вектор . Основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Ох обозначим буквой Р, основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Оу, обозначим буквой D.

Найдем координаты вектора . Для этого представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Сложив векторы и по правилу параллелограмма, получим:

.

По опр.6 векторы, лежащие на одной прямой коллинеарны, следовательно, в соответствии с теоремой 1 можно записать:

и

Тогда .

Вывод: Координаты точки на плоскости совпадают с координатами ее радиус вектора, т.е. координаты вектора есть проекции этого вектора на оси координат.

Т.о. каждому вектору можно поставить в соответствие упорядоченную совокупность чисел, однозначно определяющих его положение и называемых координатами вектора.

Задание. Найдите координаты радиус-вектора точки В и постройте его, если В(-2;3).

Решение:

По определению радиус вектор точки В – это вектор, соединяющий точку В с началом координат, следовательно точка О(0;0) – начало вектора, точка В(-2;3) – конец вектора. Указываем направление вектора – от начала к концу.

Координаты радиус вектора совпадают с координатами его конца, следовательно, вектор имеет координаты (-2;3):

Координаты вектора

Из рисунка видно, что , тогда координаты вектора будут равны его проекциям на оси координат: Вывод: если вектор задан координатами начала и конца, то для нахождения координат вектора надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала.
Пусть вектор задан координатами начала и конца: (рис.2).

 

 

Замечание: Если векторы равны, то должны быть равны их соответствующие координаты.

Данное замечание доказывается следующим образом:

Пусть даны два равных вектора . Опустим из начала и конца каждого вектора перпендикуляры на оси координат, затем через начало каждого вектора проведем прямые, параллельные оси абсцисс. Получим два прямоугольных треугольника, которые равны по стороне и двум прилегающим к ней углам. Следовательно, все соответствующие стороны этих треугольников равны. Значит, и проекции этих сторон на оси координат также будут равны в силу равенства противолежащих сторон параллелограмма. Т.о. получаем, что равные векторы всегда имеют равные координаты.

Задание: Найдите координаты вектора , если А(2;-1), В(-3;-6).

Решение: Обозначим координаты вектора (x;y).Тогда:

. Значит, координаты (-5;-5).

Задание: Известно, что , причем и . Найдите координаты вектора .

Решение: Для нахождения координат вектора необходимо знать координаты его начала и конца. Обозначим координаты начала вектора – точки , координаты конца вектора известны из условия задачи - . Для вычисления координат вектора вычтем из конца вектора соответствующие координаты начала, получим:

.

По условию , запишем равенство в координатной форме:

.

Приравнивая соответствующие координаты этих векторов, получаем систему уравнений:

Отсюда находим:

Т.о. координаты вектора .

Длина вектора

Рассмотрим рис.2 и выполним дополнительные построения: через точку А проведем прямую, параллельную оси Ох. Точку пересечения построенной прямой с вертикалью, опущенной из точки В обозначим точкой С. Получим прямоугольный треугольник АВС.

По теореме Пифагора можем записать: или

, отсюда

По этой формуле можно вычислять расстояние между двумя точками, длину вектора, длину отрезка.

Вывод: длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Задание:

1. Найдите длину вектора , если С(2;1) и D(-4;-3).

Решение:

2. Вычислите длину вектора Постройте его.

Решение:

Для построения данного вектора используем две точки: О(0;0) – начало вектора, А(-4;2) – конец вектора. Построим данные точки в прямоугольной системе координат и зададим направление – от начала к концу.

Векторное произведение

 

Определение 17: Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:

2. и

3. векторы , и образуют правую тройку векторов.

 

Обозначение векторного произведения: или .

 

Из определения следует:

1. длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и :

2. если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. Верно и обратное.

Свойства векторного произведения:

Теорема 7 Если заданы координаты векторов, то

 

Существует также смешанное произведение векторов: смешанным произведением векторов называется число, определяемое по формуле:

 

Вопросы для контроля знаний:

 

1. Дайте определение вектора.

2. Какой вектор называют нулевым? единичным?

3. Дайте определение равных векторов.

4. Что называется длиной вектора?

5. Векторы и имеют одинаковую длину. Верно ли, что эти векторы равны?

6. Отрезки AB и CD принадлежат параллельным прямым. Равны ли векторы и ?

7. Какие физические величины являются векторными: а) температура; б) скорость; в) вес; г) плотность вещества; д) ускорение; е) площадь; ж) сила?

8. Какие векторы называют коллинеарными?

9. Верно ли, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору на плоскости?

10. Известно, что . Можно ли сказать, что векторы и коллинеарны?

11. Какие линейные операции можно производить над векторами?

12. Дайте определение суммы двух векторов.

13. Дайте определение разности двух векторов.

14. Сумма двух векторов равна нулевому вектору. Как называются эти векторы?

15. Сформулируйте понятие линейной комбинации векторов.

16. Каково условие линейной зависимости векторов?

17. Каково условие линейной независимости векторов?

18. Что называют базисом на плоскости?

19. Сформулируйте понятие координат вектора.

20. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения на число векторов в координатной форме.

21. Известно, что . Что Вы можете сказать о векторах и ?

22. Дайте понятие радиус-вектора.

23. Сформулируйте правило нахождения координат вектора.

24. Чему равна длина вектора?

25. Что называют скалярным произведением векторов?

26. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

27. Два вектора заданы своими координатами. Как найти угол между этими векторами?

28. Верно ли, что из следует: 1) и коллинеарны; 2) ; 3) и сонаправлены; 4) и противоположно направлены; 5) ; 6) и ; 7) и ?

29. Следует ли из равенства = равенство = ?

30. Каково взаимное расположение точек А, В и М, если векторы и и коллинеарны?

31. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор + делил пополам угол между векторами и ?

32. Как следует направить векторы и , длины которых известны, чтобы длина вектора была: 1) наибольшей; 2) наименьшей?

33. Верно ли, что для любых вектор и справедливы неравенства

34. Каким условиям должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место соотношения:


1)

2)

3)

4)


35. Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?

36. При каких значениях k длина вектора : 1) равна длине вектора ; 2) больше длины вектора ; 3) меньше длины вектора ; 4) равна нулю?

37. Как расположены точки М, А и В, если:

1) 2) 3) 4)

38. Может ли угол между векторами равняться: 270°; 180°; 0°; 45°?

39. В каком промежутке находится угол между векторами и , если: 1) ; 2) 1) ?

40. Какова длина отрезка АВ, если ?

41. Как расположены прямые АВ и АС, если ;

42. Следует ли из равенства , где - единичный вектор, равенство векторов и ?

43. Равны ли вектора и плоскости, если равенство выполняется: для любых векторов ; 2) для двух перпендикулярных векторов ?

44. Какой угол образует вектор с вектором 1) ; 2) ?

45. Может ли вектор пространства составлять с осью х угол в 30°, а с осью z угол в 45°?

46. Какая из точек А (2;-5), В (3;2), С (-4;1), D (-1;-2) расположена: 1) дальше всех от оси х; 2) ближе всех от оси у; 3) во второй четверти; 4) в четвертой четверти?

47. При каких значениях а точки А (3;2) и В (а; -1) расположены: 1) на одной прямой, параллельной оси у; 2) на одинаковом расстоянии от оси у?

48. При каких значениях m вектор (2;m) равен вектору (2; 1/m)?

49. При каком значении k вектор (k; 0) коллинеарен вектору (0;k)&

50. Перпендикулярны ли векторы и ?

51. Лежат ли на одной прямой точки (3;-7), (-5;4), (27;-40)?

52. Параллельны ли прямые, проходящие соответственно через точки (1;-1), (2;1) и (3;5), (-1;-3)?

Упражнения для решения-

 

1. Вершинами параллелограмма служат точки A, B, C, D. Требуется: 1) определить ненулевые векторы с концами в этих точках; 2) найти все пары коллинеарных векторов; 3) найти все пары неколлинеарных векторов.

2. Разложите вектор по ортам и найдите его длину, если A(1;3), B(4;2). Каковы координаты вектора ?

3. Даны векторы . Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. В прямоугольной системе координат изобразите векторы и найдите их длину. Вычислите угол между этими векторами.

5. Даны четыре точки: A(-3;-1), B(-1;3), C(5;0) и D(3;-4). Являются ли векторы и равными? Ответ объясните.

6. Постройте векторы и , если A(2;3), B(-4;-1). Докажите, что данные векторы не коллинеарны.

7. Найдите угол между векторами и , если единичные векторы и угол между ними равен 1200.

8. Построите в прямоугольной системе координат треугольник ABC с вершинами А (1;4), В (-5;0), С (2;-1) и вычислите длину медианы ВМ. Найдите разложение вектора по векторам и . Разложите вектор по базису .

9. Найдите точку на оси Oy, равноудаленную от точек А (6;12) и В (-8;10).

10. Точка С (3;5) делит отрезок АВ в отношении . Найдите начало отрезка, если В (-1;1).

11. Найдите точку М, равноудаленную от осей координат и от точки А (-4;2).

12. Найдите точку М, расстояние которой от оси абсцисс и от точки А (-2;4) равно 10.

13. Докажите, что точки А, В, С, D – вершины параллелограмма, если известно, что они не лежат на одной прямой и ненулевые векторы и равны.

14. Дан параллелограмм АВСD. Точки М лежат на стороне CD. Найдите сумму векторов6

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

15. Груз спускается на парашюте со скоростью . Ветром его относит в сторону со скоростью . Под каким углом к вертикали будет спускаться груз, если

16. Пусть О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите х, если:

1) 2) 3) 4) .

17. Докажите, что длины векторов и равны, если векторы и - перпендикулярны.

18. Дан правильный треугольник ABC со стороной 2. Точки M и N – середины сторон AB и BC. Найдите скалярные произведения векторов:

1) и ; 2) и .

19. Найдите координаты проекций точки А на координатные оси, если А(2; -1).

20. Дан вектор (-1;-2). Найдите координаты точки В, если известны координаты точки А:

1) (1;3); 2) (-1;2); 3) (-4;-1); 4) (0;1).

21. Коллинеарны ли векторы:

1) (1;2) и (-2; -4); 2) (1; -1; 2) и (2; 2; -4);

3) , если А (8; -2), В (3; 4), С (11; 7), D(-21; 19)?

22. Вычислите скалярное произведение векторов:

1) (-2;3) и (3; 4); 2) ( ; 1) и ( ; 2);

3) и , где A (-2;4); B(3; -6), C(5; -3);

4) =4 + и .

23. Перпендикулярны ли векторы:

1) (-2;3) и (-1;2); 2) (4; -1) и (3;12);

3) =3 - 2 и

24. Найдите длину вектора:

1) (3;4); 2)

3) , где A (1; 3), а B (-2; 0);

25. Найдите угол между векторами:

1) (1;1) и ; 2) (1;1) и ;

3) =6 - 2 и ;

4) =-2 +3 и

5) (-2;3) и (3;1).

26. Найдите периметр треугольника ABC и величины его углов, если: А (6;7), В (3;3), С (1;-5).

27. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: 1) А (-4;3), В (-2;5); 2) А(-4;3), В(-2;5).

28. Дан отрезка с концами А (1; -3) и В (31;17). Определите координаты точек отрезка, делящих его: 1) пополам; 2) на три равные части; 3) на шесть равных частей.

29. Найдите координаты концов отрезка, лежащих на осях координат, если его середина находится в точке:

1) (2; -1); 2) (3;4).


Контрольные задания

1 вариант

1) Даны два вектора: и . Требуется:

a) построить векторы;

b) вычислить площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;

c) найти сумму и разность данных векторов;

d) вычислить длину каждого вектора;

e) определить координаты вектора, коллинеарного вектору и имеющего длину, в три раза большую, чем длина вектора .

2) Дан треугольник АВС: А(-5;3), В(1;4), С(3;-1). В треугольнике построена медиана АК. Требуется:

a) найти разложение вектора по векторам и ;

b) разложить вектор по базису .

2 вариант

 

1) Даны два вектора : М(-2;3), N(2;1), К(-1;2), Р(4;-2). Требуется:

a) построить векторы;

b) найти сумму и разность данных векторов;

c) найти длину каждого вектора;

d) определить координаты вектора, перпендикулярного вектору и проходящего через точку (1;4);

e) найти скалярное произведение векторов.

2) Дан треугольник АВС: А(-5;3), В(1;4), С(3;-1). В треугольнике построена высота AD. Требуется:

a) найти разложение вектора по векторам и ;

b) разложить вектор по базису .

 

Индивидуальные задания

№ варианта № задания Задание
1 вариант «Основы векторной алгебры»   Построить вектор, равный данному вектору и выходящий из точки Р(-1;2).
Даны векторы и : A(7;-1),В(-2;2), С(1;-4). Найти: а) б)
Докажите, что точки А, В, С, D – вершины параллелограмма, если известно, что они не лежат на одной прямой и ненулевые векторы и равны.
2 вариант «Основы векторной алгебры»   Даны точки: К(0;2), N(1;-2) и M(3;2).Построить вектор
Даны и . Найти: а) б) угол между векторами и
Даны векторы и . При каких значениях k эти векторы: 1) равны; 2) противоположны; 3) коллинеарны?  
3 вариант «Основы векторной алгебры»   Построить вектор, соединяющий точку А(-2;1) с серединой отрезка ВD, если В(0;-2), D(1;3). Найти длину вектора.
Даны и . Найти: а) б)
Какому условию должны удовлетворять три вектора , чтобы из них можно было построить треугольник?
4 вариант «Основы векторной алгебры»   Найти координаты вектора , если A(3;-1), В(0;2).Постройте данный вектор и найдите его длину.
Дан вектор Найти: а) б) разложить вектор по ортам , .
Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы .
5 вариант «Основы векторной алгебры»   Дан вектор . Найдите координаты точки В, если известны координаты точки А(1;3). Постройте вектор.
Даны и . Найти: а) б) проверить, перпендикулярны ли данные векторы.
Выведите формулу для вычисления длины вектора.  
6 вариант «Основы векто

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти