Розділ 3. Фізика твердого тіла

Основні формули

1. Розподіл вільних електронів у металі за енергіями при 0 К

dn(E) = , (1)

де m - маса електрона;

dn(E) - концентрація вільних електронів, енергія яких перебуває в межах від Е до Е + dЕ (причому Е < Е_f, де Е_f - енергія рівня Фермі).

2. Енергія Фермі в металі при Т=0 К

Е_f = ,

де n - концентрація вільних електронів.

3. Питома електропровідність напівпровідника

q(nb_n + pb_p) , (2)

де q - заряд електрона;

n і p - концентрації носіїв заряду (електронів і дірок);

b_n і b_p - рухливості електронів і дірок.

У випадку провідності одного типу одним з доданків у виразі (2) можна знехтувати. Для власного напівпровідника слід враховувати, що n = p.

4. Залежність питомої електропровідності власного напівпровідника від температури

,

де Е - ширина забороненої зони напівпровідника;

- константа, що майже не залежить від температури;

k - постійна Больцмана.

4. Холлівська різниця потенціалів дорівнює

5.

U_н = R_н I ,

де В - індукція магнетного поля;

а - товщина зразка;

I - сила струму в зразку.

Для напівпровідника із кристалічною решіткою типу алмазу із провідністю одного типу постійна Холла дорівнює

R_н = або R_н = ,

для діркового й електронного напівпровідників, відповідно.

6. Постійна Холла для власного напівпровідника (при n = p)

R_н = ^.

7. Сила струму в p-n переході

,

де I_o - зворотний струм насичення;

U - зовнішня напруга, прикладена до p-n переходу.

Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Обчислити максимальну енергію E_f (енергію Фермі), яку можуть мати вільні електрони в металі (мідь) при абсолютному нулі температур. Прийняти, що на кожен атом міді приходиться по одному електрону.

Дано:

= 8,9^.10³ кг/м³

= 64^.10^-3 кг/моль

______________

Е_f - ?

Розв’язання. Максимальна енергія Е_f, яку можуть мати електрони в металі при абсолютному нулі температур, пов'язана з концентрацією n вільних електронів співвідношенням

Е_f = . ( 1)

Концентрація вільних електронів за умовою задачі дорівнює концентрації атомів, яку можна знайти за формулою

n = ,

де - густина міді;

N_A - число Авогадро;

- молярна маса для міді.

Підставимо вираз для концентрації у формулу (1), одержимо

Е_f = .

Підставляючи числові значення величин, які входять в останню формулу й здійснивши відповідні обчислення, одержимо

Е_f = Дж = = .

Приклад 2. Деякий домішковий напівпровідник має решітку типу алмаза й наділений тільки дірковою провідністю. Визначити концентрацію носіїв і їх рухливість, якщо постійна Холла 3,8^.10^-4 м³/Кл. Питома провідність напівпровідника 110 См/м.

Дано:

р - напівпровідник

R_x = 3,8^.10^-4 м³/Кл

= 110 См/м

________________

n_p - ? b_p - ?

Розв’язання. Концентрація р дірок пов'язана з постійною Холла, для напівпровідників з решіткою типу алмаза, яка наділена носіями тільки одного знаку, виражається формулою

R_x = ,

де q - елементарний заряд.

Звідки

p = . ( 1)

Запишемо всі величини в одиницях СІ: q = 1,6^.10^-19 Кл; R_x = 3,8^.10^-4 м³/Кл. Підставимо числові значення величин у формулу (1) і виконаємо обчислення

p = = .

Питома провідність напівпровідників виражається формулою

= q ( n b_n + p b_p ), ( 2)

де n й p – концентрації електронів і дірок;

b_n й b_p – їх рухливості.

При відсутності електронної провідності перший доданок у дужках дорівнює нулю й формула (2) набуде вигляду

= q p b_p.

Звідси знаходимо рухливість дірок

b_p = . ( 3)

Підставимо в (3) значення р з формули (1)

b_p = . ( 4)

Підставивши в (4) значення й R_x в одиницях СІ й виконавши необхідні обчислення, одержимо

b_p = м²/(В^. с) = м²/(В^. с).

Задачі

858. Власний напівпровідник (германієвий) має питомий опір 0,5 Ом·м. Визначити концентрацію носіїв струму, якщо рухливість електронів 0,38 м²/(В·с) і дірок 0,18 м²/(В·с).

Відповідь: n = 2,23^.10¹⁹ м^-3.

859. Рухливості електронів і дірок у кремнію відповідно дорівнюють 1,5·10³ м²/(В·с) і 5·10³ м²/(В·с). Обчислити постійну Холла для кремнію, якщо його питомий опір 6,2·10² Ом·м.

Відповідь: R=4,74^.10⁶ м³/Кл.

860. Опір кремнієвого стрижня довжиною 2 см і перерізом 1 мм² дорівнює 1,25·10⁷ Ом. Визначити концентрацію носіїв струму в кремнії, якщо рухливості електронів і дірок рівні відповідно 0,15 м²/(В·с) і 0,05 м²/(В·с).

Відповідь: n = 5^.10¹⁶ 1/м³.

861. Питомий опір кремнію з домішками дорівнює 10^-2 Ом·м. Визначити концентрацію дірок і їх рухливість, якщо напівпровідник наділений лише дірковою провідністю. Постійна Холла 4·10^-4 м³/Кл.

Відповідь: n = 1,84^.10²² м^-3; b_p = 0,034 м²/В^.с.

862. Питома провідність кремнію з домішками дорівнює 112 (Ом·м). Визначити рухливість дірок і їх концентрацію, якщо постійна Холла 3,66·10^-4 м³/Кл. Прийняти, що напівпровідник має лише діркову провідність.

Відповідь: n = 2^.10²² м^-3; b_p = 0,035 м²/В^.с.

863. Тонка пластинка із кремнію шириною 2 см поміщена в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній індукції (В = 0,5 Тл). При густині струму 2 мкА/мм² , спрямованого вздовж пластини, холлівська різниця потенціалів дорівнює 2,8 В. Визначити концентрацію носіїв струму.

Відповідь: n =

864. Концентрація носіїв струму у кремнії дорівнює 5·10¹⁶ 1/м³, рухливість електронів 0,15 м²/ (В·с) і дірок 0,05 м²/(В·с). Визначити опір кремнієвого стрижня довжиною 5 см і площею перерізу 2 мм².

Відповідь: R =

865. Напівпровідник у вигляді тонкої пластинки шириною 1 см і довжиною 10 см поміщений в однорідне магнітне поле з індукцією 0,2 Тл перпендикулярно до ліній індукції. До кінців пластини прикладена постійна напруга 300 В. Визначити холлівську різницю потенціалів на гранях пластини, якщо постійна Холла 0,1 м³/Кл, питомий опір 0,5 Ом·м.

Відповідь: U_x = 1,2 В.

866. У напівпровіднику, рухливість електронів провідності якого в 2 рази більша рухливості дірок, ефект Холла не спостерігався. Знайти відношення концентрацій дірок і електронів провідності в цьому напівпровіднику.

Відповідь:

867. Власний напівпровідник (германій) має при деякій температурі питомий опір ρ = 0,48 Ом·м. Визначити концентрацію носіїв заряду, якщо рухливості електронів і дірок відповідно дорівнюють b_n = 0,36 м²/(В·с) і
b_p = 0,16 м²/(В·с).

Відповідь: n =