ОБЧИСЛЕННЯ ПОХИБОК ФІЗИЧНИХ ВИМІРЮВАНЬ

ОБЧИСЛЕННЯ ПОХИБОК ФІЗИЧНИХ ВИМІРЮВАНЬ

Частина І. Визначення густини тіла правильної геометричної форми

Мета роботи. Вивчити правила обробки результатів фізичних вимірювань. Визначити по-
хибку непрямих вимірювань густини циліндричного зразка за результатами багатократних прямих вимірювань його геометричних розмірів і маси.

Прилади і обладнання

1. Тіло циліндричної форми.

2. Вимірювальна лінійка.

3. Штангенциркуль.

4. Мікрометр.

Самостійна підготовка.

1. Студент вивчає правила користування вимірювальними приладами.

2. Вивчає класифікацію і теорію похибок, а також методи обробки результатів експерименту.

Завдання 1. Вимірювання густини матеріалу циліндричного зразка.

Таблиця 1

1.1. За допомогою мікрометра або штангенциркуля виміряти діаметр d та висоту h циліндра. Результатизаписати у табл. 1.

1.2. Визначити інструментальні похибку вимірювань і записати результат в табл.1.

1.3. Значення маси зразка, а також величину випадкової похибки та інструментальної похибки, які були знайдені при вимірюванні маси, отримати у викладача. Результатизаписати у табл.1.

Завдання 2. Визначити похибки прямих вимірювань.

2.1. Опрацювати результати прямих вимірювань. Для цього спочатку розрахувати середні значення за формулами

де n = 5 кількість вимірювань. Результати розрахунків занести до табл. 1.

2.2. Відхилення від середніх значень розрахувати за формулами

2.3. Середні квадратичні відхилення розрахувати за формулами

Для маси вважати середньоквадратичне відхилення рівним відхиленню. Результати обчислень занести до табл. 1.

2.4. Визначити випадкову похибку прямих вимірювань за формулами

де коефіцієнт Стьюдента t_Ст= 2,78 при n = 5 і надійній ймовірності a = 0,95. Для маси величина випадкової похибки задається викладачем.

Обчислення виконати не більше ніж із чотирма значущими цифрами[1] і результати розрахунків занести до табл. 1.

2.5.Абсолютну похибку обчислити за формулами

2.6. Обчислити відносну похибку за допомогою формул

Результати розрахунків занести до табл. 1.

Завдання 3. Обчислити густину циліндричного зразка і похибку непрямих вимірювань.

3.1. Обчислити середнє значення в одиницях СІ, використовуючи значення

= __________________

3.2. Обчислити абсолютну похибку вимірювання густини циліндричного зразка. Оскільки відносна похибка вимірювання густини тіла визначається формулою:

________________ ,

абсолютна похибка може бути визначена за формулою:

________________

3.3. Остаточний результат записати у вигляді

______________

3.4. Визначити відносну похибку вимірювання густини

Використовуючи табл. 2 визначити матеріал, з якого виготовлено циліндричний зразок.

Таблиця 2

Завдання 1. Визначення моменту інерції хрестовини маятника Обербека.

Зверніть увагу: починати вимірювання часу необхідно з моменту = 0, тобто зі стану спокою.

Таблиця 1

Завдання 2. Визначення моменту інерції маятника Обербека разом з тягарцями

2.1. Надіти на стрижні чотири однакові тягарці, закріпити їх на перших мітках стрижнів, потім провести вимірювання відповідно згідно з п. 1.4.

2.2. Визначити відстань віссю обертання і центром мас тягарців l (серединою тягарців). Оскільки ми не можемо точно визначити положення центра маси тягарця, для визначення l вимірюємо відстань між лівими краями двох тягарців, розміщених на одній прямій по обидва боки від осі обертання. Ця відстань буде дорівнювати відстані між центрами мас двох тягарців. Розділивши її на 2, отримаємо точне значення величини l. При такому методі вимірювання відстані потрібно інструментальну похибку поділити пополам. Значення l_i для трьох положень тягарців занести до табл. 1.

2.3. Перемістити тягарці на другі, а потім і на треті мітки та зробити аналогічні вимірювання згідно з п. 2.1—2.2.

2.4.Обчислити похибку вимірювання часу опускання вантажу для положення без тягарців. Для цього спочатку розрахувати середнє значення за формулою

де n = 5 — кількість вимірювань;

— обчислити відхилення від середнього значення

— визначити середньоквадратичне відхилення

— обчислити випадкову похибку вимірювання часу опускання вантажу

де = 2,78 — коефіцієнт Стьюдента для n = 5 та надійної ймовірності a = 0,95;

— абсолютну похибку обчислимо за допомогою формули

— обчислити відносну похибку за допомогою формули

Результати розрахунків занести до табл. 2.

Таблиця 2

Положення	Номер досліду	Середнє значення часу tсер, с	Відхилення від середнього зна­чення с	Середнє квадра­тичне відхилення часу с	Абсолютна похибка Dt, c	Відносна похибка et, %
Без тягарців

Завдання 3. Визначити момент інерції тягарців.

3.1. Обчислити моменти інерції хрестовини без тягарців J₀ та з тягарцями J₁, J₂, J₃ в I, II і III положеннях за формулами

= _________________ кг×м²,

= _________________ кг×м²,

= _________________ кг×м²,

= _________________ кг×м².

3.2.Відносну похибку вимірювань моменту інерції для J₀ обчислити за формулою

______________

3.3.Визначити абсолютну похибку вимірювань за формулою

= ___________. кг×м²

Завдання 4. Побудувати графік залежності моменту інерції тягарців від квадрату їх відстані до осі обертання

4.1.Визначити моменти інерції тягарців у трьох положеннях

____________________________ кг×м²,

___________________________ кг×м²,

___________________________ кг×м².

4.2.Побудувати графік залежності моменту інерції тягарців від квадрата їх відстані до осі обертання J_{тяг і}= f

4.3. Екстраполювати графік J_{тяг і}= f прямою лінією (J_{тяг і}= a + k ). Знайти кутовий коефіцієнт k і параметр а, а також дати пояснення їх фізичного змісту.

Висновки

У результаті виконання роботи _________________________________________________

______________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дата виконання лабораторної роботи __________________________________________

Оцінка за допуск до лабораторної роботи _________________ Підпис ______________

Оцінка за захист лабораторної роботи _____________________ Підпис ____________

ПИТАННЯ ДЛЯ ДОПУСКУ Й ЗАХИСТУ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
ТА ДЛЯ ПОТОЧНОГО МІКРОМОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЮ

1. Сформулюйте закон обертального руху твердого тіла.

2. Якими кінематичними і динамічними характеристиками описується обертальний рух твердого тіла?

3. Що таке момент сили, від чого він залежить і за яким правилом визначається напрямок вектора моменту сили?

4. Який фізичний зміст моменту імпульсу і від чого він залежить?

5. Який фізичний зміст моменту інерції і за якою формулою визначається момент інерції матеріальної точки і твердого тіла відносно осі обертання?

6. Сформулювати теорему Штейнера.

7. Чому дорівнює момент імпульсу для матеріальної точки і для тіла, що обертається? У чому полягає аналогія між поступальним і обертальним рухами?

8. Запишіть другий закон динаміки обертального руху.

9. Застосуйте теорему Штейнера до визначення моменту інерції тягарця в даній роботі.

10. Запишіть закон збереження моменту імпульсу. Чи виконується закон збереження моменту імпульсу для незамкнених систем?

11. Виведіть розрахункову формулу для визначення моменту інерції маятника Обербека.

12. Виведіть розрахункову формулу для обчислення похибки вимірювання моменту інерції маятника Обербека.

13. Сформулювати основні етапи виконання роботи.

14. Опишіть схему експериментальної установки.

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №9

Мета роботи.

Вивчити закономірності затухаючих механічних коливань фізичного маятника, визначити характеристики таких коливань.

Прилади і обладнання

1. Фізичний маятник.

2. Електронний секундомір.

Самостійна підготовка.

1. Студент вивчає правила роботи з установкою.

2. Вивчає теорію коливань фізичного і математичного маятників.

3. Вивчає теорію і методику проведення експерименту.

 

Теоретичні відомості

Фізичним маятником зветься тверде тіло, яке має можливість коливатися під дією власної ваги біля нерухомої горизонтальної осі О, що не проходить через його центр інерції (рис. 1).

У положенні рівноваги центр інерції маятника знаходиться під точкою підвісу О на вертикальній лінії. Якщо відхилити фізичний маятник від положення рівноваги на кут , то виникне момент сили ваги маятника, який повертає його до положення рівноваги.

Основний закон обертального руху твердого тіла в механіці в узагальненій формі має вигляд

, ( 1)

де – час, – вектор моменту імпульсу тіла, – вектор моменту сил, які діють на тіло.

У наближенні малих відхилень, при яких , при врахуванні тільки сили ваги, диференціальне рівняння ( 1) дає рівняння руху маятника у вигляді гармонічних коливань:

, ( 2)

де – амплітуда коливань, – циклічна частота власних коливань маятника, – початкова фаза, . Період цих коливань є

( 3)

 

де J – момент інерції маятника відносно осі О, g – прискорення вільного падіння, m – маса маятника, l – відстань ОС.

Якщо тіло маятника побудовано так, що його маса зосереджена біля точки С (матеріальна точка з масою m на невагомому підвісі довжиною l), то маятник називається математичним. В цьому випадку J=ml², а період коливань має вигляд

. ( 4)

При врахуванні сил тертя маятника з навколишнім середовищем, які діють проти руху маятника і гальмують його, розв’язок диференціального рівняння ( 1) (коли не дуже великі сили тертя й ) є

( 5)

де ( 6)

( 7)

Рівняння руху маятника ( 5) є рівнянням гармонічних коливань із частотою ω та амплітудою A(t), яка зменшується згідно з формулою (6). При цьому, як випливає з формули (7), частота ω<ω₀. Приклад вигляду функцій φ(t), A(t) при δ=ln2, ω=2π наведений на рис. 2. Зменшення амплітуди коливань обумовлено втратою енергії маятником при виконанні ним роботи проти сил тертя. Коефіцієнт загасання δ=1/τ визначає швидкість зменшення амплітуди, а проміжок часу τ, за який амплітуда зменшується у e разів, називається часом релаксації. Період загасаючих коливань не дорівнює Т₀, він дається виразом:

( 8)

Добуток коефіцієнта загасання на період коливань ε=δТ називається логарифмічним декрементом загасання. Він задовольняє виразу

( 9)

Вираз (6) може бути представленим у вигляді

lnA(t)=lnA₀ – δt. (10)

Рівняння (10) є рівнянням прямої лінії у координатах lnA – t, а коефіцієнт

(11)

визначає нахил цієї прямої лінії до осі часу (рис .3). Ця формула може бути використана для експериментального визначення коефіцієнта загасання, якщо виміряна залежність амплітуди від часу. Тоді він дається виразом

(12)

Знання, які потрібно мати при виконанні роботи

Для виконання роботи потрібно:

1) вивчити наступні розділи: обертальний рух, механічні коливання, математичний маятник, фізичний маятник, вільні гармонічні коливання, загасаючі коливання;

2) вміти отримати вираз (5).

Порядок виконання роботи

Гармонічні коливання.

Прилади і обладнання

Схема для вимірювання опору.

Самостійна підготовка.

1. Студент вивчає правила роботи з електровимірювальними приладами.

2. Вивчає теорію електропровідності матеріалів.

3. Вивчає принципи роботи електровимірювальних приладів.

4. Вивчає теорію і методику проведення експерименту.

Завдання 1. Ознайомитися з вимірювальними приладами і занести до табл. 3 і 4 значення величин, що характеризують амперметр і вольтметр.

Таблиця 3

Амперметр Зав. №	Використана межа Iном, А	Кількість поділок N	Ціна поділки С, А/под	Клас точності gА, %	Абсолютна похибка DI, А	Опір ампер­метра RА, Ом

Таблиця 4

Вольтметр Зав. №	Використана межа Uном, B	Кількість поділок N	Ціна поділки, С, В/под	Клас точності, gВ, %	Абсолютна похибка DU, B	Опір вольт­метра RV, Ом

 

1.1. Знаючи клас точності приладу і його нормувальне значення, визначити абсолютну похибку вимірювань за формулами

Результати розрахунків занести до табл. 3, 4.

Нормуюче значення приймається рівним:

– кінцевому значенню шкали приладу, якщо нульова відмітка знаходиться на краю або поза шкалою;

– сумі кінцевих значень шкали приладів (без урахування знаків), якщо нульова відмітка знаходиться усередині шкали.

Завдання 2. Зібрати для визначення невідомого опору R схему електричного кола, наведеного на рисунку.

2.1. Перевірити схему і замкнути коло ключем K.

2.2. Перемикачі меж вимірювання вольтметра та амперметра встановити в таке положення, щоб стрілки цих приладів відповідали останній третині шкали у випадку, коли повзунок реостата пересунутий в крайнє положення, що відповідає максимальному значенню R_П , тобто, коли напруга, що вимірюється вольтметром, буде максимальною. Записати до табл. 5 кількість поділок за шкалою вольтметра та амперметра.

2.3.Перемістити повзунок реостата так, щоб відхилення стрілок вольтметра і амперметра попадало в середину шкали цих приладів. Записати до табл. 5 кількість поділок за шкалою вольтметра та амперметра.

2.4. Перемістити повзунок реостата так, щоб відхилення стрілок вольтметра й амперметра попадало в першу третину шкали цих приладів. Записати до табл. 5 кількість поділок за шкалою вольтметра та амперметра.

2.5.Розімкнути коло ключем K.

Таблиця 5

Завдання 3. Розрахувати значення невідомого опору R_х та визначити похибку вимірювань.

3.1.Використовуючи дані табл. 3 та табл. 5, розрахувати значення невідомого опору R_х за формулою

.

Результати обчислень занести до табл. 5.

3.2. Обчислити абсолютну і відносну похибку для R_х за формулами

де DU та DI — абсолютні похибки вимірювання вольтметра та амперметра (див. табл. 3—4):

Результати обчислень занести до табл. 5.

3.3.Для кожного виміряного значення сили струму і напруги визначити відносну похибку за формулами

Висновки

У результаті виконання роботи ________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дата виконання лабораторної роботи __________________________________________________

Оцінка за допуск до лабораторної роботи _____________________ Підпис __________________

Оцінка за захист лабораторної роботи ________________________ Підпис __________________

ПИТАННЯ ДЛЯ ДОПУСКУ Й ЗАХИСТУ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
ТА ДЛЯ ПОТОЧНОГО МІКРОМОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЮ

Самостійна підготовка.

1. Студент вивчає правила роботи з електровимірювальними приладами.

2. Вивчає теорію електропровідності матеріалів.

3. Вивчає принципи роботи електровимірювальних приладів.

4. Вивчає теорію і методику проведення експерименту.

Завдання 1. Визначити опір провідника.

1.1. Встановити довжину l₁провідника (задається викладачем) за допомогою рухомого контакту.

1.2. Увімкнути установку в мережу. Кнопку «Міст» має бути натиснено. Для роботи за схемою (рис. 1, а) кнопка перемикання схем має бути ненатисненою, а за схемою на рис. 1, б — натисненою.

Рис. 1. Схема вимірювання опору методом амперметра - вольтметра.

1.3. Записати покази міліамперметра та вольтметра. Виміряні значення сили струму і напруги занести до табл. 1.

1.4. Змінивши довжину провідника двічі, повторити вимірювання згідно з п. 1.3.

1.5. Визначити опір R₀ підвідних дротів[2]. Для цього необхідно встановити довжину l₀= 0 і повторити вимірювання за п. 3. Дані вимірювання занести до табл. 1.

1.6. Для кожної пари вимірювань U та I, визначити опір за формулою

= або =

1.7. Знайти опір провідника, враховуючи опір підвідних провідників R₀

R_і = – R₀.

Результати занести до табл. 1.

Таблиця 1

Довжина провідника

Номер досліду

U, B

I, A

Ом

Rі= – R0

rі, Oм×м

Ом×м

er, %

l1=

l2=

l3 =

l0 =

rсер = _______ Oм×м, Dr = _________ Oм×м

Завдання 2. Визначити питомий опір провідника.

2.1. Виміряти діаметр провідника d за допомогою мікрометра: d = _________ м.

2.2. Визначити питомий опір провідника при різних значеннях l_і за формулою

r_i =

Результати обчислень занести до табл. 1.

2.3. Знайти середнє арифметичне значення r_сер за формулою ,

де n = 9 кількість обчислень. Результат обчислення занести до табл. 1.

2.4. Знайти відхилення від середнього значення Результати обчислень занести до табл. 1.

2.5. Обчислити середнє квадратичне відхилення за формулою

= ____________

2.6. Визначити абсолютну похибку вимірювань питомого опору провідника. Величина коефіцієнта Стьюдента t_Ст = 2,306 для кількості обчислень n = 9 і надійної ймовірності a = 0,95.

Dr = t_Ст · .

Знайдену величину Dr занести до табл. 1.

2.7.Обчислити відносну похибку за формулою Знайдену величину e_r занести до табл. 1.

2.8.Остаточний результат обчислень записати у вигляді

= _________________ Ом×м.

Висновки