Перетин циліндра проектуючими площинами

Залежно від положення січної площини відносно циліндричної поверхні утворюються різні фігури перерізу:

а) якщо площина паралельна до осі циліндра, то утвориться прямокутник, складений з двох твірних циліндра та двох відрізків - ліній перетину основ циліндра заданою площиною (у випадку, якщо площина дотична до циліндра, переріз вироджується в лінію);

б) якщо площина перпендикулярна до осі циліндра, то фігурою перерізу буде коло: діаметр кола дорівнює діаметру циліндра;

в) якщо січна площина проходить під кутом до осі циліндра, то в перерізі буде еліпс, або його частина.

На рис. 4.2 наведено приклад побудови трьох проекцій та дійсної величини фігури перерізу прямого кругового циліндра фронтально-проектуючою площиною Σ, яка перетинає усі його твірні.

Рисунок 4.2

Спочатку знайдені проекції характерних точок 1₂ (найнижча і крайня ліва), 2₂ – найвища і крайня права, передня 4₂ та задня 3₂ фронтальні проекції яких збігаються з проекцією його осі.

За знайденими проекціями точок знаходимо їх інші проекції. Так як для побудови довільної замкнутої плоскої кривої лінії мінімальною і достатньою кількістю точок є 8, то коло основи поділене саме на 8 рівних частин. Так як циліндр є проектуючим, то точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ знаходяться на колі основи циліндра на горизонтальній проекції. Проекції проміжних точок поділу кола основи 5₁, 6₁, 7₁ та 8₁ підняті по лініях зв’язку і отримані їх проекції.

Профільна проекція зрізаного циліндра побудована з використанням постійної прямої К₀. Так як при побудові верхня частина циліндра умовно відкидається, то вона наведена тонкою лінією, а нижня – суцільною основною. Дійсна величина фігури перерізу (еліпса) побудована суміщенням площини ∑ з горизонтальною площиною проекцій. Так як у просторі кут між слідами дорівнює 90°, то суміщене положення сліду Σ₂^С збігається з віссю ОХ. Суміщене положення фронтальних проекцій точок еліпса побудоване повертанням їх радіусом, рівним відстані від точки збігу слідів Σ_х до кожної з них на фронтальній проекції.

На рис.4.3 побудовано дві проекції та дійсну величину фігури перерізу прямого кругового циліндра фронтально-проектуючою площиною Ф, яка проходить через основу циліндра. В результаті перерізу утвориться фігура, утворена частиною еліпса та частиною хорди основи циліндра. Спочатку (без додаткової побудови) знайдені характерні точки 1 (найнижча ліва передня), 2 (найнижча ліва задня) та найвища права 3. Далі взяті довільні проекції точок 6_{2 º}7₂ і знайдені їх горизонтальні проекції.

За знайденою мінімальною кількістю точок (семи) поверхні циліндра способом заміни площин проекцій побудована дійсна величина фігури перерізу. Для цього площина π₁ замінена на π₅ (Ф_2ºх₂₅). Так як еліпс та його частина – симетричні відносно великої осі фігури перерізу, то спочатку побудована нова проекція великої його осі на відстані від х₂₅, рівній відстані від осі х₁₂ до її горизонтальної проекції, тобто 3₂3_5º3₁3₁¹_ºy₃ використані координати у цих точок. Аналогічно побудовані проекції всіх точок 1₅, 2₅, ....7₅.

Конічні перерізи

При вивченні цієї теми будемо розглядати тільки перерізи прямого кругового конуса. Конічними називають перерізи, утворені при перерізі прямого кругового конуса січними площинами. В результаті перерізу конуса січними площинами різного положення отримаємо такі фігури (рис.4.4):

1) коло – коли січна площина паралельна до основи конуса або перпендикулярна до його осі (рис.4.4,а).

2) трикутник – коли січна площина проходить через дві точки основи конуса та його вершину (рис.4.4,а);

3) еліпс, або його частина – якщо січна площина перетинає відповідно усі твірні під гострим кутом до його осі або перетинає частину основи і частину твірних (рис.4.4,б);

4) гіпербола – якщо січна площина проходить паралельно до осі конуса або під кутом γ , меншим від кута α нахилу твірної до осі γ < α (рис.4.4,б);

5) парабола – коли січна площина проходить паралельно до однієї твірної конуса γ = α (рис.4.4,б).

a б

Рисунок 4.4

Усі ці криві лінії, як результат перетину конуса площиною, є плоскими і в декартовій системі координат кожна з них, окрім трикутника, описується алгебраїчним рівнянням другого порядку, тобто квадратним рівнянням, тому вони є кривими другого порядку

4.4 Перетин конуса площинами різних положень

На рис.4.5 побудовано проекції та дійсну величину фігури перерізу прямого кругового конуса фронтально-проектуючою площиною Σ , яка перетинає усі його твірні.

Рисунок 4.5

Так як площина Σ₂ перетинає всі твірні конуса, то в результаті перерізу отримаємо еліпс. Велика його вісь лежить між точками А та В і проекція А₂ В₂ збігається зі слідом Σ₂. Горизонтальні проекції цих точок А₁ та В₁ лежать на горизонтальному діаметрі кола (на відповідних твірних конуса). Так як еліпс – симетрична замкнута фігура, то, поділивши відстань між точками А₂ та В₂ навпіл, отримаємо точки С_{2 ºº}D₂ малої осі еліпса, горизонтальну проекцію яких отримаємо проведенням через них горизонтальної площини Г зі слідом Г₂. З точки S₁ проводимо коло радіусом r₁, який відтинає площина Г на конусі, і отримуємо проекції точок С₁ та D₁, відстань між якими є малою віссю еліпса. Дійсна величина еліпса побудована суміщенням площини Σ з горизонтальною площиною проекцій. Подальша побудова зрозуміла без пояснень, так як описана у попередніх лекціях.

На рис. 4.6 представлено побудову проекцій та дійсної величини фігури перерізу поверхні конуса горизонтально-проектуючою площиною Ф. В результаті перерізу утвориться плоска фігура, обмежена частиною гіперболи та відрізком (хордою) основи конуса. Спочатку знайдені проекції крайніх точок гіперболи 1₁ та 2₁ на колі основи конуса та їх фронтальні проекції 1₂ та 2₂.

Рисунок 4.6

Найвища точка гіперболи 3₂ (вершина) побудована з використанням горизонтально-проектуючої площини T(Т₁), яка проходить через точку S₁ перпендикулярно до сліду Ф₁. Провівши лінію зв’язку до побудованої допоміжної твірної S₂A_2, знайдемо цю найвищу точку 3₂. Для побудови фронтальної проекції гіперболи проведемо, як мінімум, ще дві допоміжні горизонтальні площини P та R, відповідно зі слідами P₂ та R₂, поділивши ними відстань від точки S₂ до основи конуса приблизно на три частини. На перетині кіл відповідних радіусів зі слідом Ф₁ отримаємо, відповідно, проекції точок 4₁ та 5₁, а також 6₁ та 7₁, фронтальні проекції яких будуть, відповідно, на слідах площин P₂ та R₂. Точка зміни видимості фронтальної проекції гіперболи 8₂ побудована від проекції 8₁ перетину сліду Ф₁ з правою окреслюючою твірною конуса. Дійсна величина фігури перерізу побудована суміщенням площини Ф з площиною π₁, де його суміщене положення Ф₂^С проходить до Ф₁ під кутом 90°. Для побудови точок (наприклад, точки 3с) гіперболи з точки 3₂ проведена горизонталь і отримана точка 3₂¢, з якої проведена дуга радіусом Ф_х3₂¢ на суміщений слід Ф₂^С_. З цієї точки проведена горизонталь, паралельна до сліду Ф₁ і на перетині з перпендикуляром, проведеним з проекції 3₁, отримаємо суміщене положення точки 3с. Побудова суміщених положень інших точок аналогічна. Варто зазначити, шо суміщених положень точок 1с та 2с будувати не потрібно, так як вони збігаються зі своїми горизонтальними проекціями 1с_ºº1₁, 2с_ºº2₁.

На рис. 4.7 представлено ще один приклад побудови фронтальної проекції гіперболи. Особливістю цієї задачі є те, що фігура перерізу проектується на фронтальну площину проекції в натуральну величину, так як конус перетинається площиною Δ, яка паралельна до фронтальної площини проекцій. Тут найвища точка 3₂ вершини гіперболи знаходиться на твірній SA, яка перпендикулярна до сліду площини, а точки 1₂ та 2₂ – на колі основи. Для побудови точки 3₂ твірна SA разом з точкою 3 повернута до положення правої окреслюючої твірної. За знайденою точкою 3₁¹ побудована фронтальна проекція 3₂¹, а потім точка 3₂. Інші точки на фронтальній проекції гіперболи побудовані також з використанням допоміжної горизонтальної січної площини Г.

На рис. 4.8 побудовано проекції та дійсну величину перерізу конуса фронтально-проектуючою площиною Г, слід якої Г₂ проходить паралельно до однієї твірної. Як відомо з попереднього тлумачення, при такому положенні січної площини в перерізі утвориться парабола. Нижні точки 1 та

Рисунок 4.7 Рисунок 4.8

2 на фронтальній проекції збігаються з точкою сходу слідів (Г_хº1_2º2₂), а найвища 3 – на окреслюючій правій твірній конуса.

Проміжні точки 4, 5, 6 та 7 побудовані з використанням допоміжних горизонтальних площин зі слідами Р₂ та Т₂, які довільно вибрані.

Дійсна величина фігури перерізу побудована суміщенням площини Г з площиною π₁ (Г₂^С_ºх₁₂). Побудова суміщених положень усіх точок (крім 1с та 2с) зрозуміла з рисунка .

Запитання для самоперевірки

1 У чому полягає загальний спосіб побудови перерізу кривої поверхні площиною?

2 У чому суть побудови перетину кривих поверхонь проектуючими площинами?

3 Що таке конічні перерізи?

4 Які фігури утворюються при перетині конуса площинами різних положень?