|
Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій. Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією. Елементарні події позначаються , (і=1, 2, 3,...) і в теорії ймовірностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові. Приклад 1. Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього експерименту. Розв'язання. Можливі такі елементарні випадкові події: =г (монета випаде гербом); =ц (монета випаде цифрою). Приклад 2. Монету підкидають двічі. Визначити елементарні події цього експерименту. Розв'язання. Дворазове підкидання монети — це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть: =гг (двічі випаде герб); =цц (двічі випаде цифра); =гц і =цг. Отже, цьому експерименту відповідають чотири елементарні події. Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими великими літерами: A, B, C, D. Приклад 3. Задано множину чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події: 1) з'явиться число, кратне 2; 2) число кратне 3; 3) число, кратне 5. Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх відповідно А, В, С. Тоді А = = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; В = {3, 6, 9, 12}; С={5, 10,}. Елементарні випадкові події “5” та “10” називають елементарними подіями, які сприяють появі подій С унаслідок проведення експерименту. Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина елементарних подій, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення. Множину називають простором елементарних подій. Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1,2,3, ...), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим. У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не можна поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним. У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними. Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши: розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготовляє робітник або верстат-автомат; покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін. Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна. Операції над подіями Додавання. Сумою двох подій А і В називається така подія С=А В (С=А + В), яка внаслідок експерименту настає з настанням хоча б однієї з подій А або В. Подію А В схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.
Рис. 1 Операція об 'єднання подій А і В. Множення. Добутком двох подій А і В називається така подія С = А В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В. Операція А В називається перерізом цих подій (рис. 2).
Рис. 2. Переріз подій А і В.
Приклад. Перерізом подій А = {2, 4, 6, 8, 10, 12} і В = {3, 6, 9, 12} є подія С1 = {6}, а сумою є подія С2 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}. Якщо , то випадкові події А і В називають несумісними. Якщо , то такі випадкові події А і В називають сумісними. Повна група подій. Якщо , то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій {Аi} обов'язково настане. Протилежні події. Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними. Подія, яка протилежна А, позначається . Протилежні події у просторі елементарних подій ілюструє рис. 3.
Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок проведення одного експерименту. Питання для самоконтролю 1. Що називається вірогідною; неможливою подією? Навести приклади. 2. Яка подія називається випадковою? Навести приклади. 3. Яка подія називається елементарною; складеною випадковою подією? Навести приклади. 4. Що називається простором елементарних подій? Навести приклади. 5. Що називається сумою, добутком, різницею двох випадкових подій А і В? Література Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7]. |
|
|